088 – Il rapporto tra la forza risultante e l'accelerazione

Quando una palla rotola giù dall'estremità di un tavolo, fa due cose contemporaneamente, e l'intero moto del proiettile si basa sul fatto che queste due cose non interferiscono l'una con l'altra. Orizzontalmente mantiene la velocità con cui è partita, perché nulla la spinge in avanti o all'indietro. Verticalmente cade esattamente come sarebbe caduta da ferma, perché alla gravità non importa che si stia muovendo anche lateralmente. Una palla fatta rotolare delicatamente da una panca e una lanciata con forza dalla stessa panca colpiscono il pavimento nello stesso momento; solo la distanza dalla panca differisce. Questa indipendenza è ciò che permette di calcolare la balistica, la tecnica del salto in lungo e la traiettoria di un giavellotto lanciato.

La conseguenza è una previsione straordinariamente semplice. Il tempo in aria è determinato interamente dall'altezza di caduta: h = ½gt² dà t = √(2h/g), lo stesso per ogni lancio dalla stessa altezza. La distanza orizzontale è quindi ciò che quel tempo fisso consente alla velocità di lancio, Δx = v_xt = v_x√(2h/g). Il campo di variazione è quindi direttamente proporzionale alla velocità di lancio — e non al suo quadrato, né a nient'altro di più complesso — e un grafico dell'una rispetto all'altra è una linea retta passante per l'origine la cui pendenza è il tempo di volo in secondi.

In questo laboratorio una sfera di metallo viene lanciata lungo una rotaia orizzontale e oltre la sua estremità in una buca di sabbia. Due sensori a fotodiodo a una distanza fissa l'uno dall'altro sul tratto rettilineo della rotaia cronometrano la sfera mentre passa, il che fornisce direttamente la velocità di lancio; il righello fornisce l'altezza della rotaia rispetto alla superficie di atterraggio e un metro a nastro fornisce la gittata dall'estremità della rotaia al punto d'impatto. Vengono effettuati otto lanci a intensità di lancio crescente e le coppie di velocità di lancio e gittata vengono tracciate l'una contro l'altra. Ciò che viene verificato è se la pendenza di tale linea corrisponde a √(2h/g) calcolata dall'altezza misurata, una previsione fatta senza alcun parametro libero.

Obiettivi Educativi

Comprendere il moto dei proiettili come due problemi indipendenti

• Enuncia e difendi l'affermazione che i moti orizzontale e verticale di un proiettile sono indipendenti, e usala per spiegare perché ogni pallina lanciata dalla stessa altezza atterra nello stesso istante.
• Identifica quale grandezza stabilisce il tempo di volo e quale stabilisce la gittata, e prevedi cosa accade a ciascuna quando l'altra viene modificata.

Misurare una velocità con una coppia di sensori

• Calcola la velocità di lancio come v_x = Δx_sensore/Δt dalla separazione fissa del sensore e dall'intervallo misurato, e spiega perché questa velocità media è anche la velocità istantanea su un tratto di binario rettilineo e in piano.
• Valuta la precisione di quella velocità in base alla risoluzione del timer e riconosci che i lanci più veloci producono gli intervalli più brevi e quindi le velocità meno precise.

Applicazione delle equazioni cinematiche

• Ricava t = √(2h/g) da h = ½gt² e combinalo con Δx = v_xdi ottenere la relazione per la gittata Δx = v_x√(2h/g).
• Sostituisci l'altezza misurata in quell'espressione per prevedere un intervallo prima che venga effettuato il lancio e confronta la previsione con la misurazione.

Costruzione e interpretazione di un grafico

• Traccia il grafico della gittata in funzione della velocità di lancio per tutti e otto i lanci e verifica se i punti si trovano su una retta passante per l'origine.
• Interpreta fisicamente la pendenza — che rappresenta il tempo di volo in secondi — e confrontala con √(2h/g) anziché trattarla come una costante di adattamento empirica.

