055 – 기체의 부피와 압력의 관계 2

보일 장치는 최초의 기체 법칙을 측정 가능하게 만든 기구이며, 그 버전 중 하나는 여전히 대부분의 물리학 및 화학 교육 실험실에 남아 있습니다. 일정량의 공기가 오일 저장소 위쪽의 눈금이 매겨진 수직 관에 갇혀 있습니다. 오일은 압축되지 않고 기체가 새지 않으므로, 완벽하게 밀폐되고 마찰 없이 미끄러지는 피스톤처럼 작동합니다. 저장소에 공기를 펌프질해 넣으면 오일이 상승하여 갇힌 기체 기둥을 점점 더 작은 공간으로 압축하고, 그동안 압력계가 압력을 기록합니다. 이와 동일한 원리가 자전거 펌프, 엔진의 압축 행정, 에어로졸 캔, 상승할 때의 다이버 폐, 그리고 중장비의 유압 축압기를 지배합니다.

측정 중인 관계는 보일의 법칙입니다. 즉, 일정한 온도에서 일정량의 기체에 대해 P × V는 상수입니다. 압력은 분자들이 벽에 부딪히는 누적된 힘이므로, 동일한 수의 분자를 절반의 공간에 채우면 분자들이 도달하는 빈도가 두 배가 되고 압력도 두 배가 됩니다. 이 법칙이 정확하게 성립하려면 두 가지 조건을 충족해야 하며, 두 조건 모두 장비를 주의 깊게 조작해야만 충족할 수 있습니다. 즉, 갇힌 기체의 양이 변하지 않아야 하며(이는 오일 씰이 보장하는 것입니다), 온도가 변하지 않아야 합니다(이것이 압축 공기를 식힐 시간을 준 뒤에야 기록하는 이유입니다).

이 실험실에서 여러분은 핸드 펌프를 연결하고, 콕이 열려 있는지 확인한 다음, 기름이 올라가고 공기 기둥이 줄어드는 것을 지켜보면서 압력계가 약 500 kPa을 가리킬 때까지 펌프질을 할 것입니다. 그런 다음 밸브를 닫고, 압축된 공기가 실온으로 돌아올 때까지 1분 동안 기다린 후, 공기 기둥의 부피와 압력을 기록합니다. 공기를 단계별로 방출하면 압축된 기둥에서 원래의 전체 200 mL로 돌아갈 때까지의 일련의 대응되는 측정값이 얻어집니다. 압력을 부피에 대해 플롯하면 쌍곡선이 생성되며, 압력을 1/V에 대해 플롯하면 그 곡선이 원점을 지나는 직선으로 펴지고, 이 직선의 기울기는 밀봉된 시료에 대한 보일 상수입니다.

교육 목표

실험실 환경 익숙해지기

• 보일 장치의 부품들인 오일 저장소(oil reservoir), 눈금이 매겨진 공기 기둥(graduated air column), 콕(tap), 그리고 압력계(manometer)를 확인하고 각각의 역할을 설명하시오.
• 고체 피스톤 대신 액체를 사용하여 갇힌 공기를 밀봉하고 압축하는 이유는 액체가 고체와 달리 완벽하게 형태를 변형하여 틈새를 완전히 채울 수 있기 때문에 누출을 방지하고 압력을 균일하게 전달하기 때문입니다.

가압 시스템의 안전한 작동

• 펌프 호스를 연결하고 가압하기 전에 씰을 확인하세요.
• 목표 압력까지 펌프질하고, 적절한 순간에 밸브를 닫은 다음, 시스템을 한 번에 다 빼는 대신 통제된 단계별로 압력을 낮추십시오.

측정 및 데이터 기록

• 눈금 실린더의 오일 메니스커스와 압력계 다이얼의 바늘을 읽고, 이 둘을 한 쌍으로 기록하십시오.
• 기록하기 전에 열평균에 도달할 때까지 기다리시고, 너무 일기에 측정한 값이 어떻게 보일지 설명해 주세요.

