055 – La relazione tra volume e pressione di un gas 2

L'apparecchio di Boyle è lo strumento che ha reso misurabile la prima legge dei gas, e una sua versione si trova ancora nella maggior parte dei laboratori didattici di fisica e chimica. Una quantità fissa di aria è intrappolata in un tubo verticale graduato sopra un serbatoio di olio; l'olio è incompressibile ed ermetico ai gas, quindi si comporta come un pistone che sigilla perfettamente e scorre senza attrito. Pompando aria nel serbatoio, l'olio sale, comprimendo la colonna intrappolata in uno spazio sempre più piccolo, mentre un manometro registra la pressione. Lo stesso principio regola una pompa per bicicletta, la fase di compressione di un motore, una bomboletta spray, i polmoni di un subacqueo durante la risalita e l'accumulatore idraulico su un macchinario pesante.

La relazione che viene misurata è la legge di Boyle: per una quantità fissa di gas a temperatura costante, P × V è una costante. La pressione è la forza accumulata dalle molecole che urtano contro le pareti, quindi comprimere lo stesso numero di molecole nella metà dello spazio raddoppia la frequenza con cui arrivano e raddoppia la pressione. Affinché la legge sia esatta devono essere soddisfatte due condizioni, ed entrambe sono condizioni che l'apparecchiatura deve essere azionata con cura per rispettare: la quantità di gas intrappolata non deve cambiare, ed è ciò che garantisce la tenuta dell'olio, e la temperatura non deve cambiare, motivo per cui all'aria compressa viene dato il tempo di raffreddarsi prima di annotare qualsiasi cosa.

In questo laboratorio collegherete la pompa a mano, controllerete che il rubinetto sia aperto e pomperete finché il manometro segna circa 500 kPa, osservando l'olio che sale e la colonna d'aria che si restringe. Chiudete quindi la valvola, attendete un minuto affinché l'aria compressa torni a temperatura ambiente e registrate il volume della colonna d'aria e la pressione. Il rilascio dell'aria in più fasi fornisce una serie di letture corrispondenti, dalla colonna compressa fino al suo volume massimo di 200 mL. Riportando in grafico la pressione in funzione del volume si ottiene un'iperbole; riportandola in funzione di 1/V si raddrizza tale curva in una linea passante per l'origine la cui pendenza è la costante di Boyle per il campione sigillato.

Obiettivi Educativi

Familiarizzazione con l'ambiente di laboratorio

• Identificare le parti dell'apparato di Boyle — serbatoio dell'olio, colonna d'aria graduata, rubinetto e manometro — e indicare la funzione di ciascuna di esse.
• Spiega perché si usa un pistone liquido, anziché solido, per sigillare e comprimere l'aria intrappolata.

Utilizzare un sistema pressurizzato in sicurezza

• Collega il tubo della pompa e verifica la tenuta prima di mettere in pressione qualsiasi cosa.
• Pompare fino a una pressione di riferimento, chiudere la valvola al momento giusto e depressurizzare il sistema a intervalli controllati anziché di colpo.

Misurazione e registrazione dei dati

• Leggere il menisco dell'olio rispetto alla colonna graduata e l'ago rispetto al quadrante del manometro, e registrare i due valori come una coppia corrispondente.
• Attendere l'equilibrio termico prima di registrare e spiegare quale sarebbe l'aspetto di una lettura effettuata troppo presto.

Trattamento quantitativo della legge di Boyle

• Calcola P × V a ogni lettura e giudica se la dispersione in quella colonna è sufficientemente piccola da sostenere l'affermazione che sia costante.
• Traccia la pressione assoluta in funzione di 1/V, interpola con una linea retta e interpreta la sua pendenza come la costante di Boyle e la sua intercetta come diagnostica.
• Prevedere il volume a una pressione che non è stata misurata, utilizzando P₁V₁ = P₂V₂, e controllalo.

