088 – La relación entre la fuerza resultante y la aceleración

Cuando una pelota rueda fuera del borde de una mesa, hace dos cosas a la vez, y todo el movimiento de los proyectiles se basa en el hecho de que estas dos cosas no interfieren entre sí. Horizontalmente mantiene la velocidad con la que salió, porque nada la empuja hacia adelante o hacia atrás. Verticalmente cae exactamente como habría caído desde el reposo, a la vez que la gravedad no se preocupa de que también se esté moviendo hacia los lados. Una pelota rodada suavemente desde un banco y una disparada con fuerza desde el mismo banco golpean el suelo en el mismo momento; solo difiere la distancia desde el banco. Esta independencia es lo que permite calcular la balística, la técnica del salto de longitud y la trayectoria de una jabalina lanzada.

La consecuencia es una predicción sorprendentemente simple. El tiempo en el aire está determinado enteramente por la altura de caída: h = ½gt² da t = √(2h/g), el mismo para cada lanzamiento desde el mismo banco. La distancia horizontal es entonces lo que ese tiempo fijo rinde a la velocidad de lanzamiento, Δx = v_xt = v_x√(2h/g). Por lo tanto, el alcance es directamente proporcional a la velocidad de lanzamiento —no a su cuadrado, y a nada más complicado— y una gráfica de una frente a la otra es una línea recta que pasa por el origen cuya pendiente es el tiempo de vuelo en segundos.

En este laboratorio, una bola de metal es disparada a lo largo de un riel horizontal y desde su extremo hacia una caja de arena. Dos sensores de fotodiodos a una distancia fija entre sí en la sección recta del riel cronometran la bola a su paso, lo que proporciona directamente la velocidad de lanzamiento; la regla proporciona la altura del riel sobre la superficie de aterrizaje, y una cinta métrica proporciona el alcance desde el extremo del riel hasta el punto de impacto. Se realizan ocho lanzamientos con una intensidad de lanzamiento creciente, y los pares de velocidad de lanzamiento y alcance se representan gráficamente uno frente al otro. Lo que se está probando es si la pendiente de esa línea coincide con √(2h/g) calculada a partir de la altura medida, una predicción hecha sin ningún parámetro libre.

Objetivos Educativos

Comprender el movimiento de proyectiles como dos problemas independientes

• Afirma y defiende la afirmación de que los movimientos horizontal y vertical de un proyectil son independientes, y utilízala para explicar por qué cada pelota lanzada desde la misma altura aterriza en el mismo instante.
• Identifica qué cantidad fija el tiempo de vuelo y cuál fija el alcance, y predice qué le ocurre a cada una cuando se cambia la otra.

Medición de una velocidad con un par de sensores

• Calcula la velocidad de lanzamiento como v_x = Δx_sensor/Δt a partir de la separación fija del sensor y el intervalo medido, y explique por qué esta velocidad media es también la velocidad instantánea en un tramo de vía recto y nivelado.
• Juzga la precisión de esa velocidad a partir de la resolución del cronómetro, y reconoce que los lanzamientos más rápidos dan los intervalos más cortos y, por lo tanto, las velocidades menos precisas.

Aplicando las ecuaciones cinemáticas

• Deriva t = √(2h/g) a partir de h = ½gt² y combínala con Δx = v_xt para obtener la relación de alcance Δx = v_x√(2h/g).
• Sustituya la altura medida en esa expresión para predecir un rango antes de realizar el lanzamiento, y compare la predicción con la medición.

Construcción e interpretación de un gráfico

• Represente el alcance en función de la velocidad de lanzamiento para los ocho lanzamientos y compruebe si los puntos se encuentran en una línea recta que pasa por el origen.
• Interprete la pendiente físicamente —es el tiempo de vuelo en segundos— y compárela con √(2h/g) en lugar de tratarla como una constante de ajuste empírica.

Evaluación de los errores y su dirección

• Distinga los errores que solo pueden acortar un alcance, como la resistencia del aire y la fricción en el riel, de aquellos que pueden actuar en ambos sentidos, y use esa asimetría para diagnosticar un sesgo sistemático.

Relacionar el resultado con el mundo fuera del laboratorio

• Aplica la misma relación a una pelota lanzada, un chorro de agua o un vehículo que sale de una rampa, y explica por qué un lanzamiento más largo necesita más velocidad en proporción exacta, pero una liberación más alta solo como la raíz cuadrada.

Protocolo

1. Fija los 2 sensores del cronómetro a la parte posterior del riel en su sección recta, en la ubicación donde se encuentran los soportes metálicos circulares.
2. Usando la regla, mide la altura del riel, así como la distancia entre los sensores.
3. Puedes ajustar la intensidad del lanzador de pelotas haciendo clic en los botones + y – para aumentar y disminuir la intensidad.

Ajusta la intensidad a 1 para comenzar.

4. Lanza la bola de metal por el riel presionando el botón rojo.

Observa la caída de la pelota y mide la distancia desde el punto de impacto con el suelo.

5. Repite siete veces más los pasos 3 a 5 mientras ajustas gradualmente la intensidad del lanzador de pelotas hacia arriba.

El intervalo de tiempo medido por el cronómetro se registra en la tabla de resultados.

El alcance de la pelota se registra en la tabla de resultados.

