088 – Zależność między siłą wypadkową a przyspieszeniem

Kiedy piłka stacza się z krawędzi stołu, robi dwie rzeczy naraz, a cały ruch wokół rzutu opiera się na facie, że te dwie rzeczy nie wpływają na siebie nawzajem. W poziomie zachowuje prędkość, z jaką opuściła stół, ponieważ nic jej nie popycha do przodu ani do tyłu. W pionie spada dokładnie tak samo, jak spadłaby ze spoczynku, ponieważ grawitacja nie przejmuje się tym, że piłka porusza się również w bok. Piłka lekko potoczona z ławki i piłka wystrzelona z niej z dużą siłą uderzają w podłogę w tym samym momencie; różni się jedynie odległość, na jaką odleciały od ławki. Ta niezależność pozwala w ogóle obliczyć balistykę, technikę skoku w dal oraz trajektorię rzuconego oszczepu.

Konsekwencją tego jest uderzająco prosta prognoza. Czas spędzony w powietrzu jest określony całkowicie przez wysokość spadku: wzór h = ½gt² daje t = √(2h/g), tak samo dla każdego rzutu z tej samej ławki. Odległość pozioma to wtedy wszystko, co ten stały czas zapewnia przy prędkości początkowej, Δx = v_xt = v_x√(2h/g). Zasięg wynosi zatem wprost proporcjonalny do prędkości startowej — a nie do jej kwadratu i do niczego bardziej skomplikowanego — a wykres jednego względem drugiego jest prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych, której nachyleniem jest czas lotu w sekundach.

W tym laboratorium metalowa kula jest wystrzeliwana wzdłuż poziomej szyny i z jej końca w głąb piaskownicy. Dwa czujniki fotodiodowe w stałej odległości od siebie na prostoliniowym odcinku szyny mierz czas przejścia kuli, co bezpośrednio daje prędkość początkową; linijka podaje wysokość szyny nad powierzchnią lądowania, a taśma miernicza określa zasięg od końca szyny do punktu uderzenia. Wykonuje się osiem strzałów przy zwiększającej się intensywności wyrzutni, a pary prędkości początkowej i zasięgu są nanoszone na wykres względem siebie. Testowane jest to, czy nachylenie tej prostej zgadza się z √(2h/g) obliczonym ze zmierzonej wysokości – co stanowi przewidywanie dokonane bez żadnych wolnych parametrów.

Cele edukacyjne

Zrozumienie ruchu thego (rzutu) jako dwóch niezależnych problemów

• Sformułuj i obroń twierdzenie, że ruch poziomy i pionowy rzutu są niezależne, i wykorzystaj je do wyjaśnienia, dlaczego każda piłka wyrzucona z tej samej wysokości spada w tym samym momencie.
• Wskaż, która wielkość określa czas lotu, a która zasięg, i przewidź, co się z każdą z nich stanie, gdy druga zostanie zmieniona.

Pomiary prędkości za pomocą pary czujników

• Oblicz prędkość startową jako v_x = Δx_czujnik/Δt z ustalonej odległości między czujnikami a zmierzonym przedziałem czasu i wyjaśnij, dlaczego ta średnia prędkość jest zarazem prędkością chwilową na prostym, poziomym odcinku toru.
• Oceń dokładność tej prędkości na podstawie rozdzielczości stoperów i weź pod uwagę, że najszybsze wystrzelenia dają najkrótsze przedziały czasowe, a co za tym idzie – najmniej dokładne prędkości.

Stosowanie równań kinematycznych

• Wyведите t = √(2h/g) z h = ½gt² i połącz to z Δx = v_xw celu uzyskania zależności na zasięg Δx = v_x√(2h/g).
• Podstaw zmierzoną wysokość do tego wyrażenia, aby przewidzieć zakres przed dokonaniem startu, i porównaj przewidywanie z pomiarem.

Budowanie i interpretacja wykresu

• Wykreśl zasięg względem prędkości wystrzelenia dla wszystkich ośmiu wystrzałów i sprawdź, czy punkty leżą na prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych.
• Zinterpretuj nachylenie fizycznie – jest to czas lotu w sekundach – i porównaj je z wyrażeniem √(2h/g) zamiast traktować je jako empiryczną stałą dopasowania.

