088 – Der Zusammenhang zwischen der Resultierenden Kraft und der Beschleunigung

Wenn ein Ball vom Ende eines Tisches rollt, tut er zwei Dinge gleichzeitig, und die gesamte Wurfparabel beruht auf der Tatsache, dass sich diese beiden Dinge nicht gegenseitig beeinflussen. Horizontal behält er die Geschwindigkeit bei, mit der er ihn verlassen hat, da ihn nichts vorwärts oder rückwärts schiebt. Vertikal fällt er genau so, wie er aus der Ruhe gefallen wäre, da es die Schwerkraft nicht kümmert, dass er sich auch zur Seite bewegt. Ein Ball, der sanft von einer Bank gerollt wird, und einer, der mit Wucht von derselben Bank geschossen wird, treffen im selben Moment auf den Boden; nur die Entfernung von der Bank unterscheidet sich. Diese Unabhängigkeit ermöglicht es überhaupt erst, Ballistik, Weitsprungtechnik und die Flugbahn eines geworfenen Speers zu berechnen.

Die Konsequenz ist eine auffallend einfache Vorhersage. Die Flugzeit wird vollständig durch die Fallhöhe bestimmt: $h = \frac{1}{2}gt^2$ ergibt $t = \sqrt{2h/g}$, was für jeden Abwurf vom selben Tisch gleich ist. Die horizontale Distanz ist dann das, was diese feste Zeit bei der Abwurfgeschwindigkeit einbringt, $\Delta x = v$_xt = v_x√(2h/g). Die Reichweite ist daher direkt proportional zur Startgeschwindigkeit — und nicht zu deren Quadrat und zu nichts Komplizierteren —, und eine Grafik der einen Größe gegen die andere ist eine Gerade durch den Ursprung, deren Steigung die Flugzeit in Sekunden ist.

In diesem Labor wird eine Metallkugel entlang einer horizontalen Schiene und von deren Ende in einen Sandkasten geschossen. Zwei Fotodioden-Sensoren in einem festen Abstand zueinander auf dem geraden Abschnitt der Schiene messen die Zeit der Kugel beim Passieren, was direkt die Abfluggeschwindigkeit liefert; das Lineal gibt die Höhe der Schiene über der Aufschlagfläche an, und ein Maßband liefert die Reichweite vom Ende der Schiene bis zum Aufschlagpunkt. Es werden acht Schüsse mit steigender Schussstärke durchgeführt, und die Paare aus Abfluggeschwindigkeit und Reichweite werden gegeneinander aufgetragen. Getestet wird, ob die Steigung dieser Geraden mit dem aus der gemessenen Höhe berechneten Wert √(2h/g) übereinstimmt – eine Vorhersage, die gänzlich ohne freie Parameter auskommt.

Bildungsziele

Die Analyse der Wurfparabel als zwei unabhängige Probleme

• Behaupten und begründen Sie die Aussage, dass die horizontale und die vertikale Bewegung eines Projektils unabhängig voneinander sind, und erklären Sie damit, warum jeder aus derselben Höhe abgeworfene Ball im selben Augenblick landet.
• Identifizieren Sie, welche Größe die Flugzeit und welche die Reichweite festlegt, und sagen Sie voraus, was mit der jeweils anderen geschieht, wenn diese geändert wird.

Messen einer Geschwindigkeit mit einem Sensorenpaar

• Berechne die Startgeschwindigkeit als v_x = Δx_Sensor/Δt aus dem festen Sensorabstand und dem gemessenen Intervall, und erklären Sie, warum diese Durchschnittsgeschwindigkeit auf einem geraden, ebenen Schienenabschnitt auch der Momentangeschwindigkeit entspricht.
• Beurteilen Sie die Genauigkeit dieser Geschwindigkeit anhand der Auflösung des Zeitmessers, und erkennen Sie, dass die schnellsten Starts die kürzesten Intervalle und folglich die am wenigsten präzisen Geschwindigkeiten liefern.

Anwendung der kinematischen Gleichungen

• Leiten Sie t = √(2h/g) aus h = ½gt² her und kombinieren Sie es mit Δx = v_xzu erhalten die Reichweitenbeziehung Δx = v_x√(2 h/g).
• Setzen Sie die gemessene Höhe in diesen Ausdruck ein, um vor dem Start eine Reichweite zu berechnen, und vergleichen Sie die Berechnung mit dem Messwert.

Erstellen und Interpretieren eines Graphen

• Stellen Sie für alle acht Starts die Reichweite gegen die Startgeschwindigkeit dar und prüfen Sie, ob die Punkte auf einer Geraden durch den Ursprung liegen.
• Interpretieren Sie die Steigung physikalisch – sie ist die Flugzeit in Sekunden – und vergleichen Sie sie mit √(2h/g), anstatt sie als empirische Anpassungskonstante zu behandeln.

