055 – La relación entre el volumen y la presión de un gas 2

El aparato de Boyle es el instrumento que hizo medible la primera ley de los gases, y una versión del mismo sigue presente en la mayoría de los laboratorios de enseñanza de física y química. Una cantidad fija de aire queda atrapada en un tubo vertical graduado sobre un depósito de aceite; el aceite es incompresible y hermético al gas, por lo que actúa como un pistón que sella perfectamente y se desliza sin fricción. Al bombear aire hacia el depósito, el aceite asciende, comprimiendo la columna atrapada en un espacio cada vez más pequeño mientras un manómetro registra la presión. El mismo principio rige una bomba de bicicleta, la carrera de compresión de un motor, un aerosol, los pulmones de un buceador al ascender y el acumulador hidráulico de una maquinaria pesada.

La relación que se está midiendo es la ley de Boyle: para una cantidad fija de gas a temperatura constante, P × V es una constante. La presión es la fuerza acumulada de las moléculas que golpean las paredes, por lo que empaquetar el mismo número de moléculas en la mitad del espacio duplica la frecuencia con la que llegan y duplica la presión. Deben cumplirse dos condiciones para que la ley sea exacta, y ambas son condiciones que el aparato debe operarse con cuidado para cumplir: la cantidad de gas atrapado no debe cambiar, que es lo que garantiza el sello de aceite, and la temperatura no debe cambiar, por lo cual se le da tiempo al aire comprimido para enfriarse antes de anotar nada.

En este laboratorio conectará la bomba manual, comprobará que la llave esté abierta y bombeará hasta que el manómetro indique unos 500 kPa, observando cómo asciende el aceite y se reduce la columna de aire. A continuación, cierra la válvula, espera un minuto a que el aire comprimido vuelva a la temperatura ambiente y anota el volumen de la columna de aire y la presión. Al liberar el aire por etapas se obtiene una serie de lecturas emparejadas desde la columna comprimida de nuevo hasta su total de 200 ml. Al representar la presión en función del volumen se obtiene una hipérbola; al representarla en función de 1/V, esa curva se endereza en una línea que pasa por el origen y cuya pendiente es la constante de Boyle para la muestra sellada.

Objetivos Educativos

Familiarización con el entorno del laboratorio

• Identifique las partes del aparato de Boyle: el depósito de aceite, la columna de aire graduada, la llave y el manómetro, y explique qué hace cada una.
• Explique por qué se utiliza un pistón líquido, en lugar de uno sólido, para sellar y comprimir el aire atrapado.

Operar un sistema presurizado de forma segura

• Conecte la manguera de la bomba y confirme el sello antes de presurizar cualquier cosa.
• Bombee hasta una presión objetivo, cierre la válvula en el momento oportuno y purgue el sistema en pasos controlados en lugar de hacerlo todo de golpe.

Medición y registro de datos

• Lea el menisco de aceite contra la columna graduada y la aguja contra la carátula del manómetro, y registre ambos como un par coincidente.
• Espera al equilibrio térmico antes de registrar y explica cómo se vería una lectura tomada demasiado pronto.

Tratamiento cuantitativo de la ley de Boyle

• Calcule P × V en cada lectura y juzgue si la dispersión en esa columna es lo suficientemente pequeña como para respaldar la afirmación de que es constante.
• Represente la presión absoluta frente a 1/V, ajuste una línea recta e interprete su pendiente como la constante de Boyle y su ordenada en el origen como un diagnóstico.
• Prediga el volumen a una presión que no fue medida, usando P₁V₁ = P₂V₂, y revísalo.

Evaluación crítica de la medición

• Distinga la presión manométrica de la presión absoluta y establezca cuál de las dos reporta este instrumento antes de utilizar las lecturas.
• Identifique los efectos sistemáticos que harían que el producto se desvíe —la carga hidrostática del aceite, el volumen muerto en el tubo de conexión, el enfriamiento incompleto y la no idealidad del gas— y estime su magnitud.

Protocolo

1. Localice el aparato de Boyle.
2. Conecte la manguera de la bomba de aire al aparato de Boyle.

• La conexión del depósito de aceite a la columna de aire debe ser tal que no haya fugas y que el aire esté completamente aislado por el aceite.

3. Asegúrate de que la llave del aparato de Boyle esté abierta.
4. Después de conectar el tubo al aparato de Boyle, comience a bombear aire usando la bomba de aire. Bombee hasta que el manómetro alcance aproximadamente 500 kPa.

• Cuando se bombea aire al aparato de Boyle, se observa un aumento de la presión, como lo indica el manómetro. Cuando el aire circula a través del depósito de aceite, la presión dentro del sistema aumenta, lo que hace que la columna de aceite suba y resulte en una disminución correspondiente en el volumen de la columna de aire.

