055 – Relația dintre volum și presiunea unui gaz 2

Aparatul lui Boyle este instrumentul care a făcut ca prima lege a gazelor să poată fi măsurată, iar o versiune a acestuia se află și astăzi în cele mai multe laboratoare didactice de fizică și chimie. O cantitate fixă de aer este prinsă într-un tub vertical gradat deasupra unui rezervor de ulei; uleiul este incompresibil și etanș la gaze, astfel încât se comportă ca un piston care se închide etanș perfect și alunecă fără frecare. Pompați aer în rezervor și uleiul urcă, comprimând coloana prinsă într-un spațiu din ce în ce mai mic, în timp ce un manometru înregistrează presiunea. Același principiu guvernează o pompă de bicicletă, cursa de compresie a unui motor, un tub de aerosol, plonjonul unui scafandru la ascensiune și acumulatorul hidraulic de pe un utilaj greu.

Relația care se măsoară este legea lui Boyle: pentru o cantitate fixă de gaz la temperatură constantă, P × V este o constantă. Presiunea este forța acumulată a moleculelor care lovesc pereții, așa că înghesuirea aceluiași număr de molecule în jumătate din spațiu dublează frecvența cu care acestea sosesc și dublează presiunea. Două condiții trebuie să fie îndeplinite pentru ca legea să fie exactă, și ambele sunt condiții pe care aparatul trebuie folosit cu atenție pentru a le respecta: cantitatea de gaz prinsă în capcană nu trebuie să se schimbe, ceea ce garantează etanșarea cu ulei, iar temperatura nu trebuie să se schimbe, motiv pentru a cărui cauză aerului comprimat i se acordă timp să se răcească înainte ca ceva să fie consemnat în scris.

În acest laborator veți conecta pompa manuală, veți verifica dacă robinetul este deschis și veți pompa până când manometrul indică aproximativ 500 kPa, urmărind cum urcă uleiul și cum scade coloana de aer. Apoi închideți supapa, așteptați un minut pentru ca aerul comprimat să revină la temperatura camerei și înregistrați volumul coloanei de aer și presiunea. Eliberarea aerului în etape oferă o serie de citiri corelate, de la coloana comprimată înapoi la volumul său total de 200 mL. Reprezentarea grafică a presiunii în funcție de volum produce o hiperbolă; reprezentarea acesteia în funcție de 1/V îndreaptă acea curbă într-o linie care trece prin origine, a cărei pantă este constanta Boyle pentru proba sigilată.

Obiective educaționale

Familiarizarea cu mediul de laborator

• Identificați părțile aparatului Boyle — rezervorul de ulei, coloana de aer gradată, robinetul și manometrul — și precizați ce face fiecare dintre ele.
• Explicați de ce se folosește un piston lichid, mai degrabă decât unul solid, pentru a etanșa și comprima aerul captat.

Operarea în siguranță a unui sistem sub presiune

• Conectați furtunul pompei și confirmați etanșarea înainte de a presuriza ceva.
• Pompează până la o presiune țintă, închide supapa la momentul potrivit și eliberează presiunea din sistem în trepte controlate, nu dintr-odată.

Măsurarea și înregistrarea datelor

• Citiți meniscul de ulei în raport cu coloana gradată și acul în raport cu cadranul manometrului, apoi înregistrați-le pe cele două ca pereche corespunzătoare.
• Așteptați echilibrul termic înainte de înregistrare și explicați cum ar arăta o citire luată prea devreme.

Tratarea cantitativă a legii lui Boyle

• Calculează P × V la fiecare citire și apreciază dacă dispersia din acea coloană este suficient de mică încât să susțină afirmația că este constantă.
• Reprezentați grafic presiunea absolută în funcție de 1/V, potriviți o linie dreaptă și interpretați panta acesteia ca fiind constanta lui Boyle, iar ordonata la origine ca pe un diagnostic.
• Estimează volumul la o presiune care nu a fost măsurată, folosind P₁V₁ = P₂V₂, și verifică-l.

