055 – La relación entre el volumen y la presión de un gas 2

El aparato de Boyle es el instrumento que hizo que la primera ley de los gases fuera medible, y una versión del mismo aún se encuentra en la mayoría de los laboratorios de enseñanza de física y química. Una cantidad fija de aire queda atrapada en un tubo vertical graduado sobre un depósito de aceite; el aceite es incompresible y hermético al gas, por lo que se comporta como un pistón que sella perfectamente y se desliza sin fricción. Al bombear aire hacia el depósito, el aceite asciende y comprime la columna atrapada en un espacio cada vez más pequeño, mientras un manómetro registra la presión. El mismo principio rige una bomba de bicicleta, la carrera de compresión de un motor, una lata de aerosol, los pulmones de un buceador al ascender y el acumulador hidráulico en una máquina pesada.

La relación que se está midiendo es la ley de Boyle: para una cantidad fija de gas a temperatura constante, P × V es una constante. La presión es la fuerza acumulada de las moléculas al golpear las paredes, por lo que empaquetar el mismo número de moléculas en la mitad del espacio duplica la frecuencia con la que llegan y duplica la presión. Deben cumplirse dos condiciones para que la ley sea exacta, y ambas son condiciones que el aparato debe operarse con cuidado para cumplir: la cantidad de gas atrapado no debe cambiar, que es lo que garantiza el sello de aceite, and la temperatura no debe cambiar, razón por la cual se le da tiempo al aire comprimido para enfriarse antes de anotar cualquier cosa.

En este laboratorio conectará la bomba manual, comprobará que la llave esté abierta y bombeará hasta que el manómetro indique unos 500 kPa, observando cómo asciende el aceite y se reduce la columna de aire. A continuación, cierra la válvula, espera un minuto a que el aire comprimido vuelva a la temperatura ambiente y anota el volumen de la columna de aire y la presión. La liberación del aire por etapas proporciona una serie de lecturas emparejadas desde la columna comprimida hasta recuperar sus 200 mL completos. Al representar la presión en función del volumen se obtiene una hipérbola; al representarla frente a 1/V, esa curva se endereza en una línea que pasa por el origen, cuya pendiente es la constante de Boyle para la muestra sellada.

Metas educativas

Familiarización con el entorno de laboratorio

• Identifique las partes del aparato de Boyle (el depósito de aceite, la columna de aire graduada, la llave y el manómetro) y explique la función de cada una.
• Explique por qué se utiliza un pistón líquido, en lugar de uno sólido, para sellar y comprimir el aire atrapado.

Operar un sistema a presión de forma segura

• Conecte la manguera de la bomba y confirme el sello antes de presurizar cualquier cosa.
• Bombee hasta una presión objetivo, cierre la válvula en el momento adecuado y purgue el sistema en pasos controlados en lugar de hacerlo todo de golpe.

Medición y registro de datos

• Lea el menisco de aceite en la columna graduada y la aguja en la carátula del manómetro, y registre ambos como un par emparejado.
• Espere a que se alcance el equilibrio térmico antes de registrar la lectura, y explique cómo se vería una lectura tomada demasiado pronto.

Tratamiento cuantitativo de la ley de Boyle

• Calcule P × V en cada lectura y determine si la dispersión en esa columna es lo suficientemente pequeña como para respaldar la afirmación de que es constante.
• Trace la presión absoluta frente a 1/V, ajuste una línea recta e interprete su pendiente como la constante de Boyle y su intersección como un diagnóstico.
• Predecir el volumen a una presión que no fue medida, usando P₁V₁ = P₂V₂, y compruébalo.

Evaluación crítica de la medición

• Distinga la presión manométrica de la presión absoluta y determine cuál de las dos reporta este instrumento antes de utilizar las lecturas.
• Identifique los efectos sistemáticos que harían que el producto se desvíe —la carga hidrostática del aceite, el volumen muerto en el tubo de conexión, el enfriamiento incompleto y la no idealidad del gas— y estime su magnitud.

Protocolo

1. Localice el aparato de Boyle.
2. Conecte la manguera de la bomba de aire al aparato de Boyle.

• La conexión del depósito de aceite a la columna de aire debe ser tal que no haya fugas y que el aire quede completamente aislado por el aceite.

3. Asegúrese de que la llave del aparato de Boyle esté abierta.
4. Después de conectar el tubo al aparato de Boyle, comience a bombear aire usando la bomba de aire. Bombee hasta que el manómetro alcance aproximadamente 500 kPa.

• Cuando se bombea aire al aparato de Boyle, se observa un aumento en la presión, como lo indica el manómetro. Cuando el aire circula a través del depósito de aceite, la presión dentro del sistema aumenta, lo que hace que la columna de aceite ascienda y da como resultado una disminución correspondiente en el volumen de la columna de aire.

