088 – La relation entre la force résultante et l'accélération

Lorsqu'une balle roule et quitte le bord d'une table, elle fait deux choses en même temps, et l'ensemble du mouvement des projectiles repose sur le fait que ces deux choses ne s'influencent pas mutuellement. Horizontalement, elle conserve la vitesse avec laquelle elle est partie, car rien ne la pousse vers l'avant ou vers l'arrière. Verticalement, elle tombe exactement comme elle serait tombée si elle avait été lâchée sans vitesse initiale, car la gravité se moque du fait qu'elle se déplace également de côté. Une balle poussée doucement d'un banc et une autre propulsée violemment du même banc touchent le sol au même moment ; seule la distance par rapport au banc diffère. Cette indépendance est ce qui permet de calculer la balistique, la technique du saut en longueur et la trajectoire d'un javelot lancé.

La conséquence est une prédiction frappante de simplicité. Le temps passé en air est déterminé entièrement par la hauteur de chute : h = ½gt² donne t = √(2h/g), identique pour chaque lancer depuis le même banc. La distance horizontale est alors tout ce que ce temps fixe permet d'obtenir à la vitesse de lancement, Δx = v_xt = v_x√(2h/g). La portée est donc directement proportionnel à la vitesse de lancement — et non à son carré, ni à quoi que ce soit de plus compliqué — et un graphique de l'une en fonction de l'autre est une droite passant par l'origine dont la pente est le temps de vol en secondes.

Dans ce laboratoire, une bille métallique est propulsée le long d'un rail horizontal et quitte son extrémité pour atterrir dans un bac à sable. Deux capteurs à photodiodes, situés à une distance fixe l'un de l'autre sur la partie rectiligne du rail, chronomètrent la bille lors de son passage, ce qui donne directement la vitesse de lancement ; la règle donne la hauteur du rail par rapport à la surface de réception, et un ruban à mesurer donne la portée entre l'extrémité du rail et le point d'impact. Huit lancements sont effectués à des intensités croissantes du lanceur, et les paires de vitesses de lancement et de portées sont tracées l'une en fonction de l'autre. Ce que l'on teste, c'est si la pente de cette droite correspond à √(2h/g) calculée à partir de la hauteur mesurée — une prédiction faite sans aucun paramètre libre.

Objectifs Éducatifs

Comprendre le mouvement d'un projectile comme deux problèmes indépendants

• Énoncer et défendre l'affirmation selon laquelle les mouvements horizontal et vertical d'un projectile sont indépendants, et l'utiliser pour expliquer pourquoi toute balle lancée à la même hauteur atterrit au même instant.
• Identifiez quelle grandeur fixe le temps de vol et laquelle fixe la portée, et prévoyez ce qui arrive à chacune lorsque l'autre est modifiée.

Mesurer une vitesse avec une paire de capteurs

• Calculer la vitesse de lancement comme v_x = Δx_capteur/Δt à partir de l'écartement fixe du capteur et de l'intervalle mesuré, et expliquez pourquoi cette vitesse moyenne est également la vitesse instantanée sur une section de rail droite et plane.
• Jugez de la précision de cette vitesse à partir de la résolution du chronomètre, et reconnaissez que les lancements les plus rapides donnent les intervalles les plus courts et par conséquent les vitesses les moins précises.

Application des équations cinématiques

• Déduire t = √(2h/g) à partir de h = ½gt² et combiner cette relation avec Δx = v_xd'obtenir la relation de portée Δx = v_x√(2h/g).
• Remplacez la hauteur mesurée dans cette expression pour estimer la portée avant le lancement, puis comparez cette estimation avec la mesure.

Créer et interpréter un graphique

• Tracez la relation entre la portée et la vitesse de lancement pour les huit lancements et vérifiez si les points se situent sur une droite passant par l'origine.
• Interprétez la pente d'un point de vue physique — il s'agit du temps de vol en secondes — et comparez-la à √(2h/g) plutôt que de la considérer comme une constante d'ajustement empirique.