Auswertung von Fehlern und deren Richtung

• Unterscheiden Sie Fehler, die eine Strecke nur verkürzen können – wie beispielsweise Luftwiderstand und Reibung an der Schiene –, von solchen, die in beide Richtungen wirken können, und nutzen Sie diese Asymmetrie, um einen systematischen Versatz zu diagnostizieren.

Das Ergebnis auf die Welt außerhalb des Labors übertragen

• Wende dieselbe Beziehung auf einen geworfenen Ball, einen Wasserstrahl oder ein Fahrzeug an, das eine Rampe hinunterfährt, und erkläre, warum ein längerer Wurf eine um denselben Faktor höhere Geschwindigkeit erfordert, ein höherer Abwurf jedoch nur die Quadratwurzel dieser Geschwindigkeit.

Protokoll

1. Befestigen Sie die beiden Sensoren der Stoppuhr an der Rückseite der Schiene in ihrem geraden Abschnitt, an der Stelle, wo die runden Metallhalterungen sind.
2. Messen Sie mit dem Lineal die Höhe der Schiene sowie den Abstand zwischen den Sensoren.
3. Sie können die Intensität des Ballwerfers anpassen, indem Sie auf die Schaltflächen + und – klicken, um die Intensität zu erhöhen und zu verringern.

Stelle die Intensität zum Beginn auf 1.

4. Starte die Metallkugel, indem du den roten Knopf drückst, damit sie die Schiene entlangfährt.

Beobachten Sie den Fall des Balls und messen Sie die Entfernung vom Aufprallpunkt auf dem Boden.

5. Wiederholen Sie die Schritte 3 bis 5 sieben weitere Male und erhöhen Sie dabei schrittweise die Intensität des Ballwerfers.

Das mit der Stoppuhr gemessene Zeitintervall ist in der Ergebnistabelle aufgeführt.

Die Reichweite des Balls ist in der Ergebnistabelle aufgeführt.

Erwartete Ergebnisse

Acht Abschüsse mit steigender Intensität ergeben acht Zahlenpaare: ein Sensorintervall Δt, aus dem sich die Abschussgeschwindigkeit ableiten lässt, und eine Entfernung, gemessen vom Ende der Schiene bis zum Aufschlagpunkt. Das erwartete Ergebnis ist, dass die Entfernung proportional zur Geschwindigkeit ist. Das Labor veröffentlicht anstelle der vollständigen Tabelle zwei ausgearbeitete Beispiele – bei einem Sensorabstand von 0,100 m und Δt = 0,079 s ergibt sich v_x = 1,3 m/s und ein Start bei v_x = 2,4 m/s bei einer Höhe von 1,295 m – bei einer Fallhöhe von h = 1,406 m. Alle folgenden Berechnungen basieren auf diesen Zahlen; Lehrkräfte sollten die vorhergesagten Werte als Modell betrachten, anhand dessen sie ihre eigenen acht Messungen überprüfen können.

Die Flugzeit, die bei jedem Start gleich ist. In vertikaler Richtung hat der Ball zu Beginn keine Fallgeschwindigkeit, daher gilt h = ½gt² und t = √(2h/g) = √(2 × 1,406 / 9,8) = √0,2869 = 0,536 s. Dies ist die Konstante, die das Laboratorium als k bezeichnet, und der Wert von 0,54 s auf der Seite wird bestätigt. Jeder Ball in der Serie ist 0,536 s in der Luft, egal ob er die Schiene mit 1 m/s oder mit 3 m/s verlässt – die mit Abstand kontraintuitivste Aussage des Experiments und diejenige, die sich am ehesten akustisch demonstrieren lässt, da alle acht Aufschläge im selben Intervall nach ihrem Abwurf klingen.

Die Intervallrelation. In horizontaler Richtung gibt es keine Beschleunigung, daher gilt: Δx = v_xt = v_x√(2 h/g) = 0,536 V_x, mit Δx in Metern, wenn v_x wird in Metern pro Sekunde angegeben. Setzt man den veröffentlichten Wert für den schnellen Start ein, ergibt sich Δx = 0,536 × 2,4 = 1,286 m gegenüber den aufgezeichneten 1,295 m. Setzt man den Wert für den langsamen Start ein, v_x = 0,100/0,079 = 1,27 m/s und Δx = 0,536 × 1,27 = 0,68 m.

