088 – Vztah mezi výslednou silou a zrychlením

Když míč sekotí z okraje stolu, dělá dvě věci zároveň a celá problematika vrhu střelce je založena na tom, že tyto dvě věci se navzájem neovlivňují. Horizontálně si zachovává rychlost, kterou opustil stůl, protože ho nic netlačí dopředu ani dozadu. Vertikálně padá přesně tak, jak by padal z klidu, protože gravitaci nezáleží na tom, že se pohybuje také do strany. Míč jemně skoulený z lavice a míč silně vystřelený ze stejné lavice dopadnou na zem ve stejný okamžik; liší se pouze vzdálenost od lavice. Právě tato nezávislost umožňuje vůbec vypočítat balistiku, techniku skoku do dálky a trajektorii vrženého oštěpu.

Důsledkem je nápadně jednoduchá předpověď. Doba letu ve vzduchu je dána zcela výškou pádu: $h = \frac{1}{2}gt^2$ dává $t = \sqrt{2h/g}$, což je stejné pro každý odlet ze stejného stolu. Vodorovná vzdálenost je pak to, co tento pevný čas umožní ujet při počáteční rychlosti, $\Delta x = v$_xt = v_x√(2h/g). Dosah je proto přímo úměrně na rychlost při startu – nikoli na její čtverec a na nic složitějšího – a graf jedné závislosti na druhé je přímka procházející počátkem, jejíž směrnice je doba letu v sekundách.

V této laboratoři je kovová kulička vystřelena po vodorovné kolejnici a z jejího konce do pískoviště. Dva snímače s fotodiodami v pevné vzdálenosti na rovném úseku kolejnice měří čas kuličky při jejím průchodu, což přímo dává počáteční rychlost; pravítko udává výšku kolejnice nad dopadovou plochou a svinovací metr udává dolet od konce kolejnice po bod dopadu. Provede se osm výstřelů se zvyšující se intenzitou vystřelovače a dvojice počáteční rychlosti a doletu se vynášejí proti sobě. Testuje se, zda směrnice této přímky odpovídá √(2h/g) vypočtenému z naměřené výšky – což je předpověď učiněná zcela bez volných parametrů.

Vzdělávací cíle

Pochopení vrhu jako dvou na sobě nezávislých úloh

• Tvrzení: Horizontální a vertikální pohyb vrženého tělesa na sobě jsou nezávislé. Obhajoba: Toto tvrzení je podloženo principem superpozice, který ukazuje, že gravitační zrychlení působí pouze ve vertikálním směru a nemá vliv na horizontální složku rychlosti. V ideálním prostředí bez odporu vzduchu se těleso pohybuje v horizontálním směru stálou rychlostí, zatímco ve vertikálním směru podléhá rovnoměrně zrychlenému pohybu vlivem gravitace. Tyto dvě složky probíhají současně, ale navzájem se neovlivňují. Vysvětlení: Z této nezávislosti vyplývá, že doba, kterou těleso potřebuje k dopadu na zem, závisí výhradně na jeho počáteční výšce a vertikálním zrychlení, nikoliv na jeho horizontální rychlosti. Proto každá kulička vypuštěná ze stejné výšky (se stejnou vertikální složkou počáteční rychlosti rovno nule) dopadne na zem ve stejném okamžiku, bez ohledu na to, jak velkou horizontální počáteční rychlost má.
• Určete, která veličina určuje dobu letu a která určuje dosah, a předpovězte, co se stane s každou z nich, když se druhá změní.

Měření rychlosti pomocí dvojice snímačů

• Vypočítejte rychlost při startu jako v_x = Δx_senzor/Δt z pevné vzdálenosti čidel a měřeného intervalu a vysvětlete, proč tato průměrná rychlost je zároveň okamžitou rychlostí na rovném a vodorovném úseku koleje.
• Posuďte přesnost této rychlosti na základě rozlišení časomíry a uvědomte si, že nejrychlejší starty poskytují nejkratší intervaly, a tedy nejméně přesné rychlosti.