Valutazione critica della misurazione

• Distingui la pressione relativa dalla pressione assoluta e stabilisci quale delle due questo strumento riporta prima di utilizzare le letture.
• Identificare gli effetti sistematici che causerebbero la deriva del prodotto — l'altezza idrostatica dell'olio, il volume morto nel tubo di collegamento, il raffreddamento incompleto e la non idealità del gas — e stimarne le dimensioni.

Protocollo

1. Individua l'apparato di Boyle.
2. Collega il tubo della pompa ad aria all'apparato di Boyle.

• Il collegamento del serbatoio dell'olio alla colonna d'aria deve essere tale che non vi siano perdite e che l'aria sia completamente isolata dall'olio.

3. Assicurati che il rubinetto dell'apparato di Boyle sia aperto.
4. Dopo aver collegato il tubo all'apparato di Boyle, iniziare a pompare aria utilizzando la pompa ad aria. Pompare finché il manometro non raggiunge circa 500 kPa.

• Quando l'aria viene pompata nell'apparato di Boyle, si osserva un aumento della pressione, come indicato dal manometro. Quando l'aria circola attraverso il serbatoio dell'olio, la pressione all'interno del sistema aumenta, causando l'innalzamento della colonna d'olio e risultando in una corrispondente diminuzione del volume della colonna d'aria.

5. Chiudere la valvola dell'aria quando l'olio smette di salire e la lettura del manometro è costante.
6. Puoi staccare il tubo dell'aria dall'apparato di Boyle.
7. Attendere 1 minuto per raffreddare l'aria compressa e annotare la lettura del volume della colonna d'aria (in ml) e la pressione relativa (in kPa).
8. Ora, premi il pulsante alla base dell'apparato di Boyle per far uscire l'aria dal sistema. Questo abbasserà la pressione nel sistema, causando la discesa del livello della colonna d'olio.

• Ottorrete un grafico della pressione in funzione del volume della colonna d'aria. Il manometro di questo apparecchio indica già la pressione assoluta, quindi non è necessaria alcuna correzione atmosferica. Un grafico della pressione assoluta in funzione dell'inverso del volume della colonna d'aria dovrebbe mostrare una relazione lineare passante per l'origine.

Risultati Previsti

Risultati attesi. L'apparecchio intrappola una colonna d'aria fissa sopra una colonna d'olio. Pompando si aumenta la pressione e si spinge l'olio verso l'alto, accorciando la colonna d'aria; rilasciando l'aria si permette a questa di scendere nuovamente. La temperatura non cambia mai e nessuna aria entra o esce dalla colonna intrappolata, quindi le uniche due quantità in gioco sono la pressione e il volume. La tabella registra le letture prese a intervalli di 40 kPa man mano che la pressione viene rilasciata, insieme allo stato completamente compresso all'inizio e allo stato completamente rilassato alla fine.

L'unico numero da portare via. La media dei dodici prodotti 2.02 × 10⁴ kPa·mL, e variano solo da 20200 a 20250 — con una dispersione di ±0,15 % rispetto alla media. Al di là del grafico, la simulazione registra altre 470 letture man mano che la pressione diminuisce di un kilopascal alla volta, e ognuna di queste rientra in un intervallo di ±0,5 % rispetto allo stesso valore. Una grandezza che rimane entro una frazione dell’uno per cento mentre ciascuno dei suoi due fattori varia di oltre 400 % ti sta dicendo qualcosa. Questa è la legge di Boyle:

P × V = costante (a temperatura fissa, per una quantità fissa di gas)

o, confrontando due qualsiasi stati dello stesso campione, P₁V₁ = P₂V₂. Verificando i due valori estremi della tabella: 101 × 200,0 = 20.200 e 541 × 37,4 = 20.233. I valori coincidono con una precisione di 0,16 %, anche alla massima distanza che l'apparecchio è in grado di produrre.

Pressione in funzione del volume. I punti misurati si trovano su un'iperbole: la pressione diminuisce drasticamente man mano che alla colonna viene permesso di allungarsi, per poi appiattirsi. La curva tratteggiata non è un adattamento ai dati, ma la singola relazione P = 2,02 × 10⁴ / V tracciata attraverso di essi.