보일의 법칙의 정량적 처리

• 모든 측정값에서 P × V를 계산하고, 해당 열의 편차가 그것이 일정하다는 주장을 뒷받침할 수 있을 만큼 충분히 작은지 판단하십시오.
• 절대 압력을 1/V에 대해 도시하고, 직선을 피팅한 뒤, 그 기울기를 보일 상수로, 절편을 진단 지표로 해석하시오.
• P를 사용하여 측정되지 않은 압력에서의 부피를 예측하시오₁V₁ = P₂V₂, 그리고 확인해 주세요.

측정값의 비판적 평가

• 게이지 압력과 절대 압력을 구분하고, 측정값을 사용하기 전에 이 계측기가 둘 중 어느 것을 나타내는지 확인하십시오.
• 제품의 편차를 유발하는 계통 오차 요인들, 즉 오일의 정수압, 연결 튜브의 사각 체적(dead volume), 불완전한 냉각, 그리고 기체의 비이상성을 식별하고 그 크기를 추정하라.

프로토콜

1. 보일 장치를 찾으십시오.
2. 공기 펌프 호스를 보일 기구에 연결하십시오.

• 유저가.

3. 보일 장치의 탭이 열려 있는지 확인하세요.
4. 튜브를 보일 장치에 연결한 후, 에어 펌프를 사용하여 공기를 펌핑합니다. 마노미터가 약 500kPa에 도달할 때까지 펌핑합니다.

• 보일 장치에 공기를 주입하면 마노미터가 나타내는 것처럼 압력이 증가합니다. 공기가 오일 저장소를 순환하면 시스템 내부의 압력이 증가하여 오일 기둥이 상승하고 공기 기둥의 부피가 감소합니다.

5. 기름이 더 이상 올라오지 않고 압력 게이지의 눈금이 일정해지면 에어 밸브를 닫으십시오.
6. 대기 호스를 보일의 장치에서 분리할 수 있습니다.
7. 1분간 압축 공기를 식힌 후 공기 기둥의 부피(ml)와 게이지 압력(kPa)을 기록하십시오.
8. 이제 보일의 장치 아래쪽에 있는 버튼을 눌러 시스템에서 공기를 빼냅니다. 이렇게 하면 시스템 내부의 압력이 낮아져 오일 기둥의 높이가 내려갈 것입니다.

• 공기 기둥의 부피 함수로서의 압력 그래프를 얻게 됩니다. 이 장치의 게이지는 이미 절대압을 읽어내므로 대기압 보정이 필요 없습니다. 절대압과 공기 기둥 부피의 역수에 대한 그래프는 원점을 지나는 선형 관계를 보여야 합니다.

예상 결과

예상 결과. 이 장치는 기름 기둥 위에 고정된 공기 기둥을 가둡니다. 펌프질로 압력 이 높아지고 기름이 위로 밀려 올라가 공기 기둥이 짧아지며, 공기를 빼내면 다시 아래로 떨어집니다. 온도는 전혀 변하지 않고 갇힌 공기 기둥 안으로 공기가 들어가거나 나가지도 않으므로, 관련된 변수는 압력과 부피 단 두 가지뿐입니다. 표에는 압력이 해제됨에 따라 40 kPa 간격으로 측정된 수치와, 시작 시점의 완전 압축 상태 및 종료 시점의 완전 이완 상태가 함께 기록되어 있습니다.

음량 V (mL)	1 / V 밀리리터-1)	절대압력 P (kPa)	P × V (kPa·mL)
200.0	0.00500	101	20200
143.4	0.00697	141	20219
111.7	0.00895	181	20218
91.5	0.01093	221	20222
77.5	0.01290	261	20228
67.2	0.01488	301	20227
59.3	0.01686	341	20221
53.1	0.01883	381	20231
48.1	0.02079	421	20250
43.9	0.02278	461	20238
40.4	0.02475	501	20240
37.4	0.02674	541	20233

