088 – La relació entre la força resultant i l'acceleració

Quan una pilota roda i cau de la vora d'una taula, fa dues coses alhora, i tot el moviment de projectils es basa en el fet que aquestes dues coses no interfereixen l'una amb l'altra. Horitzontalment manté la velocitat amb què ha sortit, perquè res l'empenta cap endavant o cap enrere. Verticalment cau exactament com hauria caigut des del repte, perquè la gravetat tant se li'n dóna que també es mogui de costat. Una pilota rodada suaument des d'un banc i una altra llançada amb força des del mateix banc toquen a terra en el mateix moment; només varia la distància respecte al banc. Aquesta independència és el que permet calcular la balística, la tècnica del salt de llargada i la trajectòria d'una javelina llançada.

La conseqüència és una predicció sorprenentment senzilla. El temps en l'aire ve determinat totalment per l'altura de caiguda: $h = \frac{1}{2}gt^2$ dona $t = \sqrt{2h/g}$, el mateix per a cada llançament des del mateix banc. La distància horitzontal és doncs el que aquest temps fix permet a la velocitat de llançament, $\Delta x = v$_xt = v_x√(2h/g). Per tant, el rang és directament proporcional a la velocitat de llançament —no al seu quadrat, ni a res més complicat— i una gràfica de l'una contra l'altra és una línia recta que passa per l'origen la pendent de la qual és el temps de vol en segons.

En aquest laboratori es llança una bola metàl·lica al llarg d'un rail horitzontal i fora del seu extrem cap a un aorer. Dos sensors de fotodiodes a una distància fixa de la secció recta del rail cronometren la bola a mesura que passa, la qual cosa dóna directament la velocitat de llançament; el regle dóna l'alçada del rail per damunt de la superfície d'aterratge, i una cinta mètrica dóna l'abast des de l'extrem del rail fins al punt d'impacte. Es fan vuit llançaments a una intensitat de llançament creixent, i els parells de velocitat de llançament i abast es representen l'un contra l'altre. El que s'estudia és si el pendent d'aquesta línia coincideix amb √(2h/g) calculat a partir de l'alçada mesurada, una predicció feta sense cap paràmetre lliure.

Objectius educatius

Comprendre el moviment parabòlic com a dos problemes independents

• Afirmeu i defenseu l'afirmació que els moviments horitzontal i vertical d'un projectil són independents, i utilitzeu-la per explicar per què cada pilota llançada des de la mateixa alçada cau al mateix instant.
• Identifiqueu quina quantitat fixa el temps de vol i quina fixa l'abast, i predeu què li passa a cadascuna quan es canvia l'altra.

Mesurament de la velocitat amb un parell de sensors

• Calculeu la velocitat de llançament com a v_x = Δx_sensor/Δt a partir de la separació fixa del sensor i l'interval mesurat, i expliqueu per què aquesta velocitat mitjana és també la velocitat instantània en un tram de via recte i anivellat.
• Valoreu la precisió d'aquesta velocitat a partir de la resolució del temporitzador, i reconegueu que els llançaments més ràpids donen els intervals més curts i, per tant, les velocitats menys precises.

Aplicant les equacions cinemàtiques

• Dedueix t = √(2h/g) a partir de h = ½gt² i combina'l amb Δx = v_xper obtenir la relació d'abast Δx = v_x√(2h/g).
• Substitueix l'alçada mesurada en aquella expressió per predir un interval abans de fer el llançament, i compara la predicció amb la mesura.

Construcció i interpretació d'un gràfic

• Grafica l'abast en funció de la velocitat de llançament per a tots vuit llançaments i comprova si els punts es troben sobre una recta que passa per l'origen.
• Interpreteu el pendent físicament —és el temps de vol en segons— i compareu-lo amb √(2h/g) en lloc de tractar-lo com una constant d'ajust empírica.

Avaluació dels errors i la seva direcció

• Distingeix els errors que només poden escurçar un rang, com la resistència de l'aire i la fricció sobre el raíl, dels que poden actuar en ambdós sentits, i utilitza aquesta asimetria per diagnosticar un desplaçament sistemàtic.

Relacionant el resultat amb el món fora del laboratori

• Apliqueu la mateixa relació a una pilota llançada, un raig d'aigua o un vehicle que surt d'una rampa, i expliqueu per què un llançament més llarg necessita més velocitat en proporció exacta, però un llançament més alt només com a arrel quadrada.

Protocol

1. Fixeu els 2 sensors del cronòmetre a la part posterior del rail, a la secció recta, a la ubicació on hi ha els suports metàl·lics circulars.
2. Amb la regla, mesura l'alçada del carril així com la distància entre els sensors.
3. Pots ajustar la intensitat del llançador de pilotes fent clic als botons + i – per augmentar i disminuir la intensitat.

Ajusta la intensitat a 1 per començar.

4. Engegueu la bola de metall per la guia prement el botó vermell.

Observeu la caiguda de la pilota i mesureu la distància des del punt d'impacte amb el terra.

5. Repetiu set vegades més els passos 3 a 5 mentre ajusteu gradualment la intensitat del llançador de boles cap amunt.

L'interval de.

El rang de la pilota es registra a la taula de resultats.