Evaluarea critică a măsurătorii

• Faceți distincția între presiunea manometrică și presiunea absolută și stabiliți care dintre acestea este indicată de acest instrument înainte de a utiliza valorile afișate.
• Identificați efectele sistematice care ar putea determina abaterea produsului — presiunea hidrostatică a uleiului, volumul mort din tubul de legătură, răcirea incompletă și caracterul neideal al gazului — și estimați amploarea acestora.

Protocol

1. Localizați aparatul lui Boyle.
2. Conectați furtunul pompei de aer la aparatul lui Boyle.

• Conexiunea rezervorului de ulei la coloana de aer trebuie să fie realizată astfel încât să nu existe scurgeri și ca aerul să fie complet izolat de ulei.

3. Asigurați-vă că robinetul aparatului Boyle este deschis.
4. După conectarea tubului la aparatul lui Boyle, începeți să pompați aer folosind pompa de aer. Pompați până când manometrul ajunge la aproximativ 500 kPa.

• Când aerul este pompat în aparatul lui Boyle, se observă o creștere a presiunii, așa cum este indicată de manometru. Când aerul circulă prin rezervorul de ulei, presiunea din interiorul sistemului crește, ceea ce face ca coloana de ulei să se ridice și să rezulte într-o scădere corespunzătoare a volumului coloanei de aer.

5. Închideți valva de aer odată ce uleiul nu mai urcă și citirea manometrului este constantă.
6. Puteți detașa furtunul de aer de la aparatul lui Boyle.
7. Așteptați 1 minut pentru a răci aerul comprimat și notați citirea volumului coloanei de aer (în ml) și a presiunii manometrice (în kPa).
8. Acum, apăsați butonul de la baza aparatului Boyle pentru a lăsa aerul să iasă din sistem. Acest lucru va scădea presiunea din sistem, ceea ce va face ca nivelul coloanei de ulei să scadă.

• Veți obține un grafic al presiunii în funcție de volumul coloanei de aer. Manometrul de pe acest aparat indică deja presiunea absolută, deci nu este necesară nicio corecție atmosferică. Un grafic al presiunii absolute în funcție de inversul volumului coloanei de aer ar trebui să indice o relație liniară care trece prin origine.

Rezultate anticipate

Rezultate așteptate. Aparatul reține o coloană fixă de aer deasupra unei coloane de ulei. Pomparea crește presiunea și împinge uleiul în sus, scurtând coloana de aer; eliberarea aerului permite coloanei să coboare din nou. Temperatura rămâne constantă, iar aerul nu intră și nu iese din coloana reținută, astfel încât singurele două mărimi implicate sunt presiunea și volumul. Tabelul înregistrează valorile măsurate la intervale de 40 kPa pe măsură ce presiunea este eliberată, împreună cu starea de compresie maximă la început și starea de relaxare completă la sfârșit.

Cifra pe care trebuie să o rețineți. Media celor douăsprezece produse 2.02 × 10⁴ kPa·mL, iar valorile acestora variază doar între 20200 și 20250 — o abatere de ±0,15 % față de medie. În spatele graficului, simularea înregistrează încă 470 de citiri pe măsură ce presiunea scade cu câte un kilopascal, iar fiecare dintre acestea se încadrează în intervalul de ±0,5 % față de aceeași valoare. O mărime care se menține la o fracțiune de un procent în timp ce fiecare dintre cei doi factori ai săi se modifică cu mai mult de 400 % îți spune ceva. Aceasta este legea lui Boyle:

P × V = constantă (la o temperatură fixă, pentru o cantitate fixă de gaz)

sau, comparând două stări oarecare ale aceluiași eșantion, P₁V₁ = P₂V₂. Verificând cele două valori extreme din tabel: 101 × 200,0 = 20 200 și 541 × 37,4 = 20 233. Acestea coincid cu o precizie de 0,16 %, la cea mai mare distanță pe care o poate produce aparatul.

Presiune în funcție de volum. Punctele măsurate se află pe o hiperbolă: presiunea scade brusc pe măsură ce coloana este lăsată să se alungească, apoi se aplatizează. Curba punctată nu reprezintă o potrivire cu datele — este singura relație P = 2.02 × 10⁴ / V trasat prin ele.

Aceleași măsurători reprezentate grafic în funcție de reciproca volumului. Curba se transformă într-o dreaptă care trece prin origine, a cărei pantă este chiar constanta respectivă.