Évaluation des erreurs et de leur sens

• Il convient de distinguer les erreurs qui ne peuvent que réduire la portée, telles que la résistance de l'air et le frottement sur le rail, de celles qui peuvent avoir un effet dans un sens comme dans l'autre, et d'utiliser cette asymétrie pour diagnostiquer un décalage systématique.

Mettre le résultat en perspective par rapport au monde extérieur au laboratoire

• Appliquez cette même relation à une balle lancée, à un jet d'eau ou à un véhicule quittant une rampe, et expliquez pourquoi un lancer plus long nécessite une vitesse proportionnellement plus élevée, tandis qu'une hauteur de lancement plus grande ne nécessite une vitesse proportionnellement plus élevée que d'une valeur égale à la racine carrée.

Protocole

1. Fixez les 2 capteurs de la chronomètre à l'arrière du rail, dans sa section droite, à l'emplacement des supports métalliques circulaires.
2. À l'aide de la règle, mesurez la hauteur du rail ainsi que la distance entre les capteurs.
3. Vous pouvez régler l'intensité du lanceur de balles en cliquant sur les boutons + et – pour augmenter et diminuer l'intensité.

Réglez l'intensité à 1 pour commencer.

4. Lancez la bille métallique le long du rail en appuyant sur le bouton rouge.

Observez la chute de la balle et mesurez la distance à partir du point d'impact avec le sol.

5. Répétez sept fois de plus les étapes 3 à 5 tout en ajustant progressivement l'intensité du lanceur de balles vers le haut.

Le temps mesuré par le chronomètre est consigné dans le tableau des résultats.

La portée du ballon est enregistrée dans le tableau des résultats.

Résultats attendus

Huit lancements d'intensité croissante produisent huit paires de nombres : un intervalle de détection Δt, à partir duquel on détermine la vitesse de lancement, et une distance mesurée entre l'extrémité du rail et le point d'impact. On s'attend à ce que la distance soit proportionnelle à la vitesse. Le laboratoire publie deux exemples détaillés plutôt que le tableau complet : un espacement entre capteurs de 0,100 m avec Δt = 0,079 s donne v_x = 1,3 m/s, et un lancement à v_x = 2,4 m/s pour atteindre 1,295 m — avec une hauteur de chute h = 1,406 m. Tous les calculs ci-dessous sont basés sur ces chiffres ; les enseignants doivent considérer les fourchettes prévues comme un modèle à comparer à leurs propres huit mesures.

Le temps de vol, qui est le même pour chaque lancement. Sur le plan vertical, la balle part sans vitesse vers le bas ; on a donc h = ½gt² et t = √(2h/g) = √(2 × 1,406 / 9,8) = √0,2869 = 0,536 s. Il s'agit de la constante que le laboratoire désigne par k, et la valeur de 0,54 s indiquée sur la page est confirmée. Chaque boule de la série reste en l’air pendant 0,536 s, qu’elle quitte la rampe à 1 m/s ou à 3 m/s — c’est l’affirmation la plus contre-intuitive de l’expérience, et celle qui mérite le plus d’être démontrée à l’oreille, puisque les huit impacts produisent tous le même intervalle sonore après leur lancement.

La relation d'intervalle. Dans le sens horizontal, il n'y a pas d'accélération, donc Δx = v_xt = v_x√(2 h/g) = 0,536 v_x, avec Δx en mètres lorsque v_x est exprimée en mètres par seconde. En utilisant la valeur publiée pour le lancement rapide, on obtient Δx = 0,536 × 2,4 = 1,286 m, contre les 1,295 m enregistrés. En utilisant la valeur du lancement lent, v_x = 0,100/0,079 = 1,27 m/s et Δx = 0,536 × 1,27 = 0,68 m.