Ocena błędów i ich kierunku

• Rozróżnij błędy, które mogą jedynie skrócić zasięg, takie jak opór powietrza i tarcie o szynę, od tych, które mogą działać w obie strony, i wykorzystaj tę asymetrię do zdiagnozowania systematycznego przesunięcia.

Odniesienie wyniku do świata poza laboratorium

• Zastosuj tę samą zależność do rzuconej piłki, strumienia wody lub pojazdu opuszczającego rampę i wyjaśnij, dlaczego dłuższy rzut wymaga większej prędkości w dokładnie proporcjonalnym stopniu, ale wyższe wypuszczenie tylko jako pierwiastek kwadratowy.

Protokół

1. Zamocuj 2 czujniki stopera z tyłu szyny na jej prostym odcinku, w miejscu, gdzie znajdują się metalowe wsporniki okrągłe.
2. Używając linijki, zmierz wysokość szyny, a także odległość między czujnikami.
3. Intensywność wyrzutni piłek można ustawić, klikając przyciski + i –, aby zwiększyć i zmniejszyć intensywność.

Ustaw intensywność na 1, aby rozpocząć.

4. Uruchom metalową kulę na torze, naciskając czerwony przycisk.

Obserwuj upadek piłki i zmierz odległość od punktu uderzenia z podłożem.

5. Powtórz siedem razy kroki od 3 do 5, stopniowo zwiększając intensywność wyrzutni piłek.

Czas odmierzony stoperem zapisano w tabeli wyników.

Zasięg piłki jest zapisany w tabeli wyników.

Przewidywane wyniki

Osiem wystrzałów o rosnącym natężeniu daje osiem par liczb: interwał czujnika Δt, z którego wynika prędkość wystrzelenia, oraz zasięg zmierzony od końca szyny do punktu uderzenia. Oczekiwanym rezultatem jest to, że zasięg jest proporcjonalny do prędkości. Laboratorium publikuje dwa przykłady z rozwiązaniami zamiast pełnej tabeli — odstęp czujników wynoszący 0,100 m przy Δt = 0,079 s daje v_x = 1,3 m/s, a rzut przy v_x = 2,4 m/s osiągając 1,295 m — wraz z wysokością spadku h = 1,406 m. Wszystko poniżej zostało obliczone na podstawie tych danych; nauczyciele powinni traktować przewidywane zasięgi jako model do zweryfikowania względem własnych ośmiu pomiarów.

Czas lotu, który jest taki sam dla każdego wystrzelenia. Pionowo piłka zaczyna bez prędkości początkowej w dół, więc h = ½gt² i t = √(2h/g) = √(2 × 1.406 / 9.8) = √0.2869 = 0,536 s. Jest to stała, którą laboratorium nazywa k, a wartość na stronie wynosząca 0,54 s zostaje potwierdzona. Każda piłka z serii znajduje się w powietrzu przez 0,536 s, niezależnie od tego, czy opuszcza szynę z prędkością 1 m/s, czy 3 m/s — co stanowi najbardziej wbrew intuicji twierdzenie w całym doświadczeniu i zarazem to, które najbardziej warto demonstruć słuchowo, ponieważ wszystkie osiem uderzeń brzmi w tym samym odstępie czasu od ich wystzelenia.

Relacja zasięgu. W poziomie nie ma przyspieszenia, więc Δx = v_xt = v_x√(2h/g) = 0,536 v_x, gdzie Δx jest w metrach, gdy v_x jest w metrach na sekundę. Podstawiając opublikowany szybki start, Δx = 0,536 × 2,4 = 1,286 m wobec zarejestrowanych 1,295 m. Podstawiając wolny, v_x = 0,100/0,079 = 1,27 m/s oraz Δx = 0,536 × 1,27 = 0,68 m.