5. Cierre la válvula de aire una vez que el aceite deje de subir y la lectura del manómetro sea constante.
6. Puede desconectar la manguera de aire del aparato de Boyle.
7. Espere 1 minuto para enfriar el aire comprimido y anote la lectura del volumen de la columna de aire (en ml) y la presión manométrica (en kPa).
8. Ahora, presione el botón en la base del aparato de Boyle para dejar escapar el aire del sistema. Esto disminuirá la presión en el sistema, lo que hará que el nivel de la columna de aceite descienda.

• Obtendrá un gráfico de la presión en función del volumen de la columna de aire. El manómetro de este aparato ya indica la presión absoluta, por lo que no se necesita ninguna corrección atmosférica. Un gráfico de la presión absoluta frente al inverso del volumen de la columna de aire debería mostrar una relación lineal que pasa por el origen.

Resultados esperados

Resultados esperados. El aparato atrapa una columna fija de aire sobre una columna de aceite. El bombeo eleva la presión e impulsa el aceite hacia arriba, acortando la columna de aire; al liberar el aire, este vuelve a descender. La temperatura nunca cambia y ningún aire entra ni sale de la columna atrapada, por lo que las únicas dos magnitudes en juego son la presión y el volumen. La tabla registra las lecturas tomadas a intervalos de 40 kPa a medida que se libera la presión, junto con el estado totalmente comprimido al inicio y el estado totalmente relajado al final.

El único número que hay que restar. El promedio de los doce productos 2.02 × 10⁴ kPa·mL, y oscilan únicamente entre 20 200 y 20 250 — un rango de ±0,15 % respecto al valor promedio. Detrás del gráfico, la simulación registra otras 470 lecturas a medida que la presión disminuye un kilopascal a la vez, y cada una de ellas se encuentra dentro de un rango de ±0,5 % respecto al mismo valor. Una magnitud que se mantiene en una fracción del uno por ciento mientras cada uno de sus dos factores varía en más de 400 % te está diciendo algo. Esta es la ley de Boyle:

P × V = constante (a temperatura fija, para una cantidad fija de gas)

o, al comparar dos estados cualesquiera de la misma muestra, P₁V₁ = P₂V₂. Al verificar los dos extremos de la tabla: 101 × 200,0 = 20 200 y 541 × 37,4 = 20 233. Coinciden con una precisión de 0,16 %, incluso en la separación más amplia que el aparato puede producir.

Presión frente a volumen. Los puntos medidos se encuentran en una hipérbola: la presión cae drásticamente a medida que se permite que la columna se alargue, y luego se aplana. La curva discontinua no es un ajuste a los datos, es la relación única P = 2.02 × 10⁴ / V trazada a través de ellos.

Las mismas mediciones representadas frente al recíproco del volumen. La curva se convierte en una línea recta que pasa por el origen, cuya pendiente es la constante misma.

Leyendo los dos gráficos. El primer gráfico tiene la forma correcta, pero la forma por sí sola es una evidencia débil: una gran cantidad de funciones decrecientes parecen una hipérbola a simple vista, y no se pueden distinguir mediante una inspección. El segundo gráfico convierte la afirmación en una que una regla puede resolver. Si P = constante / V, luego graficando P contra el 1/V debe dar una línea recta, y esa línea debe pasar por el origen. Ambas condiciones tienen significado:

• El pendiente es la constante. Una línea de mínimos cuadrados a través de estos puntos da 2.02 × 10⁴ kPa·mL: la misma cifra que el promedio de la última columna, obtenida de forma independiente.
• El interceptar debería ser cero, ya que una columna de longitud infinita no ejercería ninguna presión. La ordenada al origen ajustada es de aproximadamente 0.2 kPa, que es una quinta parte de la división más pequeña que el manómetro puede mostrar. Es cero hasta donde este aparato puede determinar.
• El dispersar es insignificante: los puntos se apartan de la línea por menos del ancho de una división del calibrador y el ajuste arroja un coeficiente de determinación superior a 0,9999.

Un detalle merece una segunda mirada. Las presiones se tomaron a intervalos regulares de 40 kPa, y los recíprocos de la segunda columna también resultan estar espaciados uniformemente, de aproximadamente 0.00198 mL cada uno⁻¹ del siguiente. Que ese espaciamiento uniforme no es una coincidencia del aparato; es la proporcionalidad manifestándose en la aritmética antes de que se dibuje cualquier gráfico.

Por qué el producto se mantiene constante. La presión es el efecto acumulado de las moléculas al chocar contra la pared: cada colisión imparte un pequeño impulso, y la presión es el impulso total por segundo por unidad de área. Si se reduce a la mitad la longitud de la columna, las mismas moléculas quedan confinadas en la mitad del espacio, por lo que cada una llega a una pared el doble de veces. Nada en una colisión individual cambia: las moléculas no son más rápidas, debido a que su velocidad promedio está determinada únicamente por la temperatura, y la temperatura no se ha movido. Solo cambia la frecuencia de las colisiones, y esta cambia en proporción exacta al apiñamiento. El doble de densidad numérica, el doble de presión.