La seule autonomie publiée est légèrement longue, et c'est dans la mauvaise direction. Le modèle donne 1,286 m pour un lancement à 2,4 m/s et la page enregistre 1,295 m, soit un excédent de 9 mm. Deux des trois effets physiques à l'œuvre ici ne peuvent que raccourcir une plage : le frottement entre les capteurs et l'extrémité du rail fait que la balle part plus lentement qu'elle n'a été chronométrée, et la résistance de l'air la décélère en vol. La traînée est réellement négligeable — pour une bille d'acier de 16 mm, ½ρC_dAv² à 2,4 m/s vaut environ 3 × 10⁻⁴ N contre un poids de 0,16 N, ce qui donne une décélération horizontale proche de 0,02 m/s² et un raccourcissement d'environ 3 mm seulement — mais son signe est erroné par rapport à ce que l'on observe. Un excès doit provenir d'ailleurs : très probablement de la hauteur de chute, puisque h intervient sous forme de racine carrée et que 9 mm de portée supplémentaire correspondent à h = 1,427 m, soit exactement 21 mm de plus que la valeur enregistrée, ce qui correspond à peu près au rayon d'une bille plus la profondeur de son cratère d'impact dans le sable. Mesurer h depuis le centre de la bille au bord du rail jusqu'à la surface du sable, plutôt que du rail au sol, permettrait de résoudre le problème. Avec un seul point publié, l'écart se situe également dans la marge de ±0,06 m autorisée par le chronomètre, il ne vaut donc la peine d'être creusé que si le même excès apparaît sur l'ensemble des huit lancements — auquel cas il est systématique et c'est la hauteur qu'il faut re-mesurer.

Résumé du devoir par tranche d'âge

Classe de 3e à la 2de

Focalisation observer le motif et l'enregistrer correctement. Les étudiants configurent les capteurs, mesurent la hauteur du rail et la séparation des capteurs, et effectuent les huit lancements, en tabulant à chaque fois l'intervalle et la portée. Ils convertissent chaque intervalle en vitesse en le divisant par 0,100 m, et tracent la portée en fonction de la vitesse à la main. Les conclusions attendues sont qu'un lancement plus rapide parcourt une plus grande distance en proportion directe — doubler la vitesse double la portée — et que le graphique passe par l'origine, car une bille lancée sans vitesse atterrit au pied du rail. Vocabulaire : projectile, vitesse de lancement, portée, temps de vol, proportionnel.

11e année

Focalisation la dérivation et le test quantitatif. Les étudiants dérivent t = √(2h/g) à partir du mouvement vertical, le combinent avec le mouvement horizontal pour obtenir Δx = v_x√(2h/g), et calculent la constante à partir de la hauteur mesurée : 0,536 s pour h = 1,406 m. Ils comparent ensuite cette pente prédite avec la pente de leur propre graphie, ce qui constitue un véritable test plutôt qu'un ajustement, car les deux proviennent de mesures entièrement indépendantes — l'une d'une règle, l'autre d'un chronomètre et d'un ruban. Tout écart systématique entre elles constitue le résultat digne d'être discuté, et son signe est informatif.

12e année / Niveau universitaire

Focalisation le modèle de projectile sur toute la portée du lanceur. Les étudiants dérivent Δx = v_x√(2h/g), de prédire la portée pour chaque vitesse de lancement et de tester cette prédiction par rapport aux portées mesurées sur toute la plage de fonctionnement du lanceur. L'exercice final consiste à estimer explicitement la traînée sur la bille (environ 3 mm de raccourcissement à 2,4 m/s pour une sphère en acier de 16 mm) et à expliquer pourquoi les deux lancements publiés atterrissent là où le modèle prédit qu'ils le devraient.

Essentiels de laboratoire

Instruments

• Lanceur de balles électrique, avec réglages d'intensité de 1 à 8
• Rail de lancement avec deux capteurs photodiodes (espacés de 0,100 m)
• Balle en métal
• Bac à sable (zone d'atterrissage)
• Règle de 50 cm
• Mètre ruban (2 m)

Produits

Aucun — ce laboratoire n'utilise aucun réactif chimique.