Použití kinematických rovnic

• Odvoďte t = √(2h/g) z h = ½gt² a kombinujte to s Δx = v_xzískat vztah pro dosah Δx = v_x√(2h/g).
• Dosaďte naměřenou výšku do tohoto výrazu, abyste před startem předpověděli rozmezí, a porovnejte předpověď s měřením.

Sestavení a interpretace grafu

• Vykreslete závislost dosahu na rychlosti při startu pro všech osm startů a otestujte, zda body leží na přímce procházející počátkem.
• Fyzikálně interpretujte směrnici – jedná se o dobu letu v sekundách – a porovnejte ji s výrazem √(2h/g), namísto toho, abyste s ní zacházeli jako s empirickou prokládací konstantou.

Vyhodnocování chyb a jejich směru

• Rozlište chyby, které mohou dosah odporu vzduchu a tření na kolejnici dosah pouze zkrátit, od těch, které mohou působit oběma směry, a tuto asymetrii využijte k diagnostice systematické odchylky.

Vztah výsledku k světu mimo laboratoř

• Aplikujte stejný vztah na hozený míč, proud vody nebo vozidlo opouštějící rampu a vysvětlete, proč delší hod vyžaduje větší rychlost v přesném poměru, ale vyšší odhod pouze jako odmocninu.

Protokol

1. Připevněte 2 senzory stopek na zadní část kolejnice, na její rovný úsek, v místě kovových kruhových podpěr.
2. Pomocí pravítka změřte výšku kolejnice a také vzdálenost mezi senzory.
3. Intenzitu odpalovače míčků můžete upravit kliknutím na tlačítka + a – pro zvýšení a snížení intenzity.

Upravte intenzitu na 1 pro začátek.

4. Spusťte kovovou kouli po kolejnici stisknutím červeného tlačítka.

Sledujte pád míče a změřte vzdálenost od bodu dopadu s povrchem.

5. Opakujte kroky 3 až 5 ještě sedmkrát a postupně zvyšujte intenzitu vrhače míčků.

Časový interval změřený stopekami je zaznamenán v tabulce výsledků.

Rozsah míče je zaznamenán v tabulce výsledků.

Předvídané výsledky

Osm startů o rostoucí intenzitě produkuje osm dvojic čísel: interval snímače Δt, ze kterého vyplývá rychlost startu, a dosah měřený od konce kolejnice po bod dopadu. Očekávaným výsledkem je, že dosah je úměrný rychlosti. Laboratoř publikuje dva vzorové příklady namísto úplné tabulky – rozteč snímačů 0,100 m s Δt = 0,079 s dávající v_x = 1,3 m/s a start při v_x = 2,4 m/s dosahující 1,295 m — spolu s výškou pádu h = 1,406 m. Všechno níže je odvozeno z těchto údajů; učitelé by měli předpovězené dosahy považovat za model, proti kterému mohou testovat svých vlastních osm měření.

Doba letu, která je pro každý start stejná. Svisle míč začíná bez počáteční rychlosti směrem dolů, takže h = ½gt² a t = √(2h/g) = √(2 × 1,406 / 9,8) = √0,2869 = 0,536 s. Toto je konstanta, kterou laboratoř nazývá k, a hodnota 0,54 s uvedená na stránce je potvrzena. Každý míček v sérii je ve vzduchu 0,536 s, ať už opustí kolejnici rychlostí 1 m/s, nebo 3 m/s — což je to vůbec nejkontraintuitivnější tvrzení v celém experimentu a to, které se nejvíce vyplatí demonstruje sluchem, protože všech osm dopadů zní ve stejném intervalu po svém odstartování.

Vztah rozsahu. Horizontálně nedochází k žádnému zrychlení, takže Δx = v_xt = v_x√(2h/g) = 0,536 v_x, přičemž Δx je v metrech, když v_x je v metrech za sekundu. Dosazením publikovaného rychlého startu, Δx = 0,536 × 2,4 = 1,286 m oproti zaznamenaným 1,295 m. Dosazením pomalého, v_x = 0,100/0,079 = 1,27 m/s a Δx = 0,536 × 1,27 = 0,68 m.