Le stesse misurazioni tracciate contro il reciproco del volume. La curva diventa una linea retta passante per l'origine, la cui pendenza è la costante stessa.

La lettura dei due grafici. Il primo grafico ha la forma giusta, ma la sola forma è una prova debole: un gran numero di funzioni decrescenti assomiglia a un'iperbole a occhio, e non possono essere distinte a vista. Il secondo grafico converte l'affermazione in una che un righello può risolvere. Se P = costante / V, poi tracciando P contro l'1/V deve dare una linea retta e quella linea deve passare per l'origine. Entrambe le condizioni hanno un significato:

• Il pendenza è la costante. Una retta ai minimi quadrati passante per questi punti dà 2,02 × 10⁴ kPa·mL — lo stesso valore della media dell'ultima colonna, ottenuto in modo indipendente.
• Il intercettare dovrebbe essere zero, poiché una colonna infinitamente lunga non eserciterebbe alcuna pressione. L'intercetta interpolata è di circa 0,2 kPa, che è un quinto della divisione più piccola che il manometro può mostrare. È zero per quanto questo apparecchio possa determinare.
• Il disperdere è trascurabile: i punti si discostano dalla linea di meno della larghezza di una divisione del calibro e il fit restituisce un coefficiente di determinazione superiore a 0,9999.

Un dettaglio merita un secondo sguardo. Le pressioni sono state rilevate a intervalli regolari di 40 kPa e anche i reciproci nella seconda colonna risultano equidistanziati, ciascuno di circa 0,00198 mL⁻¹ dal prossimo. Che quella spaziatura uniforme non è una coincidenza dell'apparecchio; è la proporzionalità che si manifesta nell'aritmetica prima che venga tracciato qualsiasi grafico.

Perché il prodotto rimane costante. La pressione è l'effetto cumulativo delle molecole che urtano contro la parete: ogni collisione fornisce un piccolo impulso e la pressione è l'impulso totale al secondo per unità di area. Dimezzate la lunghezza della colonna e le stesse molecole vengono racchiuse in metà dello spazio, cosicché ciascuna di esse raggiunge una parete due volte più spesso. Nulla di una singola collisione cambia: le molecole non sono più veloci, poiché la loro velocità media è determinata unicamente dalla temperatura e la temperatura non è variata. Cambia solo la frequenza delle collisioni, e cambia in proporzione esatta all'affollamento. Sotto-chiave: doppia densità numerica, doppia pressione.

Anche per questo motivo la legge prevede due condizioni. Temperatura costante, perché le molecole più calde urtano con più forza e più spesso, aumentando la pressione senza alcuna variazione di volume. Una quantità fissa di gas, poiché una perdita rimuove molecole e riduce la frequenza delle collisioni. I due guasti appaiono diversi nei dati: una perdita fa scendere costantemente il prodotto durante un ciclo, mentre una temperatura che non si è stabilizzata lo rende alto all'inizio e corretto in seguito. L'errore di lettura casuale non fa né l'uno né l'altro: disperde il prodotto attorno alla sua media senza un trend.

Quanta aria c'è nella colonna. La costante non è semplicemente un numero che capita di rimanere immobile; la legge dei gas ideali la identifica come nRT. Dal PV = nRT e 2,02 × 10⁴ kPa·mL è pari a 20,2 J, a 20 °C:

n = PV / RT = 20,2 / (8,314 × 293) = 8,3 × 10^{meno tre} molo

circa 8,3 millimoli, o circa 0,24 g di aria — circa 5 × 10²¹ molecole. Uno studente che arriva a questo punto ha fatto molto di più che confermare una proporzionalità: ha pesato l'aria in un tubo di vetro usando nient'altro che un manometro e un righello.

Perché la colonna d'olio è il pistone destro. Un pistone solido trafilerebbe attraverso la sua guarnizione, e qualsiasi guarnizione abbastanza stretta da non trafilare genererebbe un attrito tale da far dipendere la pressione dall'ultimo senso di movimento del pistone. L'olio risolve entrambi i problemi in una sola volta. È praticamente incompressibile, quindi tutta la variazione di volume avviene nell'aria e nessuna nel pistone; bagna il vetro, quindi non c'è via di fuga per il gas; e non ha attrito statico, per cui la colonna si assesta nella vera posizione di equilibrio anziché da qualche parte nelle vicinanze.