Valutazione degli errori e della loro direzione

• Distinguerete gli errori che possono solo accorciare una gittata, come la resistenza dell'aria e l'attrito sulla rotaia, da quelli che possono agire in entrambi i sensi, e utilizzerete tale asimmetria per diagnosticare uno scostamento sistematico.

Collegare il risultato al mondo esterno al laboratorio

• Applica la stessa relazione a una palla lanciata, a un getto d'acqua o a un veicolo che lascia una rampa, e spiega perché un lancio più lungo richiede più velocità in proporzione esatta, ma un'altezza di rilascio maggiore solo come radice quadrata.

Protocollo

1. Fissare i 2 sensori del cronometro sulla parte posteriore del binario nella sua sezione dritta, nel punto in cui si trovano i supporti circolari in metallo.
2. Usando il righello, misura l'altezza della rotaia e anche la distanza tra i sensori.
3. Puoi regolare l'intensità del lanciapalle cliccando sui pulsanti + e – per aumentare e diminuire l'intensità.

Regola l'intensità a 1 per iniziare.

4. Avvia la palla di metallo lungo il binario premendo il pulsante rosso.

Osserva la caduta della palla e misura la distanza dal punto di impatto con il terreno.

5. Ripeti ancora sette volte i passaggi da 3 a 5, aumentando gradualmente l'intensità del lanciapalle.

L'intervallo di tempo misurato dal cronometro è registrato nella tabella dei risultati.

Il raggio della palla è registrato nella tabella dei risultati.

Risultati Previsti

Otto lanci a intensità crescente producono otto coppie di numeri: un intervallo del sensore Δt, da cui deriva la velocità di lancio, e una gittata misurata dalla fine della rotaia al punto di impatto. Il risultato atteso è che la gittata sia proporzionale alla velocità. Il laboratorio pubblica due esempi svolti anziché la tabella completa: una separazione dei sensori di 0,100 m con Δt = 0,079 s che dà v_x = 1,3 m/s, e un lancio a v_x = 2,4 m/s raggiungendo 1,295 m — insieme a un'altezza di caduta di h = 1,406 m. Tutto ciò che segue è calcolato a partire da questi dati; gli insegnanti dovrebbero considerare le gittate previste come il modello con cui confrontare le proprie otto misurazioni.

Il tempo di volo, che è lo stesso per ogni lancio. Verticalmente la palla parte senza velocità verso il basso, quindi h = ½gt² e t = √(2h/g) = √(2 × 1.406 / 9.8) = √0.2869 = 0,536 s. Questa è la costante che il laboratorio chiama k, e il valore della pagina di 0,54 s è confermato. Ogni pallina della serie rimane in aria per 0,536 s, sia che lasci la rotaia a 1 m/s sia a 3 m/s; l'affermazione in assoluto più controintuitiva dell'esperimento, e quella che vale di più la pena dimostrare a orecchio, poiché tutti e otto gli impatti suonano allo stesso intervallo dopo i loro rilasci.

La relazione di intervallo. Orizzontalmente non vi è accelerazione, quindi Δx = v_xt = v_x√(2h/g) = 0,536 v_x, con Δx in metri quando v_x è in metri al secondo. Sostituendo il lancio veloce pubblicato, Δx = 0,536 × 2,4 = 1,286 m contro gli 1,295 m registrati. Sostituendo quello lento, v_x = 0,100/0,079 = 1,27 m/s e Δx = 0,536 × 1,27 = 0,68 m.