Jeden zveřejněný rozsah je o něco dlouhý, a to je špatným směrem. Model udává hodnotu 1,286 m při rychlosti odrazu 2,4 m/s, zatímco na stránce je uvedeno 1,295 m, což představuje odchylku o 9 mm. Dva ze tří fyzikálních jevů, které zde působí, mohou pouze Zkrátit rozsah: tření mezi senzory a koncem kolejnice způsobuje, že kulička opouští kolejnici pomaleji, než bylo naměřeno, a odpor vzduchu ji během letu zpomaluje. Tento odpor je skutečně zanedbatelný – u ocelové kuličky o průměru 16 mm činí ½ρC_dAv² při rychlosti 2,4 m/s činí přibližně 3 × 10⁻⁴ N proti tíži 0,16 N, což dává horizontální zpomalení přibližně 0,02 m/s² a zkrácení o pouhé 3 mm – má to však opačné znaménko, než jaké je pozorováno. Přebytek musí pocházet odněkud jinud: nejpravděpodobněji z výšky pádu, protože $h$ vstupuje jako odmocnina a 9 mm dodatečného dosahu odpovídá $h = 1{,}427\text{ m}$, což je přesně o 21 mm více než zaznamenaná hodnota, což odpovídá přibližně poloměru míčku plus hloubce jeho dopadového kráteru v písku. Měření $h$ od středu míčku na okraji kolejničky k povrchu písku namísto od kolejničky k podlaze by to vyřešilo. S jedním publikovaným bodem se nesrovnalost rovněž nachází v rozmezí ±0,06 m, které časomíra umožňuje, takže má smysl se tím zabývat pouze tehdy, pokud se stejný přebytek objeví u všech osmi startů – v takovém případě se jedná o systematickou chybu a je třeba znovu změřit výšku.

Shrnutí úkolů podle věkové kategorie

9. až 10. ročník

Zaměření pozorování vzorce a jeho řádné zaznamenávání. Studenti nastaví senzory, změřijí výšku kolejnice a vzdálenost senzorů a provedou všech osm startů, přičemž pokaždé tabulkují interval a dolet. Každý interval převedou na rychlost tak, že jím vydělí hodnotu 0,100 m, a ručně vynanesou dolet v závislosti na rychlosti. Očekávanými závěry jsou, že rychlejší start znamená větší dolet v přímé úměře – zdvojnásobení rychlosti zdvojnásobí dolet – a že graf prochází počátkem, protože kulička vystřelená nulovou rychlostí dopadne na patu kolejnice. Slovní zásoba: vrh, počáteční rychlost, dolet, doba letu, úměrný.

11. ročník

Zaměření odvození a kvantitativní test. Studenti odvodí t = √(2h/g) ze svislého pohybu a zkombinují ho s vodorovným pohybem, aby získali Δx = v_x√(2h/g), a z naměřené výšky vypočítají konstantu: 0,536 s pro h = 1,406 m. Tuto předpověděnou strmost pak porovnají se strmostí vlastního grafu, což představuje skutečný test namísto pouhého proložení, protože obě hodnoty pocházejí ze zcela nezávislých měření – jedna z pravítka, druhá z měřiče času a pásma. Jakákoli systematická mezera mezi nimi je výsledkem, o kterém stojí za to diskutovat, přičemž její znaménko je vypovídající.

12. ročník / Úroveň college

Zaměření model vrhu v celém rozsahu odpalovacího zařízení. Studenti odvodí Δx = v_x√(2h/g), předpovědět dosah při každé počáteční rychlosti a ověřit tuto předpověď oproti naměřeným dosahům v celém pracovním rozsahu vrhače. Závěrečným úkolem je explicitně odhadnout odpor vzduchu působící na míček (zhruba 3 mm zkrácení při rychlosti 2,4 m/s u 16mm ocelové kuličky) a vysvětlit, proč dva publikované odpalové pokusy dopadají tam, kde model předpokládá.

Laboratorní potřeby

Nástroje

• Elektrický vrhač míčků s nastavitelnou intenzitou od 1 do 8
• Startovací kolejnice se dvěma fotodiodovými senzory (ve vzdálenosti 0,100 m od sebe)
• Kovová koule
• Pískoviště (přistávací plocha)
• 50 cm pravítko
• Svinovací metr (2 m)

Produkty

Žádné — tato laboratoř nepoužívá žádná chemická činidla.