5. Cerrar la válvula de aire una vez que el aceite ya no suba y la lectura del manómetro sea constante.
6. Se puede separar la manguera de aire del aparato de Boyle.
7. Espere 1 minuto para enfriar el aire comprimido y anote la lectura del volumen de la columna de aire (en ml) y la presión manométrica (en kPa).
8. Ahora, presiona el botón en la base del aparato de Boyle para dejar escapar el aire del sistema. Esto disminuirá la presión en el sistema, lo que hará que el nivel de la columna de aceite descienda.

• Obtendrá un gráfico de la presión en función del volumen de la columna de aire. El manómetro de este aparato ya indica la presión absoluta, por lo que no se necesita ninguna corrección atmosférica. Un gráfico de la presión absoluta frente al inverso del volumen de la columna de aire debería mostrar una relación lineal que pasa por el origen.

Resultados esperados

Resultados esperados. El aparato atrapa una columna fija de aire sobre una columna de aceite. El bombeo aumenta la presión y empuja el aceite hacia arriba, acortando la columna de aire; liberar el aire permite que vuelva a caer. La temperatura nunca cambia y ningún aire entra o sale de la columna atrapada, por lo que las únicas dos magnitudes en juego son la presión y el volumen. La tabla registra las lecturas tomadas a intervalos de 40 kPa a medida que se libera la presión, junto con el estado totalmente comprimido al principio y el estado totalmente relajado al final.

El único número que hay que restar. El promedio de los doce productos 2.02 × 10⁴ kPa·mL, y oscilan únicamente entre 20 200 y 20 250 — un rango de ±0,15 % respecto a la media. Detrás del gráfico, la simulación registra otras 470 lecturas a medida que la presión desciende un kilopascal cada vez, y cada una de ellas se sitúa dentro de un margen de ±0,5 % respecto al mismo valor. Una magnitud que se mantiene en una fracción del uno por ciento mientras cada uno de sus dos factores varía en más de 400 % nos dice algo. Se trata de la ley de Boyle:

P × V = constante (a temperatura fija, para una cantidad fija de gas)

o, comparando dos estados cualesquiera de la misma muestra, P₁V₁ = P₂V₂. Comprobando los dos valores extremos de la tabla: 101 × 200,0 = 20 200 y 541 × 37,4 = 20 233. Coinciden con una precisión de 0,16 %, en la separación máxima que puede producir el aparato.

Presión frente a volumen. Los puntos medidos se encuentran en una hipérbola: la presión cae bruscamente a medida que se permite que la columna se alargue, y luego se aplana. La curva discontinua no es un ajuste a los datos; es la relación única P = 2,02 × 10⁴ / V trazada a través de ellos.

Las mismas medidas representadas frente al recíproco del volumen. La curva se convierte en una línea recta que pasa por el origen, cuya pendiente es la constante misma.

Leyendo los dos gráficos. El primer gráfico tiene la forma correcta, pero la forma por sí sola es una evidencia débil: una gran cantidad de funciones decrecientes parecen una hipérbola a simple vista, y no se pueden distinguir mediante inspección. El segundo gráfico convierte la afirmación en una que una regla puede resolver. Si P = constante / V, luego graficando P contra 1/V debe dar una línea recta, y esa línea debe pasar por el origen. Ambas condiciones tienen significado:

• El pendiente es la constante. Una línea de mínimos cuadrados a través de estos puntos da 2.02 × 10⁴ kPa·mL: la misma cifra que el promedio de la última columna, obtenida de forma independiente.
• El interceptar debería ser cero, ya que una columna de longitud infinita no ejercería ninguna presión. La ordenada al origen ajustada es de aproximadamente 0,2 kPa, que es una quinta parte de la división más pequeña que el manómetro puede mostrar. Es cero hasta donde este aparato puede determinar.
• El dispersar es insignificante: los puntos se desvían de la línea menos que el ancho de una división del calibre, y el ajuste arroja un coeficiente de determinación superior a 0,9999.

Un detalle merece una segunda mirada. Las presiones se tomaron a intervalos exactos de 40 kPa, y los recíprocos de la segunda columna también resultan estar espaciados uniformemente, cada uno de aproximadamente 0.00198 mL⁻¹ del siguiente. Que ese espaciado uniforme no es una coincidencia del aparato; es la proporcionalidad manifestándose en la aritmética antes de que se dibuje cualquier gráfico.

Por qué el producto se mantiene constante. La presión es el efecto acumulado de las moléculas golpeando la pared: cada colisión transmite un pequeño impulso, y la presión es el impulso total por segundo por unidad de área. Si se reduce a la mitad la longitud de la columna, las mismas moléculas quedan confinadas en la mitad del espacio, por lo que cada una llega a una pared el doble de veces. Nada en una colisión individual cambia: las moléculas no son más rápidas, porque su velocidad media está determinada únicamente por la temperatura, y la temperatura no ha cambiado. Solo cambia la frecuencia de las colisiones, y lo hace en proporción exacta al grado de concentración. El doble de densidad numérica, el doble de presión.