빼야 할 하나의 숫자. 12개 제품의 평균 2.02 × 10⁴ kPa·mL, 그리고 그 값들은 20200에서 20250 사이에만 분포하며, 이는 평균을 기준으로 ±0.15 %의 편차를 보입니다. 그래프 뒤에서 시뮬레이션은 압력이 한 번에 1킬로파스칼씩 감소함에 따라 추가로 470개의 측정값을 기록하며, 이들 측정값은 모두 동일한 값의 ±0.5 % 범위 내에 들어갑니다. 두 요인이 각각 400 % 이상 변화함에도 불구하고 1% 미만의 오차 범위 내에서 유지되는 수치는 무언가를 시사합니다. 이것이 바로 보일의 법칙입니다:

P × V = 일정 (고정된 온도에서, 일정한 양의 기체에 대해)

또는 동일한 시료의 임의의 두 상태를 비교하여, P₁V₁ = P₂V₂. 표의 양 끝값을 확인해 보면: 101 × 200.0 = 20200, 541 × 37.4 = 20233이다. 이 두 값은 장치가 만들어낼 수 있는 가장 넓은 간격에서 0.16 %까지 일치한다.

부피에 대한 압력. 측정된 점들은 쌍곡선 위에 놓여 있습니다. 열이 길어짐에 따라 압력이 가파르게 떨어지다가 완만해집니다. 파선 곡선은 데이터에 맞춘 것이 아니라 단일 관계식 P = 2.02 × 10입니다.⁴ / V가 그것들을 관통하여 그려짐.

부피의 역수에 대하여 동일한 측정값을 도시하였다. 곡선은 원점을 지나는 직선이 되며, 그 기울기는 상수 그 자체이다.

두 그래프 읽기. 첫 번째 그래프는 올바른 형태를 가지고 있지만, 형태만으로는 강력한 증거가 되지 못합니다. 육안으로는 수많은 감소 함수가 쌍곡선처럼 보이며, 육안 검사만으로는 이들을 구별할 수 없기 때문입니다. 두 번째 그래프는 그 주장을 자(ruler)로 해결할 수 있는 형태로 변환합니다. 만약 P = 상수 / V, 그런 다음 플로팅 P 1/ 대 대장V 반드시 직선이어야 하며, 그 직선은 반드시 원점을 지나야 합니다. 두 조건 모두 의미를 갖습니다.

• 그 경사 은 상수이다. 이 점들을 지나는 최소제곱법 직선은 2.02 × 10을(를) 준다.⁴ kPa·mL — 마지막 열의 평균과 동일한 수치이며, 독립적으로 도출되었습니다.
• 그 요격하다 영이 되어야 한다. 무한히 긴 기둥은 압력을 가하지 않을 것이기 때문이다. 적합된 절편은 약 0.2 kPa로, 이는 게이지가 나타낼 수 있는 최소 눈금의 5분의 1에 해당한다. 이 장치가 판별할 수 있는 한 그것은 영이다.
• 그 흩뿌리다 무시할 수 있을 정도입니다. 점들이 게이지 눈금의 너비보다 적게 선에서 벗어나며, 적합(fit)은 0.9999 이상의 결정계수를 나타냅니다.

한 가지 세부 사항은 다시 볼 가치가 있습니다. 압력은 정확히 40 kPa 간격으로 측정되었으며, 두 번째 열의 역수 역시 각각 약 0.00198 mL로 균등한 간격을 이루고 있음이 밝혀졌습니다.^-1 다음 것에서부터. 그 균등한 간격은 장치의 우연이 아니며, 그것은 어떤 그래프가 그려지기 전에도 산술 속에서 스스로 드러나는 비례성이다.

제품이 변하지 않는 이유. 압력은 분자들이 벽에 부딪히는 누적 효과입니다. 즉, 각 충돌은 작은 충격을 전달하고, 압력은 단위 면적당 초당 총 충격량입니다. 기둥의 길이를 반으로 줄이면 동일한 분자들이 절반의 공간에 갇히게 되므로, 각 분자가 벽에 도달하는 빈도가 두 배로 늘어납니다. 개별 충돌과 관련된 것은 아무것도 변하지 않습니다. 평균 속도가 오직 온도에 의해서만 결정되고 온도가 변하지 않았기 때문에 분자들은 더 빨라지지 않습니다. 오직 충돌 빈도만 변하며, 이는 조밀해진 정도에 정확히 비례하여 변합니다. 수 밀도가 두 배가 되면 압력도 두 배가 됩니다.