Analiza celor două grafice. Primul grafic are forma corectă, dar forma în sine nu constituie o dovadă suficientă: foarte multe funcții descrescătoare par a fi hiperbole la prima vedere și nu pot fi diferențiate doar prin observare. Al doilea grafic transformă afirmația într-una care poate fi verificată cu ajutorul unei rigle. Dacă P = constant / V, apoi reprezentând grafic P împotriva a 1/V trebuie să dea o linie dreaptă, iar acea linie trebuie să treacă prin origine. Ambele condiții au o semnificație:

• Acest pantă este constanta. O linie de cele mai mici pătrate prin aceste puncte dă 2,02 × 10⁴ kPa·mL — aceeași cifră ca media ultimei coloane, obținută în mod independent.
• Acest interceptează ar trebui să fie zero, deoarece o coloană de lungime infinită nu ar exercita nicio presiune. Intercepția ajustată este de aproximativ 0,2 kPa, adică o cincime din cea mai mică diviziune pe care o poate arăta manometrul. Este zero, în limita a ceea ce poate spune acest aparat.
• Acest dispersa este neglijabilă: punctele se abat de la linie cu mai puțin decât lățimea unei diviziuni a etalonului, iar aproximarea returnează un coeficient de determinare de peste 0,9999.

Un detaliu merită o a doua privire. Presiunile au fost luate la intervale egale de 40 kPa, iar inversele din a doua coloană se dovedesc a fi, de asemenea, spațiate uniform, fiecare având aproximativ 0,00198 mL⁻¹ din următorul. Că acea spațiere uniformă nu este o coincidență a aparatului; este proporționalitatea care se arată în aritmetică înainte ca vreun grafic să fie desenat.

De ce produsul rămâne constant. Presiunea este efectul cumulat al moleculelor care lovesc peretele: fiecare coliziune generează un impuls mic, iar presiunea reprezintă impulsul total pe secundă pe unitatea de suprafață. Înjumătățiți lungimea coloanei și aceleași molecule sunt închise în jumătate din spațiu, astfel încât fiecare dintre ele atinge un perete de două ori mai des. Nimic dintr-o coliziune individuală nu se schimbă — moleculele nu sunt mai rapide, deoarece viteza lor medie este determinată exclusiv de temperatură, iar temperatura nu s-a modificat. Doar frecvența coliziunilor se schimbă, și se schimbă în proporție exactă cu înghesuirea. Densitate de două ori mai mare, presiune de două ori mai mare.

Acesta este și motivul pentru care legea conține două condiții. Temperatură constantă, deoarece moleculele mai calde se lovesc mai puternic și mai des, crescând presiunea fără nicio modificare a volumului. O cantitate fixă de gaz, deoarece o scurgere elimină molecule și scade rata de coliziune. Cele două defecțiuni arată diferit în date: o scurgere face ca produsul să scadă treptat pe parcursul unei rulări, în timp ce o temperatură care nu s-a stabilizat îl face ridicat la început și corect mai târziu. Eroarea de citire aleatorie nu face niciuna dintre acestea — ea împrăștie produsul în jurul mediei sale, fără nicio tendință.

Cât aer este în coloană. Constanta nu este doar un număr care se întâmplă să rămână neschimbat; legea gazelor ideale o identifică drept nRT. Deoarece PV = nRT și 2,02 × 10⁴ kPa·mL înseamnă 20,2 J, la 20 °C:

n = PV / RT = 20,2 / (8,314 × 293) = 8,3 × 10⁻³ mol

în jur de 8,3 milimoli, sau aproximativ 0,24 g de aer — adică aproximativ 5 × 10²¹ molecule. Un elev care ajunge atât de departe a făcut mai mult decât să confirme o proporționalitate: a cântărit aerul dintr-un tub de sticlă folosind doar un manometru și o riglă.