Resultats previstos

Vuit llançaments amb intensitat creixent produeixen vuit parells de nombres: un interval de sensor Δt, del qual es dedueix la velocitat de llançament, i un abast mesurat des del final del rail fins al punt d'impacte. El resultat esperat és que l'abast sigui proporcional a la velocitat. El laboratori publica dos exemples resolts en lloc de la taula completa —una separació de sensors de 0,100 m amb Δt = 0,079 s donant v_x = 1,3 m/s, i un llançament a v_x = 2,4 m/s arribant a 1,295 m — juntament amb una alçada de caiguda de h = 1,406 m. Tot el que hi ha a continuació s'ha calculat a partir d'aquestes dades; els professors haurien de tractar els abast predits com el model amb què contrastar les seves pròpies vuit mesures.

El temps de vol, que és el mateix per a cada llançament. Verticalment, la pilota comença sense velocitat cap avall, així que h = ½gt² i t = √(2h/g) = √(2 × 1,406 / 9,8) = √0,2869 = 0,536 s. Aquesta és la constant que el laboratori anomena k, i es confirma el valor de 0,54 s de la pàgina. Cada bola de la sèrie està a l'aire durant 0,536 s, tant si surt del rail a 1 m/s com a 3 m/s —l'afirmació més contraintuïtiva de l'experiment, i la que més val la pena demostrar d'oïda, ja que els vuit impactes suenen al mateix interval després del seu llançament.

La relació d'abast. Horitzontalment no hi ha acceleració, així que Δx = v_xt = v_x√(2h/g) = 0,536 v_x, amb Δx en metres quan v_x és en metres per segon. Substituint el llançament ràpid publicat, Δx = 0,536 × 2,4 = 1,286 m enfront de l'1,295 m registrat. Substituint el lent, v_x = 0,100/0,079 = 1,27 m/s i Δx = 0,536 × 1,27 = 0,68 m.

L'únic interval publicat és lleugerament llarg, i això va en la direcció equivocada. El model dona 1,286 m per a un llançament de 2,4 m/s i la pàgina registra 1,295 m, un excés de 9 mm. Dos dels tres efectes físics que actuen aquí només poden escurçar un marge: la fricció entre els sensors i el final del rail fa que la pilota surti més lentament del temps cronometrat, i la resistència de l'aire la desaccelera en vol. L'arrossegament és realment negligible — per a una bola d'acer de 16 mm, ½ρC_dAv² a 2,4 m/s és d'aproximadament 3 × 10⁻⁴ N enfront d'un pes de 0,16 N, la qual cosa dóna una desacceleració horitzontal propera a 0,02 m/s² i un escurçament de només uns 3 mm —però té el signe equivocat respecte al que s'observa. Un excés ha de venir d'alguna altra banda: molt probablement de l'altura de caiguda, ja que h hi entra com a arrel quadrada i 9 mm de abast addicional corresponen a h = 1,427 m, exactament 21 mm més que el valor registrat, la qual cosa equival aproximadament al radi d'una bola més la profunditat del seu cràter d'aterratge a la sorra. Mesurar h des del centre de la bola a la vora del rail fins a la superfície de la sorra, en lloc de des del rail fins a terra, ho resoldria. Amb un sol punt publicat, la discrepància també es troba dins dels ±0,06 m que el temporitzador permet, de manera que només val la pena investigar-ho si el mateix excés apareix en els vuit llançaments —cas en el qual és sistemàtic i l'altura és el que s'ha de tornar a mesurar.

Resum de tasques per rang de qualificació

De 9è a 10è grau

Enfocament observant el patró i registrant-lo correctament. Els estudiants col·loquen els sensors, mesuren l'alçada del rail i la separació del sensor, i fan els vuit llançaments, tabulant l'interval i l'abast cada vegada. Converteixen cada interval en una velocitat dividint 0,100 m per aquest, i dibuixen a mà l'abast en funció de la velocitat. Les conclusions esperades són que un llançament més ràpid arriba més lluny en proporció directa —duplicar la velocitat duplica l'abast— i que el gràfic passa per l'origen, perquè una bola llançada sense velocitat cau al peu del rail. Vocabulari: projectil, velocitat de llançament, abast, temps de vol, proporcional.

11è curs

Enfocament la derivació i la prova quantitativa. Els estudiants dedueixen t = √(2h/g) a partir del moviment vertical, el combinen amb el moviment horitzontal per obtenir Δx = v_x√(2h/g), i calcular la constant a partir de l'altura mesurada: 0,536 s per a h = 1,406 m. Després comparem aquesta pendent predita amb la pendent del seu propi gràfic, la qual cosa és una prova real en lloc d'un ajust, perquè les dues provenen de mesures completament independents —una d'una regla, l'altra d'un cronòmetre i una cinta. Qualsevol escletxa sistemàtica entre elles és el resultat que val la pena discutir, i el seu signe és informatiu.

12è curs / Nivell universitari

Enfocament el model de projectil al llarg de tot l'abast del llançador. Els estudiants dedueixen Δx = v_x√(2h/g), predir l'abast a cada velocitat de llançament i contrastar la predicció amb els abastos mesurats en tot el rang de funcionament del llançador. L'exercici final consisteix a estimar explícitament l'arrossegament sobre la pilota (aproximadament 3 mm d'escurçament a 2,4 m/s per a una esfera d'acer de 16 mm) i a explicar per què els dos llançaments publicats cauen on el model prediu que haurien de caure.

Equipament de laboratori

Instruments

• Llançador de pilotes elèctric, amb regulació d'intensitat de l'1 al 8
• Raïl de llançament amb dos sensors de fotodíode (separats 0,100 m)
• Bola de metall
• Zona de proves
• Regle de 50 cm
• Cinta mètrica (2 m)

Productes

Cap — aquest laboratori no utilitza cap reactiu químic.