이것이 바로 법에 두 가지 조건이 수반되는 이유이기도 합니다. 항온, 왜냐하면 온도가 높은 분자들이 더 강하고 더 자주 충돌하여, 부피의 변화가 전혀 없는 상태에서도 압력을 높이기 때문입니다. 일정한 양의 기체, 누출은 분자를 유출시켜 충돌 빈도를 낮추기 때문이다. 데이터상에서 이 두 가지 결함은 다르게 나타난다. 누출이 발생하면 제품 수치가 측정 구동 내내 꾸준히 하락하는 반면, 온도가 안정되지 않은 경우에는 초기에 높았다가 나중에 정상으로 돌아온다. 무작위 판독 오자는 둘 다 해당되지 않으며, 추세 없이 평균값 주위로 제품 수치를 흩어지게 만든다.

칼럼에 공기가 얼마나 있습니까?. 상수는 단순히 가만히 있는 숫자가 아니며, 이상기체 법칙은 그것을 다음과 같이 정의한다 nRT. 이후 프로모션 비디오 = nRT 그리고 2.02 × 10⁴ kPa·mL은 20 °C에서 20.2 J입니다:

n = 프로모션 비디오 / RT = 20.2 / (8.314 × 293) = 8.3 × 10^{마이너스 3} mol

대략 8.3 밀리몰, 즉 약 0.24 g의 공기 — 약 5 × 10²¹ 분자들. 여기까지 도달한 학생은 비례 관계를 확인하는 것 이상의 일을 해낸 것입니다. 즉, 압력계와 자 하나만으로 유리관 속 공기의 무게를 잰 것입니다.

오일 기둥이 오른쪽 피스톤인 이유. 고체 피스톤은 밀봉 부재를 통과해 누출될 것이며, 누출되지 않을 정도로 충분히 조밀한 밀봉 부재는 피스톤이 마지막으로 움직인 방향에 따라 압력이 달라지게 만들 정도로 충분한 마찰을 유발할 것이다. 오일은 이 두 가지 문제를 동시에 해결한다. 오일은 사실상 비압축성이므로 모든 부피 변화는 공기 중에서 일어나고 피스톤에서는 전혀 일어나지 않으며, 유리를 적시기 때문에 가스가 빠져나갈 틈이 없고, 정지 마찰력이 없으므로 액체 기둥이 그 부근이 아니라 진정한 평형 위치에 자리 잡게 된다.

가격은 정수압 항입니다. 밀도가 약 850 kg/m인 기름³ 서 있는 h 저수지 수면 위 미터는 ρ를 더합니다gh 공기 기둥 하단의 압력에 비례합니다. 완전 압축 시 약 0.4 m 상승할 경우, 이는 850 × 9.81 × 0.4 ≈ 3.3 kPa에 해당하며, 541 kPa의 0.6 %에 불과하지만, 이는 101 kPa 기준 3 %를 초과하는 수치입니다. 이것이 마지막 열의 곱이 완벽하게 평평하지 않은 가장 큰 단일 원인이며, 직관적으로는 압축된 쪽에서 나타날 것으로 예상되지만 실제로는 이완된 쪽에서 잔여 분산이 더 심하게 나타나는 이유를 설명해 줍니다.