De ce coloana de ulei este pistonul drept. Un piston solid ar scăpa pe lângă garnitură, iar o garnitură suficient de strânsă încât să nu scape ar genera suficientă frecare încât să facă presiunea să depindă de direcția în care s-a mișcat ultima oară pistonul. Uleiul rezolvă ambele probleme deodată. Este practic incompresibil, așa că toată variația de volum se produce în aer și deloc în piston; umezește sticla, deci nu există nicio cale pentru ca gazul să se strecoare pe lângă; și nu are frecare statică, astfel încât coloana se așază în poziția de echilibru reală, și nu undeva în apropierea acesteia.

Prețul este un termen hidrostatic. Ulei cu densitatea de aproximativ 850 kg/m³ în picioare h metri deasupra suprafeței rezervorului adaugă ρgh la presiunea de la baza coloanei de aer. Pentru o creștere de aproximativ 0,4 m la compresie maximă, aceasta înseamnă 850 × 9,81 × 0,4 ≈ 3,3 kPa — doar 0,6 % din 541 kPa, dar peste 3 % din 101 kPa. Acesta este principalul motiv pentru care produsul din ultima coloană nu este perfect uniform și explică de ce mica dispersie reziduală este mai pronunțată la capătul relaxat decât la capătul comprimat, așa cum ar fi sugerat intuiția.

De ce te face protocolul să aștepți un minut. Comprimarea unui gaz efectuează lucru mecanic asupra acestuia și îl încălzește; lăsarea lui să se expandeze îl răcește. Pompați coloana rapid, iar aerul prins se află pentru scurt timp mult peste temperatura camerei, astfel încât indicatorul arată o valoare ridicată; citirea scade apoi în câteva secunde, pe măsură ce căldura iese prin sticlă. Legea lui Boyle este valabilă numai la temperatură constantă, așa că minutul de așteptare cerut după închiderea supapei nu este o risipă de timp — este pasul care face ca măsurătoarea să fie izotermă. O rulare făcută în grabă oferă presiuni ridicate la volume mici și un produs care crește pe măsură ce coloana este scurtată, ceea ce poate fi ușor confuz cu o abatere reală de la lege.

Presiunea manometrică și presiunea absolută. Legea lui Boyle este o afirmație despre presiunea absolută — presiunea măsurată față de un vid adevărat — deoarece presiunea absolută este cea proporțională cu rata ciocnirilor. Un manometru care citește în schimb de la presiunea atmosferică este decalat cu aproximativ 101 kPa, iar produsul dintre presiunea manometrică și volum nu respectă nicio lege simplă.

Instrumentul din acest laborator raportează presiunea absolută în mod direct, iar citirile o dovedesc: ultimul rând este de 200,0 mL la 101 kPa, care este starea cu supapa deschisă și uleiul în repaus. Cu coloana de aer conectată la cameră, aceasta nu poate fi decât la presiune atmosferică, iar 101 kPa reprezintă presiunea atmosferică. Un instrument cu manometru ar fi indicat 0 kPa acolo. Prin urmare, nu este necesară nicio corecție și niciuna nu ar trebui aplicată. Dacă studenții vor întâlni ulterior un aparat care citește presiunea manometrică, presiunea atmosferică trebuie adăugată la fiecare citire înainte ca vreun produs să fie format — iar testul originii de pe al doilea grafic este cel mai rapid mod de a depista omisiunea, deoarece punctele necorectate cad pe o linie deplasată în jos cu aproximativ 101 kPa.

Ce va susține precizia citirilor. Manometrul are o rezoluție de 1 kPa, iar scala de volum de aproximativ 0,1 mL. La capătul comprimat, 1 kPa se află sub 0,2 % din valoarea afișată, în timp ce la 101 kPa aceasta reprezintă un 1 % întreg; citirea volumului se comportă invers, întrucât 0,1 mL reprezintă 0,3 % din 37,4 mL, dar doar 0,05 % din 200 mL. Cele două efecte se compensează parțial, ceea ce constituie unul dintre motivele pentru care produsul rămâne atât de stabil pe întreaga gamă de măsurare.