Por esto también la ley incluye dos condiciones. Temperatura constante, porque las moléculas más calientes chocan con más fuerza y frecuencia, aumentando la presión sin ningún cambio en el volumen. Una cantidad fija de gas, porque una fuga elimina moléculas y reduce la tasa de colisiones. Las dos fallas se ven diferentes en los datos: una fuga hace que el producto disminuya constantemente durante una ejecución, mientras que una temperatura que no se ha estabilizado lo hace alto al principio y correcto después. El error de lectura aleatorio no hace ni lo uno ni lo otro: dispersa el producto alrededor de su media sin tendencia.

¿Cuánto aire hay en la columna?. La constante no es meramente un número que da la casualidad de mantenerse quieto; la ley de los gases ideales la identifica como nRT. Desde PV = nRT y 2.02 × 10⁴ kPa·mL son 20.2 J, a 20 °C:

n = PV / RT = 20.2 / (8.314 × 293) = 8.3 × 10⁻³ mol

más o menos 8.3 milimoles, o cerca de 0.24 g de aire — unos 5 × 10²¹ moléculas. Un estudiante que llega tan lejos ha hecho más que confirmar una proporcionalidad: ha pesado el aire en un tubo de vidrio usando únicamente un manómetro y una regla.

Por qué la columna de aceite es el pistón derecho. Un pistón sólido tendría fugas a través de su sello, y cualquier sello lo suficientemente ajustado como para no tener fugas generaría suficiente fricción como para hacer que la presión dependa de hacia dónde se movió por última vez el pistón. El aceite resuelve ambos problemas a la vez. Es prácticamente incompresible, por lo que todo el cambio de volumen ocurre en el aire y nada en el pistón; moja el vidrio, por lo que no hay camino para que el gas se deslice; y no tiene fricción estática, por lo que la columna se asienta en la posición de equilibrio real en lugar de en algún lugar cercano a ella.

El precio es un término hidrostático. Aceite de densidad aproximada de 850 kg/m³ de pie h metros sobre la superficie del embalse añade ρgh a la presión en la base de la columna de aire. Para un aumento de aproximadamente 0,4 m en compresión total, eso equivale a 850 × 9,81 × 0,4 ≈ 3,3 kPa —solo 0,6 % de 541 kPa, pero más de 3 % de 101 kPa. Es la principal razón por la que el producto de la última columna no es perfectamente plano, y explica por qué la pequeña dispersión residual es mayor en el extremo relajado y no en el extremo comprimido, como la intuición podría sugerir.

Por qué el protocolo te hace esperar un minuto. Comprimir un gas realiza trabajo sobre él y lo calienta; dejar que se expanda lo enfría. Si se bombea la columna rápidamente, el aire atrapado queda brevemente muy por encima de la temperatura ambiente, por lo que el manómetro marca un valor alto; luego, la lectura disminuye durante varios segundos a medida que el calor se disipa a través del vidrio. La ley de Boyle se cumple únicamente a temperatura constante, por lo que el minuto de espera requerido después de cerrar la válvula no es un relleno: es el paso que hace que la medición sea isotérmica. Una ejecución hecha a la prisa arroja presiones altas a volúmenes pequeños y un producto que aumenta a medida que se acorta la columna, lo que se confunde fácilmente con una desviación real de la ley.

Presión manométrica y presión absoluta. La ley de Boyle es una declaración sobre la presión absoluta —la presión medida desde un vacío verdadero—, ya que es la presión absoluta la que es proporcional a la tasa de colisiones. Un manómetro que mide a partir de la atmósfera tiene un desfase de unos 101 kPa, y el producto de la presión manométrica y el volumen no obedece a ninguna ley simple en absoluto.

El instrumento de este laboratorio registra la presión absoluta directamente, y las lecturas lo demuestran: la última fila es de 200.0 mL a 101 kPa, que es el estado con la válvula abierta y el aceite en reposo. Con la columna de aire conectada a la sala, solo puede estar a presión atmosférica, y 101 kPa es la presión atmosférica. Un instrumento de carátula habría mostrado 0 kPa en ese punto. Por lo tanto, no se necesita ninguna corrección y no debe aplicarse ninguna. Si más adelante los estudiantes se encuentran con un aparato que lee presión manométrica, se debe sumar la presión atmosférica a cada lectura antes de formar cualquier producto —y la prueba del origen en el segundo gráfico es la forma más rápida de detectar la omisión, ya que los puntos sin corregir caen en una línea desplazada hacia abajo en unos 101 kPa.