프로토콜이 1분을 기다리게 하는 이유. 기체를 압축하면 기체에 일이 가해져 온도가 올라가고, 팽창시키면 차가워집니다. 관 내부의 공기를 빠르게 빼내면 갇힌 공기는 잠시 동안 실온보다 훨씬 높아져 압력계가 높은 값을 가리키며, 이후 열이 유리를 통해 빠져나감에 따라 몇 초 동안 측정값이 떨어집니다. 보일의 법칙은 일정한 온도에서만 성립하므로 밸브를 닫은 후에 요구되는 1분의 대기 시간은 시간 떼우기가 아니라, 측정을 등온 과정으로 만드는 단계입니다. 서둘러 실험을 진행하면 부피가 작을 때 압력이 높게 나오고 관을 줄일수록 곱의 값이 커지게 되는데, 이는 법칙의 실제 예외로 쉽게 오인될 수 있습니다.

게이지 압력과 절대압력. 보일의 법칙은 절대 압력, 즉 진공 상태를 기준으로 측정한 압력에 대한 법칙이다. 충돌 횟수에 비례하는 것이 바로 절대 압력기 때문이다. 대기압을 기준으로 읽는 게이지 압력은 약 101 kPa만큼 차이가 나며, 게이지 압력과 부피의 곱은 어떠한 단순한 법칙도 따르지 않는다.

이 and 실험실의 계기는 절대압력을 직접 보고하며, 측정값들이 이를 증명합니다. 마지막 행은 밸브가 열리고 오일이 정지해 있는 상태인 101 kPa에서의 200.0 mL입니다. 공기 기둥이 실내와 연결되어 있으므로 대기압일 수밖에 없으며, 101 kPa은 대기압입니다. 게이지 압력 계기였다면 거기서 0 kPa을 나타냈을 것입니다. 따라서 어떠한 보정도 필요하지 않으며, 적용해서는 안 됩니다. 학생들이 나중에 게이지 압력을 읽는 장치를 접하게 된다면, 어떠한 곱셈을 하기 전에 모든 측정값에 대기압을 더해야 하며 — 두 번째 그래프의 원점 테스트는 누락을 찾아내는 가장 빠른 방법입니다. 보정되지 않은 점들이 약 101 kPa 아래로 치우친 선 위에 놓이기 때문입니다.

측정값이 지원할 정밀도. 이 게이지의 분해능은 1 kPa이며, 부피 눈금은 약 0.1 mL입니다. 압축된 쪽 끝에서는 1 kPa가 표시값의 0.2 % 미만인 반면, 101 kPa에서는 1 %를 가득 채웁니다. 용적 표시값은 이와 반대로 나타납니다. 0.1 mL는 37.4 mL에서는 0.3 %에 해당하지만, 200 mL에서는 0.05 %에 불과하기 때문입니다. 이 두 가지 효과가 부분적으로 상쇄되는데, 이것이 이 제품이 전체 측정 범위에서 이처럼 안정적인 성능을 유지하는 이유 중 하나입니다.

고학년 학생들에게 명시적으로 언급할 가치가 있는 두 가지 포인트가 있습니다. 역수 1/V 그래프를 그리기 전에 충분한 유효숫자 자리까지 계산해야 하는데, 일찍 반올림하면 서로 다른 측정값들이 같은 점으로 뭉쳐서 적합(fit)이 실제보다 더 좋아 보이게 만들기 때문이다. 그리고 아무리 깔끔하게 나온 단 한 번의 실험이라도 정확한 반비례 관계를 입증할 수는 없으며, 단지 5배의 측정 범위 내에서 데이터가 1% 미만의 오차 범위 내에서 반비례 관계와 일치한다는 것을 보여줄 뿐이다. 그것이 정직한 주장이며, 또한 강력한 주장이다. 실제 기체는 보일의 법칙에서 측정 가능할 정도로 벗어나는데, 고압에서는 분자 자체의 부피와 상호 인력이 중요하게 작용하기 시작하며(이것이 반데르발스 방정식이 보정해 주는 부분이다), 상온과 수 기압 상태의 공기는 그러한 영역과는 거리가 멀다. 또한 공기는 습하며 수증기가 저마다의 분압을 더하는데, 그 기여도는 일정한 온도에서 거의 일정하기 때문에 곡선을 휘게 만드는 대신 상수를 아주 미세하게 이동시킬 뿐이며, 이것이 바로 그래프에 나타나지 않는 이유이다.