L'unico intervallo pubblicato è leggermente troppo ampio, e questa è la direzione sbagliata. Il modello fornisce 1,286 m per un lancio a 2,4 m/s e la pagina registra 1,295 m, un'eccedenza di 9 mm. Due dei tre effetti fisici in gioco qui possono solo accorciare un intervallo: l'attrito tra i sensori e l'estremità della rotaia fa sì che la sfera parta più lentamente rispetto al tempo previsto, mentre la resistenza dell'aria la rallenta durante il volo. La resistenza è davvero trascurabile — per una sfera d'acciaio di 16 mm, ½ρC_dAv² a 2,4 m/s è circa 3 × 10⁻⁴ N contro una forza di 0,16 N, il che comporta una decelerazione orizzontale di circa 0,02 m/s² e un accorciamento di soli 3 mm circa — ma il segno non corrisponde a quanto osservato. L’eccesso deve provenire da qualche altra parte: molto probabilmente dall’altezza di caduta, poiché h entra come radice quadrata e 9 mm di percorrenza in più corrispondono a h = 1,427 m, esattamente 21 mm in più rispetto al valore registrato, che è all’incirca pari al raggio di una palla più la profondità del cratere di atterraggio nella sabbia. Misurare h dal centro della palla sul bordo della rotaia alla superficie della sabbia, anziché dalla rotaia al pavimento, risolverebbe il problema. Con un solo dato pubblicato, la discrepanza rientra comunque nel margine di ±0,06 m consentito dal cronometro; vale quindi la pena approfondire la questione solo se lo stesso eccesso si riscontra in tutti e otto i lanci — nel qual caso si tratterebbe di un errore sistematico e l’altezza sarebbe l’elemento da rimisurare.

Riepilogo del compito per intervallo di voti

Classe 9-10

Concentrazione: osservando il modello e registrandolo correttamente. Gli studenti impostano i sensori, misurano l'altezza della rotaia e la separazione dei sensori, ed eseguono tutti gli otto lanci, tabulando l'intervallo e la gittata ogni volta. Convertono ciascun intervallo in una velocità dividendola per 0,100 m e tracciano a mano il grafico della gittata in funzione della velocità. Le conclusioni attese sono che un lancio più veloce viaggia più lontano in proporzione diretta — raddoppiare la velocità raddoppia la gittata — e che il grafico passa per l'origine, poiché una pallina lanciata senza velocità atterra ai piedi della rotaia. Vocabolario: proiettile, velocità di lancio, gittata, tempo di volo, proporzionale.

Undicesimo anno

Concentrazione: la derivazione e l'esperimento quantitativo. Gli studenti ricavano t = √(2h/g) dal moto verticale, lo combinano con il moto orizzontale per ottenere Δx = v_x√(2h/g), e calcolano la costante dall’altezza misurata: 0,536 s per h = 1,406 m. Confrontano quindi quella pendenza prevista con quella del proprio grafico: si tratta di una vera e propria verifica piuttosto che di un semplice adattamento, poiché le due derivano da misurazioni del tutto indipendenti — una effettuata con un righello, l’altra con un cronometro e un metro a nastro. Qualsiasi discrepanza sistematica tra di esse è un risultato degno di discussione, e il suo segno è significativo.

12ª classe / Livello universitario

Concentrazione: il modello del proiettile per l'intera gittata del lanciatore. Gli studenti ricavano che Δx = v_x√(2h/g), prevedere la gittata per ciascuna velocità di lancio e verificare la previsione confrontandola con le gittate misurate nell’intervallo operativo del lanciatore. L’esercizio conclusivo consiste nel calcolare esplicitamente la resistenza aerodinamica sulla sfera (circa 3 mm di accorciamento a 2,4 m/s per una sfera d’acciaio di 16 mm) e nel spiegare perché i due lanci pubblicati atterrano proprio dove il modello prevede che atterrino.

Materiale essenziale di laboratorio

Strumenti

• Lanciatore elettrico di palline, con impostazioni di intensità da 1 a 8
• Binario di lancio con due sensori a fotodiodo (distanti 0,100 m)
• Palla di metallo
• Sandbox (area di atterraggio)
• righello da 50 cm
• Metro a nastro (2 m)

Prodotti

Nessuno — questo laboratorio non utilizza alcun reagente chimico.