Lo que admitirá la precisión de las lecturas. El manómetro tiene una resolución de 1 kPa y la escala de volumen, de aproximadamente 0,1 mL. En el extremo comprimido, 1 kPa se encuentra por debajo de 0,2 % de la lectura, mientras que a 101 kPa ocupa 1 % completo; la lectura de volumen se comporta de manera opuesta, ya que 0,1 mL equivale a 0,3 % de 37,4 mL, pero solo a 0,05 % de 200 mL. Estos dos efectos se contrarrestan parcialmente, lo cual es una de las razones por las que el producto se mantiene tan estable en todo el rango.

Vale la pena hacer dos observaciones explícitas a los estudiantes mayores. El recíproco 1/V debe llevarse a suficientes cifras significativas antes de graficar, ya que redondearlo antes colapsa mediciones distintas en el mismo punto y halaga el ajuste. Y una sola ejecución, por limpia que sea, no puede establecer una proporcionalidad inversa exacta; establece que los datos son consistentes con una dentro de una fracción de un percentil a lo largo de un rango quíntuple. Esa es la afirmación honesta, y es una afirmación sólida. Los gases reales se apartan de la ley de Boyle de manera mensurable —a alta presión, el volumen propio de las moléculas y su atracción mutua empiezan a importar, que es lo que corrige la ecuación de van der Waals—, pero el aire a temperatura ambiente y unas pocas atmósferas está lejos de ese régimen. El aire también está húmedo, y el vapor de agua aporta su propia presión parcial; debido a que esa contribución es casi constante a temperatura fija, desplaza la constante muy ligeramente en lugar de curvar la línea, por lo cual no aparece en el gráfico.

Resumen de tareas por rango de calificaciones

Grado 9-10

Concéntrate. Observación y vocabulario. Los estudiantes ven que un gas se puede comprimir en una fracción de su espacio original y que la presión necesaria para hacerlo aumenta a medida que el espacio se reduce.

• Bombee el aparato hacia arriba, observe cómo sube el aceite y describa con palabras qué le sucede a la columna de aire y al manómetro.
• Tome cuatro o cinco lecturas en el descenso e introdúzcalas en una tabla de volumen y presión.
• Dibuja la presión en función del volumen y describe la curva: decreciente, empinada a volúmenes pequeños, aplanándose a volúmenes grandes, sin llegar nunca a cero.
• Para reducir el volumen nuevamente a la mitad, de 50 mL a 25 mL, la presión tendría que aumentar **más** de lo que lo hizo de 100 mL a 50 mL.

Undécimo grado

Concéntrate. Tratamiento cuantitativo. Los estudiantes ponen a prueba la afirmación de constancia de forma numérica y aprenden a linearizar una relación en lugar de juzgar una curva a simple vista.

• Registre las doce lecturas, agregue columnas para 1/V y P × V, e indique el rango de la última columna como un porcentaje de su promedio.
• Grafique la presión absoluta frente a 1/V, trace la mejor línea recta y mida su pendiente; compare dicha pendiente con la media de la columna P × V.
• Use P₁V₁ = P₂V₂ para predecir el volumen a 400 kPa, luego interpolar la serie medida para comprobar.
• Explique por qué la columna de liberación total a 200.0 mL y 101 kPa pertenece a la misma línea que los puntos de compresión.

12.º grado / Nivel universitario

Concéntrate. Derivación, análisis de errores e interpretación independiente. Se espera que los estudiantes expliquen las desviaciones en lugar de descartarlas.

• Deriva P ∝ 1/V tanto a partir de PV = nRT como de la teoría cinética: P = (1/3)(N/V)m〈v², y enuncie las suposiciones que cada derivación necesita.
• Calcule la cantidad de aire atrapado en moles, en gramos y en moléculas, y demuestre que permanece sin cambios en cada punto de la ejecución.
• Ajuste los doce puntos por mínimos cuadrados y cite la pendiente.
• Explica la deriva descendente de 0,2 % en P × V: estima la contribución del gas real a partir de Z = 1 + BP/RT, donde B ≈ −7 cm³/mol, estime la contribución hidrostática de ρgh y argumente cuál domina.
• Compare las presiones isotérmica y adiabática para una compresión de 200 mL a 34.7 mL, y use la diferencia para justificar cuantitativamente la espera de un minuto en el paso 7.

Elementos esenciales para el laboratorio

Instrumentos

• aparato de Boyle: depósito de aceite, columna de aire graduada (0–200 mL) y manómetro que mide la presión absoluta en kPa
• Bomba de aire manual con manguera de conexión
• Toque y suelte la válvula en la base del aparato

Productos

• Aire — 200 mL sellados en la columna graduada a presión atmosférica
• Aire comprimido, suministrado por la bomba manual al depósito de aceite
• Aceite de sellado: llena el depósito y aísla la columna de aire atrapada