Opublikowany zasięg jest nieco za długi, a to zła kierunek. Model daje 1,286 m dla wyrzutu 2,4 m/s, a strona odnotowuje 1,295 m, co stanowi nadwyżkę o 9 mm. Dwa z trzech efektów fizycznych, które tu występują, mogą jedynie skróć zakres: tarcie między czujnikami a końcem szyny sprawia, że kula opuszcza ją wolniej, niż wskazuje pomiar czasu, a opór powietrza spowalnia ją w locie. Opór ten jest autentycznie pomijalny – dla stalowej kuli o średnicy 16 mm wynosi ½ρC_dAv² przy prędkości 2,4 m/s to około 3 × 10⁻⁴ N przy sile 0,16 N, co daje poziome opóźnienie rzędu 0,02 m/s² i skrócenie wynoszące zaledwie około 3 mm — jednak ma ono odwrotny znak w stosunku do tego, co zaobserwowano. Nadwyżka musi pochodzić z innego źródła: najprawdopodobniej z wysokości upadku, ponieważ h występuje w postaci pierwiastka kwadratowego, a dodatkowy zasięg wynoszący 9 mm odpowiada h = 1,427 m, czyli dokładnie o 21 mm więcej niż zarejestrowana wartość, co odpowiada mniej więcej promieniu kulki plus głębokości krateru, jaki powstał po jej upadku w piasku. Problem ten można by rozwiązać, mierząc h od środka piłki na krawędzi szyny do powierzchni piasku, a nie od szyny do podłogi. W przypadku opublikowania wyników dla jednego punktu rozbieżność mieści się również w zakresie ±0,06 m dopuszczalnym przez chronometr, więc warto się tym zająć tylko wtedy, gdy ta sama nadwyżka pojawi się we wszystkich ośmiu startach — w takim przypadku jest to zjawisko systematyczne i należy ponownie zmierzyć wysokość.

Podsumowanie zadania według zakresu ocen

Klasy 9–10

Skupienie: obserwując wzorzec i rejestrując go odpowiednio. Uczniowie ustawiają czujniki, mierzą wysokość szyny i odległość między czujnikami, wykonują wszystkie osiem wyrzutów, za każdym razem tabulując interwał czasowy i zasięg. Przeliczają każdy interwał na prędkość, dzieląc przez niego 0,100 m, i ręcznie wykreślają zasięg w funkcji prędkości. Oczekiwane wnioski są takie, że szybszy wyrzut przebywa większą odległość w proporcji bezpośredniej – podwojenie prędkości podwaja zasięg – oraz że wykres przechodzi przez początek układu współrzędnych, ponieważ piłka wystrzelona z zerową prędkością ląduje u podstawy szyny. Słownictwo: rzut, prędkość początkowa, zasięg, czas lotu, proporcjonalny.

Klasa 11

Skupienie: wyprowadzenie oraz test ilościowy. Studenci wyprowadzają wzór t = √(2h/g) z ruchu pionowego, łączą go z ruchem poziomym, aby otrzymać Δx = v_x√(2h/g) i obliczają stałą na podstawie zmierzonej wysokości: 0,536 s dla h = 1,406 m. Następnie porównują przewidywane nachylenie z nachyleniem własnego wykresu, co stanowi raczej prawdziwy test niż dopasowanie, ponieważ oba pochodzą z całkowicie niezależnych pomiarów – jeden z linijki, drugi ze stoper i taśmy. Wszelkie systematyczne różnice między nimi są wynikiem wartym omówienia, a ich znak niesie ze sobą istotne informacje.

Klasa 12 / Poziom akademicki

Skupienie: model pocisku w całym zakresie wyrzutni. Studenci wyprowadzają Δx = v_x√(2h/g), przewidzieć zasięg dla każdej prędkości początkowej i przetestować to przewidywanie względem zmierzonych zasięgów w całym zakresie roboczym wyrzutni. Ćwiczenie końcowe polega na oszacowaniu oporu powietrza działającego na piłkę (około 3 mm skrócenia zasięgu przy 2,4 m/s dla stalowej kuli o średnicy 16 mm) i wyjaśnieniu, dlaczego dwa opublikowane rzuty lądują tam, gdzie przewiduje model.

Podstawowe wyposażenie laboratorium

Instrumenty

• Elektryczna wyrzutnia piłek, z ustawieniami intensywności od 1 do 8
• Szyna startowa z dwoma czujnikami fotodiodowymi (w odległości 0,100 m od siebie)
• Metalowa kula
• Piaskownica (obszar lądowania)
• linijka 50 cm
• Taśma miernicza (2 m)

Produkty

Brak — to laboratorium nie używa żadnych odczynników chemicznych.