Il prezzo è un termine idrostatico. Olio con densità di circa 850 kg/m³ in piedi h metri sopra la superficie del bacino aggiunge ρgh rispetto alla pressione alla base della colonna d’aria. Per un’elevazione di circa 0,4 m a compressione totale, ciò corrisponde a 850 × 9,81 × 0,4 ≈ 3,3 kPa — solo 0,6 % di 541 kPa, ma oltre 3 % di 101 kPa. È la ragione principale per cui il prodotto nell’ultima colonna non è perfettamente piatto, e spiega perché la piccola dispersione residua sia più marcata all’estremità rilassata piuttosto che a quella compressa, come l’intuizione avrebbe potuto suggerire.

Perché il protocollo ti fa aspettare un minuto. Comprimere un gas compie lavoro su di esso e lo riscalda; lasciarlo espandere lo raffredda. Abbassando rapidamente la colonna, l'aria intrappolata si trova brevemente ben al di sopra della temperatura ambiente, per cui il manometro segna un valore alto; la lettura decade poi in diversi secondi mentre il calore fuoriesce attraverso il vetro. La legge di Boyle vale solo a temperatura costante, quindi il minuto di attesa richiesto dopo la chiusura della valvola non è un riempimento superfluo, bensì il passaggio che rende la misurazione isotermica. Una prova eseguita in fretta produce pressioni elevate a piccoli volumi e un prodotto che aumenta man mano che la colonna viene accorciata, il che viene facilmente scambiato per una reale deviazione dalla legge.

Pressione relativa e pressione assoluta. La legge di Boyle è un'affermazione sulla pressione assoluta — la pressione misurata rispetto a un vuoto perfetto — poiché è la pressione assoluta a essere proporzionale alla frequenza delle collisioni. Un manometro che misura invece a partire dalla pressione atmosferica è sfalsato di circa 101 kPa, e il prodotto tra pressione relativa e volume non obbedisce ad alcuna legge semplice.

Lo strumento in questo laboratorio misura direttamente la pressione assoluta, e le letture lo dimostrano: l'ultima riga è 200,0 mL a 101 kPa, che è lo stato con la valvola aperta e l'olio a riposo. Con la colonna d'aria collegata alla stanza, essa può trovarsi solo alla pressione atmosferica, e 101 kPa è la pressione atmosferica. Uno strumento manometrico avrebbe mostrato 0 kPa in quel punto. Non è quindi necessaria alcuna correzione, e non ne deve essere applicata alcuna. Se in seguito gli studenti incontrassero un apparecchio che legge la pressione relativa, la pressione atmosferica deve essere aggiunta a ogni lettura prima di formare qualsiasi prodotto — e il test dell'origine sul secondo grafico è il modo più rapido per individuare l'omissione, poiché i punti non corretti cadono su una retta spostata verso il basso di circa 101 kPa.

Cosa supporterà la precisione delle letture. Il manometro ha una risoluzione di 1 kPa e la scala volumetrica di circa 0,1 mL. All’estremità compressa, 1 kPa corrisponde a meno di 0,2 % della lettura, mentre a 101 kPa corrisponde a un intero 1 %; la lettura del volume si comporta in modo opposto, poiché 0,1 mL corrisponde a 0,3 % di 37,4 mL ma solo a 0,05 % di 200 mL. I due effetti si compensano in parte, il che è uno dei motivi per cui il prodotto mantiene una stabilità così elevata su tutto il campo di misura.