Două puncte merită menționate explicit pentru studenții mai în vârstă. Reciproca 1/V trebuie păstrate la suficiente cifre semnificative înainte de reprezentarea grafică, deoarece rotunjirea lor timpurie comasează măsurători distincte în același punct și avantajează în mod nerealist ajustarea. Iar o singură rulare, oricât de curată, nu poate stabili o proporționalitate inversă exactă; ea stabilește că datele sunt consistente cu aceasta într-o fracțiune de procent pe un interval de cinci ori mai mare. Aceasta este afirmația onestă și este una puternică. Gazele reale se abate măsurabil de la legea lui Boyle – la presiune ridicată, volumul propriu al moleculelor și atracția lor mutuală încep să conteze, ceea ce ecuația lui van der Waals corectează – dar aerul la temperatura camerei și la câteva atmosfere este departe de acel regim. De asemenea, aerul este umed, iar vaporii de apă contribuie cu propria presiune parțială; deoarece această contribuție este aproape constantă la o temperatură fixată, ea deplasează constanta foarte puțin, în loc să curbeze linia, motiv pentru care nu se vede pe grafic.

Rezumatul temei pe intervale de note

Clasele a IX-a și a X-a

Concentrare. Observație și vocabular. Elevii observă că un gaz poate fi comprimat într-o fracțiune din spațiul său original și că presiunea necesară pentru a face acest lucru crește pe măsură ce spațiul se micșorează.

• Pompează aparatul, privește cum crește nivelul uleiului și descrie în cuvinte ce se întâmplă cu coloana de aer și cu manometrul.
• Luați patru sau cinci citiri pe parcursul coborârii și introduceți-le într-un tabel de volum și presiune.
• Reprezentați presiunea în funcție de volum și descrieți curba: în cădere, abruptă la volume mici, aplatizată la volume mari, fără a atinge niciodată zero.
• Pentru a reduce din nou volumul la jumătate, de la 50 mL la 25 mL, presiunea va trebui să crească mai mult decât a făcut-o de la 100 mL la 50 mL.

Clasa a XI-a

Concentrare. Tratament cantitativ. Studenții testează afirmația privind constanța pe cale numerică și învață să liniarizeze o relație în loc să judece o curbă "ochiometric".

• Înregistrați toate cele douăsprezece citiri, adăugați coloane pentru 1/V și P × V și indicați intervalul ultimei coloane ca procent din media sa.
• Reprezentați presiunea absolută în funcție de 1/V, trasați cea mai bună linie dreaptă și măsurați-i panta; comparați acea pantă cu media coloanei P × V.
• Folosește P₁V₁ = P₂V₂ pentru a aprecia volumul la 400 kPa, apoi interpolați seria măsurată pentru verificare.
• Explicați de ce coloana eliberată complet la 200,0 mL și 101 kPa aparține pe aceeași linie cu punctele comprimate.

Clasa a XII-a / Nivel universitar

Concentrare. Derivare, analiză a erorilor și interpretare independentă. Se așteaptă ca studenții să explice abaterile, mai degraba decât să le ignore.

• Deduceți P ∝ 1/V atât din legea gazelor ideale PV = nRT, cât și din teoria cinetică, P = (1/3)(N/V)m〈v²〉², și menționează ipotezele de care are nevoie fiecare derivare.
• Calculați cantitatea de aer prins în moli, în grame și în molecule și arătați că aceasta rămâne neschimbată în fiecare punct al parcursului.
• Potriviți cele douăsprezece puncte prin metoda celor mai mici pătrate și menționați panta.
• Luați în considerare deviația descendentă de 0,2 % în P × V: estimați contribuția gazului real din ecuația Z = 1 + BP/RT, unde B ≈ −7 cm³/mol, estimați contribuția hidostatică din ρgh și argumentați care o domină.
• Compară presiunile izotermă și adiabatică pentru o compresie de la 200 mL la 34,7 mL și folosește diferența pentru a justifica cantitativ așteptarea de un minut de la pasul 7.

Esențiale de laborator

Instrumente

• aparat Boyle — rezervor de ulei, coloană de aer gradată (0–200 mL) și manometru care citește presiunea absolută în kPa
• Pompă manuală de aer cu furtun de conectare
• Apăsați și eliberați supapa de la baza aparatului

Produse

• Aer — 200 mL sigilat în coloana gradată la presiune atmosferică
• Aer comprimat — livrat de pompa manuală în rezervorul de ulei
• Ulei de etanșare — umple rezervorul și izolează coloana de aer prinsă