Resultados esperados

Ocho lanzamientos de intensidad creciente producen ocho pares de números: un intervalo de sensor Δt, del cual se deduce la velocidad de lanzamiento, y un alcance medido desde el extremo del riel hasta el punto de impacto. El resultado esperado es que el alcance sea proporcional a la velocidad. El laboratorio publica dos ejemplos resueltos en lugar de la tabla completa: una separación de sensores de 0,100 m con Δt = 0,079 s que da v_x = 1,3 m/s, y un lanzamiento a v_x = 2,4 m/s alcanzando 1,295 m, junto con una altura de caída de h = 1,406 m. Todo lo que se presenta a continuación se calcula a partir de estas cifras; los profesores deben considerar los alcances previstos como el modelo con el que contrastar sus propias ocho mediciones.

El tiempo de vuelo, que es el mismo para cada lanzamiento. Verticalmente, la pelota comienza sin velocidad hacia abajo, por lo que h = ½gt² y t = √(2h/g) = √(2 × 1,406 / 9,8) = √0,2869 = 0,536 s. Esta es la constante que el laboratorio denomina k, y se confirma el valor de la página de 0,54 s. Cada pelota de la serie permanece en el aire durante 0,536 s, ya sea que salga del riel a 1 m/s o a 3 m/s, la afirmación más contraintuitiva de todo el experimento, y la que más vale la pena demostrar de oído, ya que los ocho impactos suenan al mismo intervalo después de sus lanzamientos.

La relación de rango. Horizontalmente no hay aceleración, por lo que Δx = v_xt = v_x√(2h/g) = 0.536 v_x, con Δx en metros cuando v_x está en metros por segundo. Sustituyendo el lanzamiento rápido publicado, Δx = 0.536 × 2.4 = 1.286 m frente a los 1.295 m registrados. Sustituyendo el lento, v_x = 0,100/0,079 = 1,27 m/s y Δx = 0,536 × 1,27 = 0,68 m.

El rango publicado es un poco largo, y esa es la dirección incorrecta. El modelo da 1,286 m para un lanzamiento de 2,4 m/s y la página registra 1,295 m, un exceso de 9 mm. Dos de los tres efectos físicos que actúan aquí solo pueden acortar un rango: la fricción entre los sensores y el extremo del riel hace que la pelota salga más lentamente de lo que fue cronometrada, y la resistencia del aire la desacelera en pleno vuelo. La resistencia es genuinamente insignificante — para una bola de acero de 16 mm, ½ρC_dAv² a 2,4 m/s es aproximadamente 3 × 10⁻⁴ N contra un peso de 0,16 N, lo que da una desaceleración horizontal cercana a 0,02 m/s² y un acortamiento de solo unos 3 mm —pero tiene el signo incorrecto respecto a lo observado. Un exceso debe provenir de otra parte: muy probablemente de la altura de caída, ya que $h$ entra como una raíz cuadrada y 9 mm de alcance adicional corresponden a $h = 1,427\text{ m}$, exactamente 21 mm más que el valor registrado, lo que equivale aproximadamente al radio de una pelota más la profundidad de su cráter de impacto en la arena. Medir $h$ desde el centro de la pelota en el borde del riel hasta la superficie de la arena, en lugar de desde el riel hasta el suelo, lo resolvería. Con un punto publicado, la discrepancia también se encuentra dentro de los ±0,06 m que permite el cronómetro, por lo que solo vale la pena investigarlo si el mismo exceso aparece en los ocho lanzamientos —en cuyo caso es sistemático y la altura es lo que se debe volver a medir.

Resumen de la asignación por rango de calificación

Grados 9–10

Enfoque: observando el patrón y registrándolo adecuadamente. Los estudiantes configuran los sensores, miden la altura del riel y la separación de los sensores, y realizan los ocho lanzamientos, tabulando el intervalo y el alcance en cada ocasión. Convierten cada intervalo en una velocidad dividiendo 0,100 m entre este, y grafican el alcance en función de la velocidad a mano. Las conclusiones esperadas son que un lanzamiento más rápido llega más lejos en proporción directa —duplicar la velocidad duplica el alcance— y que la gráfica pasa por el origen, porque una pelota lanzada sin velocidad cae al pie del riel. Vocabulario: proyectil, velocidad de lanzamiento, alcance, tiempo de vuelo, proporcional.

Undécimo grado

Enfoque: la derivación y la prueba cuantitativa. Los estudiantes derivan t = √(2h/g) a partir del movimiento vertical, lo combinan con el movimiento horizontal para obtener Δx = v_x√(2h/g), y calculan la constante a partir de la altura medida: 0,536 s para h = 1,406 m. Luego comparan esa pendiente predicha con la pendiente de su propio gráfico, lo cual es una prueba real en lugar de un ajuste, porque ambas provienen de mediciones completamente independientes: una de una regla, la otra de un cronómetro y una cinta. Cualquier discrepancia sistemática entre ellas es el resultado digno de discusión, y su signo es informativo.

12.º curso / Nivel universitario

Enfoque: el modelo de proyectil en todo el alcance del lanzador. Los estudiantes deducen Δx = v_x√(2h/g), predecir el alcance a cada velocidad de lanzamiento y contrastar la predicción con los alcances medidos en todo el rango operativo del lanzador. El ejercicio final consiste en estimar explícitamente la resistencia sobre la pelota (unos 3 mm de acortamiento a 2,4 m/s para una esfera de acero de 16 mm) y explicar por qué los dos lanzamientos publicados caen donde el modelo indica que deberían.

Esenciales de laboratorio

Instrumentos

• Lanzador de pelotas eléctrico, con ajustes de intensidad del 1 al 8
• Riel de lanzamiento con dos sensores de fotodiodo (a una distancia de 0,100 m)
• Bola de metal
• Zona de pruebas
• regla de 50 cm
• Cinta métrica (2 m)

Productos

Ninguno — este laboratorio no utiliza reactivos químicos.