Por esto también la ley conlleva dos condiciones. Temperatura constante, porque las moléculas más calientes chocan con más fuerza y frecuencia, aumentando la presión sin ningún cambio en el volumen. Una cantidad fija de gas, porque una fuga elimina moléculas y reduce la tasa de colisiones. Las dos fallas se ven diferentes en los datos: una fuga hace que el producto descienda de manera constante durante una ejecución, mientras que una temperatura que no se ha estabilizado lo hace alto al principio y correcto más tarde. El error de lectura aleatorio no hace ninguna de las dos cosas: dispersa el producto alrededor de su media sin tendencia.

¿Cuánto aire hay en la columna?. La constante no es simplemente un número que da la casualidad de mantenerse quieto; la ley de los gases ideales la identifica como nRT. Desde PV = nRT y 2,02 × 10⁴ kPa·mL son 20,2 J, a 20 °C:

n = PV / RT = 20,2 / (8,314 × 293) = 8,3 × 10⁻³ mol

aproximadamente 8,3 milimoles, o cerca de 0,24 g de aire — unos 5 × 10²¹ moléculas. Un estudiante que llega tan lejos ha hecho más que confirmar una proporcionalidad: ha pesado el aire en un tubo de vidrio usando nada más que un manómetro y una regla.

Por qué la columna de aceite es el pistón derecho. Un pistón sólido se filtraría a través de su sello, y cualquier sello lo suficientemente ajustado como para no filtrar generaría suficiente fricción como para hacer que la presión dependiera de hacia dónde se movió por última vez el pistón. El aceite resuelve ambos problemas a la vez. Es efectivamente incompresible, por lo que todo el cambio de volumen ocurre en el aire y nada en el pistón; moja el vidrio, por lo que no hay camino para que el gas se deslice; y no tiene fricción estática, por lo que la columna se asienta en la verdadera posición de equilibrio en lugar de en algún lugar cercano a ella.

El precio es un término hidrostático. Aceite de densidad aproximada 850 kg/m³ de pie h metros sobre la superficie del embalse añade ρgh a la presión en la base de la columna de aire. Para una elevación de aproximadamente 0,4 m en compresión total, eso supone 850 × 9,81 × 0,4 ≈ 3,3 kPa —solo 0,6 % de 541 kPa—, pero más de 3 % de 101 kPa. Es la principal razón por la que el producto de la última columna no es perfectamente plano, y explica por qué la pequeña dispersión residual es mayor en el extremo relajado que en el comprimido, donde la intuición podría haberla situado.

Por qué el protocolo te hace esperar un minuto. Comprimir un gas realiza trabajo sobre él y lo calienta; dejarlo expandirse lo enfría. Si se bombea la columna rápidamente y el aire atrapado queda brevemente muy por encima de la temperatura ambiente, el manómetro marca un valor alto; la lectura decae entonces en el transcurso de varios segundos a medida que el calor se disipa a través del vidrio. La ley de Boyle se cumple únicamente a temperatura constante, por lo que el minuto de espera requerido después de cerrar la válvula no es un relleno: es el paso que hace que la medición sea isotérmica. Una prueba realizada apresuradamente da presiones altas a volúmenes pequeños y un producto que aumenta a medida que se acorta la columna, lo cual se confunde fácilmente con una desviación real de la ley.

Presión manométrica y presión absoluta. La ley de Boyle es una declaración sobre la presión absoluta —la presión medida desde un vacío verdadero—, ya que es la presión absoluta la que es proporcional a la tasa de colisiones. Un manómetro que lee a partir de la atmósfera está desfasado en unos 101 kPa, y el producto de la presión manométrica y el volumen no obedece a ninguna ley simple en absoluto.

El instrumento de este laboratorio registra directamente la presión absoluta, y las lecturas lo demuestran: la última fila es 200,0 mL a 101 kPa, que es el estado con la válvula abierta y el aceite en reposo. Con la columna de aire conectada a la sala, solo puede estar a presión atmosférica, y 101 kPa es la presión atmosférica. Un instrumento manométrico habría mostrado 0 kPa en ese punto. Por lo tanto, no se necesita ninguna corrección y no debe aplicarse ninguna. Si más adelante los estudiantes se encuentran con un aparato que mide la presión manométrica, se debe sumar la presión atmosférica a cada lectura antes de formar cualquier producto —y la prueba de origen en el segundo gráfico es la forma más rápida de detectar la omisión, ya que los puntos sin corregir caen en una línea desplazada hacia abajo unos 101 kPa.