Die eine veröffentlichte Reichweite ist etwas lang, und das ist die falsche Richtung. Das Modell ergibt 1,286 m bei einem Start mit 2,4 m/s und die Seite verzeichnet 1,295 m, was einem Überschuss von 9 mm entspricht. Zwei der drei hier wirksamen physikalischen Effekte können nur kürzen eine Reihe: Die Reibung zwischen den Sensoren und dem Ende der Schiene sorgt dafür, dass die Kugel die Schiene langsamer verlässt, als gemessen wurde, und der Luftwiderstand bremst sie im Flug ab. Der Luftwiderstand ist wahrhaftig vernachlässigbar – für eine 16-mm-Stahlkugel beträgt er ½ρC_dAv² bei 2,4 m/s ist etwa 3 × 10⁻⁴ N gegen ein Gewicht von 0,16 N, was eine horizontale Verzögerung von nahe 0,02 m/s² und eine Verkürzung von nur etwa 3 mm ergibt – aber es hat das falsche Vorzeichen für das, was beobachtet wird. Ein Überschuss muss von woanders herkommen: höchstens wahrscheinlich von der Fallhöhe, da h als Quadratwurzel eingeht und 9 mm extra Reichweite h = 1,427 m entsprechen, genau 21 mm mehr als der aufgezeichnete Wert, was etwa dem Radius eines Balls plus der Tiefe seines Landungskraters im Sand entspricht. Die Messung von h vom Mittelpunkt des Balls am Rand der Schiene bis zur Sandoberfläche statt von der Schiene zum Boden würde dies klären. Bei einem veröffentlichten Punkt liegt die Diskrepanz auch innerhalb der ±0,06 m, die der Zeitmesser zulässt, sodass es sich nur dann lohnt, dem nachzugehen, wenn derselbe Überschuss bei allen acht Starts auftritt – in diesem Fall ist er systematisch und die Höhe ist das, was neu gemessen werden muss.

Zusammenfassung der Aufgaben nach Klassenstufen

9. bis 10. Klasse

Fokus das Beobachten des Musters und dessen ordnungsgemäße Aufzeichnung. Die Studierenden stellen die Sensoren ein, messen die Schienenhöhe und den Sensorabstand, führen alle acht Würfe durch und tabellieren jedes Mal das Intervall und die Weite. Sie rechnen jedes Intervall in eine Geschwindigkeit um, indem sie 0,100 m durch dieses teilen, und tragen die Weite manuell gegen die Geschwindigkeit auf. Die erwarteten Schlussfolgerungen sind, dass ein schnellerer Wurf in direktem Verhältnis weiter fliegt – eine Verdopplung der Geschwindigkeit verdoppelt die Weite – und dass der Graph durch den Ursprung verläuft, da ein Ball, der ohne Geschwindigkeit geworfen wird, am Fuß der Schiene landet. Vokabular: Wurfprojektil, Abwurfgeschwindigkeit, Wurfweite, Flugzeit, proportional.

11. Klasse

Fokus die Ableitung und der quantitative Test. Die Studierenden leiten t = √(2h/g) aus der vertikalen Bewegung ab und kombinieren es mit der horizontalen Bewegung, um Δx = v zu erhalten_x√(2h/g), und berechnen die Konstante aus der gemessenen Höhe: 0,536 s für h = 1,406 m. Sie vergleichen dann diese vorhergesagte Steigung mit der Steigung ihres eigenen Graphen, was eher ein echter Test als ein Fit ist, da die beiden aus völlig unabhängigen Messungen stammen – die eine von einem Lineal, die andere von einer Stoppuhr und einem Maßband. Jede systematische Lücke zwischen ihnen ist das Ergebnis, über das es sich zu sprechen lohnt, und ihr Vorzeichen ist aufschlussreich.

12. Klasse / College-Niveau

Fokus Das Projektilmodell über die gesamte Reichweite des Werfers. Die Studierenden leiten ab: Δx = v_x√(2h/g), die Reichweite bei jeder Abwurfgeschwindigkeit vorherzusagen und die Vorhersage mit den gemessenen Reichweiten über den Arbeitsbereich des Werfers zu vergleichen. Die abschließende Übung besteht darin, den Luftwiderstand auf den Ball explizit zu bestimmen (etwa 3 mm Verkürzung bei 2,4 m/s für eine 16 mm Stahlkugel) und zu erklären, warum die beiden veröffentlichten Abwürfe dort landen, wo es das Modell vorhersagt.

Labor-Grundausstattung

Instrumente

• Elektrischer Ballwerfer mit Intensitätsstufen 1 bis 8
• Startrampe mit zwei Photodiodensensoren (0,100 m Abstand)
• Metallkugel
• Sandkasten (Landeplatz)
• 50 cm Lineal
• Maßband (2 m)

Produkte

Keine – dieses Labor verwendet keine chemischen Reagenzien.