학년별 과제 요약

9~10학년

집중하세요. 관찰과 어휘. 학생들은 기체가 원래 부피의 작은 분율만큼 압축될 수 있으며, 그렇게 하는 데 필요한 압력이 공간이 줄어들수록 커진다는 것을 알게 됩니다.

• 장치를 펌프질하여 기름이 올라오는 것을 보고, 공기 기둥과 게이지에 어떤 변화가 일어나는지 말로 설명하세요.
• 내려오는 동안 측정을 4~5회 하고 부피와 압력 표에 기입하십시오.
• 압력 대 부피의 관계를 그래프로 그리면 다음과 같은 곡선이 나타납니다: 이 곡선은 우하향하며, 작은 부피에서는 가파르고, 큰 부피에서는 완만해지며, 결코 0에 도달하지 않습니다.
• 부피를 다시 50 mL에서 25 mL로 절반으로 줄일 때, 압력은 100 mL에서 50 mL로 줄였을 때보다 더 많이 상승해야 합니다.

11학년

집중하세요. 정량적 처리. 학생들은 수치적으로 불변성 주장을 검증하고, 곡선을 눈으로 판단하는 대신 관계식을 선형화하는 것을 배운다.

• 모든 12개의 측정값을 기록하고, 1/V와 P × V에 대한 열을 추가하며, 마지막 열의 범위를 평균에 대한 백분율로 나타내십시오.
• 절대 압력 대 1/V의 그래프를 그리고, 가장 알맞은 직선을 그려 그 기울기를 구한 다음, 그 기울기를 P × V 열의 평균값과 비교하시오.
• P를 사용하세요₁V₁ = P₂V₂ 400 kPa에서의 부피를 예측한 후, 측정한 계열을 보간하여 확인한다.
• 200.0 mL과 101 kPa에서의 완전 방출된 열이 압축된 점들과 같은 행에 있어야 하는 이유는 두 세트의 데이터 모두 동일한 압력과 부피 조건에서 측정되었기 때문입니다.

12학년 / 대학교 수준

집중하세요. 유도, 오차 분석 및 독자적인 해석. 학생들은 편차를 무시하는 대신 그 이유를 설명해야 합니다.

• PV = nRT와 기체 운동 이론 P = (1/3)(N/V)m⟨v²⟩ 양쪽으로부터 P ∝ 1/V를 유도하시오.²〉, 그리고 각 유도 과정이 필요로 하는 가정들을 명시하시오.
• 갇힌 공기의 양을 몰(mole), 그램(gram), 분자(molecule) 단위로 각각 계산하고, 그것이 실험의 모든 지점에서 일정하게 유지됨을 보이시오.
• 최소제곱법으로 12개의 점을 맞추고 기울기를 제시하시오.
• P × V 곡선에서 0.2 %의 하향 편차를 설명하라: B ≈ −7 cm일 때, Z = 1 + BP/RT 식을 사용하여 실제 기체의 기여도를 추정하라.³/mol, ρgh에서 유체역학적 기여도를 추정하고, 어느 쪽이 지배적인지 논하시오.
• 200 mL에서 34.7 mL로의 압축에 대한 등온 압력과 단열 압력을 비교하고, 그 차이를 이용하여 7단계에서 1분간 기다리는 것을 정량적으로 설명하십시오.

실험실 필수품

악기

• 보일 장치 — 오일 저장소, 눈금 있는 공기 기둥(0–200 mL), 그리고 절대 압력을 kPa 단위로 읽어주는 압력계
• 연결 호스가 있는 핸드 에어펌프
• 장치 하단에 있는 밸브를 살짝 눌렀다 놓으십시오.

제품

• 공기 — 대기압 상태의 눈금 실린더에 밀봉된 200 mL
• 오일 저장소로 수동 펌프를 통해 주입되는 압축 공기
• 실링 오일 — 저장조를 채우고 포집된 공기 기둥을 차단합니다.