Vale la pena fare esplicitamente due osservazioni agli studenti più grandi. Il reciproco 1/V deve essere calcolato con un numero sufficiente di cifre significative prima della rappresentazione grafica, poiché un arrotondamento precoce fa collassare misurazioni distinte sullo stesso punto e lusinga il fit. E una singola prova, per quanto pulita, non può stabilire un'esatta proporzionalità inversa; stabilisce che i dati sono coerenti con essa entro una frazione di percentuale su un intervallo di cinque volte. Questa è l'affermazione onesta, ed è forte. I gas reali si discostano misurabilmente dalla legge di Boyle — ad alta pressione il volume proprio delle molecole e la loro attrazione reciproca iniziano a contare, ed è a questo che corregge l'equazione di van der Waals — ma l'aria a temperatura ambiente e a poche atmosfere è lontana da quel regime. L'aria è anche umida, e il vapore acqueo contribuisce con la propria pressione parziale; poiché tale contributo è quasi costante a temperatura fissa, sposta la costante in modo molto leggero anziché incurvare la linea, ed è per questo che non si nota nel grafico.

Riepilogo del compito per intervallo di voti

Classe 9-10

Concentrati. Osservazione e vocabolario. Gli studenti vedono che un gas può essere compresso in una frazione del suo spazio originale e che la pressione necessaria per farlo aumenta man mano che lo spazio si riduce.

• Pompa l'apparecchio, osserva l'olio salire e descrivi a parole cosa succede alla colonna d'aria e al manometro.
• Prendi quattro o cinque letture durante la discesa e inseriscile in una tabella di volume e pressione.
• Traccia la pressione in funzione del volume e descrivi la curva: discendente, ripida a piccoli volumi, che si appiattisce a volumi grandi, senza mai raggiungere lo zero.
• Per dimezzare ulteriormente il volume da 50 mL a 25 mL, la pressione dovrebbe aumentare di più rispetto a quanto ha fatto da 100 mL a 50 mL.

Undicesimo anno

Concentrati. Trattamento quantitativo. Gli studenti verificano numericamente l'affermazione di costanza e imparano a linearizzare una relazione invece di giudicare una curva a occhio.

• Registra tutte e dodici le letture, aggiungi le colonne per 1/V e P × V e indica l'intervallo dell'ultima colonna come percentuale della sua media.
• Tracciare la pressione assoluta in funzione di 1/V, tracciare la linea retta migliore e misurarne la pendenza; confrontare tale pendenza con la media della colonna P × V.
• Usa P₁V₁ = P₂V₂ per prevedere il volume a 400 kPa, quindi interpolare la serie misurata per verificare.
• Spiega perché la colonna completamente rilasciata a 200,0 mL e 101 kPa si trova sulla stessa riga dei punti compressi.

12ª classe / Livello universitario

Concentrati. Derivazione, analisi degli errori e interpretazione indipendente. Gli studenti sono tenuti a rendere conto delle deviazioni piuttosto che a scartarle.

• Derivare P ∝ 1/V sia da PV = nRT sia dalla teoria cinetica, P = (1/3)(N/V)m〈v², e enunciare le ipotesi necessarie per ciascuna derivazione.
• Calcola la quantità di aria intrappolata in moli, in grammi e in molecole, e dimostra che rimane invariata in ogni punto della corsa.
• Adatta i dodici punti con i minimi quadrati e cita la pendenza.
• Tenere conto della deriva verso il basso di 0,2 % in P × V: stimare il contributo del gas reale a partire da Z = 1 + BP/RT con B ≈ −7 cm³/mol, stima il contributo idrostatico da ρgh e argomenta quale predomina.
• Confronta le pressioni isoterma e adiabatica per una compressione da 200 mL a 34,7 mL e usa la differenza per giustificare quantitativamente l'attesa di un minuto nel passaggio 7.

Materiale essenziale di laboratorio

Strumenti

• Apparecchio di Boyle — serbatoio dell'olio, colonna d'aria graduata (0–200 mL) e manometro che misura la pressione assoluta in kPa
• Pompa d'aria manuale con tubo di collegamento
• Toccare e rilasciare la valvola alla base dell'apparecchio

Prodotti

• Aria — 200 mL sigillati nella colonna graduata a pressione atmosferica
• Aria compressa — immessa dalla pompa manuale nel serbatoio dell'olio
• Olio di tenuta — riempie il serbatoio e isola la colonna d'aria intrappolata