Lo que la precisión de las lecturas admitirá. El manómetro tiene una resolución de 1 kPa y la escala de volumen, de aproximadamente 0,1 ml. En el extremo de compresión, 1 kPa se sitúa por debajo de 0,2 % de la lectura, mientras que a 101 kPa ocupa 1 % completo; la lectura de volumen se comporta de manera opuesta, ya que 0,1 ml equivale a 0,3 % de 37,4 ml, pero solo a 0,05 % de 200 ml. Ambos efectos se compensan parcialmente, lo que constituye una de las razones por las que el producto se mantiene tan estable en todo el rango.

Dos puntos merecen hacerse explícitamente a los estudiantes mayores. El recíproco 1/V debe llevarse a suficientes cifras significativas antes de graficar, ya que redondearlo antes colapsa mediciones distintas en el mismo punto y favorece artificialmente el ajuste. Y una sola ejecución, por limpia que sea, no puede establecer una proporcionalidad inversa exacta; establece que los datos son coherentes con ella dentro de una fracción de un porcentaje en un rango quíntuple. Esa es la afirmación honesta, y es sólida. Los gases reales se apartan de la ley de Boyle de manera mensurable —a alta presión, el volumen propio de las moléculas y su atracción mutua empiezan a importar, que es lo que corrige la ecuación de van der Waals—, pero el aire a temperatura ambiente y unas pocas atmósferas está lejos de ese régimen. El aire también está húmedo, y el vapor de agua aporta su propia presión parcial; debido a que esa contribución es casi constante a temperatura fija, desplaza la constante muy ligeramente en lugar de curvar la línea, razón por la cual no se manifiesta en el gráfico.

Resumen de la asignación por rango de calificación

Grados 9–10

Concentración. Observación y vocabulario. Los estudiantes ven que un gas puede comprimirse en una fracción de su espacio original y que la presión necesaria para hacerlo aumenta a medida que el espacio se reduce.

• Bombea el aparato hacia arriba, observa cómo sube el aceite y describe con palabras qué le sucede a la columna de aire y al manómetro.
• Tome cuatro o cinco lecturas en el descenso e introdúzcalas en una tabla de volumen y presión.
• Esbozar la presión en función del volumen y describir la curva: descendente, pronunciada a volúmenes pequeños, aplanándose en los grandes, sin llegar nunca a cero.
• Para reducir el volumen nuevamente de 50 mL a 25 mL, la presión tendría que aumentar más que lo que lo hizo de 100 mL a 50 mL.

Undécimo grado

Concentración. Tratamiento cuantitativo. Los estudiantes comprueban numéricamente la afirmación de constancia y aprenden a linealizar una relación en lugar de juzgar una curva a simple vista.

• Registre las doce lecturas, añada columnas para 1/V y P × V, e indique el rango de la última columna como un porcentaje de su media.
• Represente gráficamente la presión absoluta frente a 1/V, trace la mejor línea recta y mida su pendiente; compare dicha pendiente con la media de la columna P × V.
• Usar P₁V₁ = P₂V₂ para predecir el volumen a 400 kPa, luego interpolar la serie medida para comprobar.
• Explique por qué la columna de liberación total a 200,0 mL y 101 kPa pertenece a la misma línea que los puntos comprimidos.

12.º curso / Nivel universitario

Concentración. Derivación, análisis de errores e interpretación independiente. Se espera que los estudiantes expliquen las desviaciones en lugar de descartarlas.

• Deduzca P ∝ 1/V tanto a partir de PV = nRT como de la teoría cinética, P = (1/3)(N/V)m〈v²〉²y exprese las suposiciones que cada deducción necesita.
• Calcule la cantidad de aire atrapado en moles, en gramos y en moléculas, y demuestre que permanece inalterada en cada punto de la carrera.
• Ajuste los doce puntos por mínimos cuadrados e indique la pendiente.
• Ten en cuenta la deriva descendente de 0,2 % en P × V: estima la contribución del gas real a partir de Z = 1 + BP/RT, siendo B ≈ −7 cm³/mol, estime la contribución hidrostática de ρgh y argumente cuál domina.
• Compara las presiones isotérmica y adiabática para una compresión de 200 mL a 34.7 mL, y utiliza la diferencia para justificar cuantitativamente la espera de un minuto en el paso 7.

Esenciales de laboratorio

Instrumentos

• Aparato de Boyle: depósito de aceite, columna de aire graduada (0–200 mL) y manómetro que mide la presión absoluta en kPa
• Bomba de aire manual con manguera de conexión
• Presione y suelte la válvula en la base del aparato

Productos

• Aire — 200 mL sellados en la columna graduada a presión atmosférica
• Aire comprimido — suministrado por la bomba manual al depósito de aceite
• Aceite de sellado — llena el depósito y aísla la columna de aire atrapada