088 – Relația dintre forța rezultantă și accelerație

Când o minge se rostogolește de pe marginea unei mese, ea face două lucruri în același timp, iar întreaga mișcare a proiectilelor se bazează pe faptul că aceste două lucruri nu interferează unul cu celălalt. Pe orizontală își păstrează viteza cu care a plecat, deoarece nimic nu o împinge înainte sau înapoi. Pe verticală cade exact așa cum ar fi căzut din repaus, deoarece gravitația nu este influențată de faptul că mingea se mișcă și lateral. O minge rostogolită ușor de pe o bancă și una trasă cu putere de pe aceeași bancă lovesc podeaua în același moment; doar distanța față de bancă diferă. Această independență este cea care permite calcularea balisticii, a tehnicii de săritură în lungime și a traiectoriei unei sulițe aruncate.

Consecința este o predicție izbitor de simplă. Timpul petrecut în aer este determinat în întregime de înălțimea de cădere: h = ½gt² dă t = √(2h/g), același pentru fiecare lansare de pe aceeași bancă. Distanța orizontală este atunci ceea ce acel timp fix cumpără la viteza de lansare, Δx = v_xt = v_x√(2h/g). Prin urmare, domeniul este direct proporțional la viteza de lansare — nu la pătratul acesteia și la nimic mai complicat — iar un grafic al uneia în funcție de cealaltă este o linie dreaptă care trece prin origine, a cărei pantă este timpul de zbor în secunde.

În acest laborator, o bilă de metal este lansată de-a lungul unei șine orizontale și în afara capătului acesteia într-o ladă cu nisip. Doi senzori cu fotodiode aflați la o distanță fixă unul de celălalt pe secțiunea dreaptă a șinei cronometrează bila în timp ce aceasta trece, ceea ce oferă direct viteza de lansare; rigla oferă înălțimea șinei deasupra suprafeței de aterizare, iar o ruletă oferă bătaia (distanța pe orizontală) de la capătul șinei până la punctul de impact. Se fac opt lansări la intensități din ce în ce mai mari ale lansatorului, iar perechile de viteză de lansare și bătaie sunt reprezentate grafic una în funcție de cealaltă. Ceea ce se testează este dacă panta acelei linii corespunde valorii $\sqrt{2h/g}$ calculată din înălțimea măsurată – o predicție făcută fără niciun parametru liber.

Obiective educaționale

Înțelegerea mișcării proiectilelor ca două probleme independente

• Afirmația este că mișcările pe orizontală și pe verticală ale unui proiectil sunt complet independente una de cealaltă; aceasta se susține prin faptul că forța gravitațională acționează exclusiv pe direcția verticală, imprimând o accelerație constantă în cădere liberă, în timp ce pe orizontală nu există nicio forță (neglijând rezistența aerului), ceea ce înseamnă că viteza pe această direcție rămâne constantă. Această independență explică de ce orice minge lansată sau aruncată de la aceeași înălțime (cu o viteză inițială pe verticală egală cu zero) va atinge solul în exact același moment: accelerația gravitațională și distanța pe verticală pe care trebuie să o parcurgă sunt identice pentru toate, indiferent de viteza sau direcția cu care se deplasează pe orizontală.
• Identificați care mărime fixează timpul de zbor și care fixează bătaia (distanța orizontală) și preghiciți ce se întâmplă cu fiecare dintre ele atunci când cealaltă este modificată.

Măsurarea unei viteze cu ajutorul unei perechi de senzori

• Calculează viteza de lansare ca fiind v_x = Δx_senzor/Δt din distanța fixă dintre senzori și intervalul măsurat și explicați de ce această viteză medie este și viteza instantanee pe o secțiune de șină dreaptă și orizontală.
• Judecă precizia acelei viteze din rezoluția cronometrului și recunoaște că cele mai rapide lansări oferă cele mai scurte intervale și, prin urmare, cele mai puțin precise viteze.

Aplicarea ecuațiilor cinematice

• Derivați t = √(2h/g) din h = ½gt² și combinați-l cu Δx = v_xsă obținem relația pentru bătaie (sau domeniu) Δx = v_x√(2h/g).
• Înlocuiți înălțimea măsurată în acea expresie pentru a prezice un interval înainte ca lansarea să fie efectuată și comparați predicția cu măsurătoarea.

Construirea și interpretarea unui grafic

• Reprezentați grafic distanța parcursă în funcție de viteza de lansare pentru toate cele opt lansări și testați dacă punctele se află pe o linie dreaptă care trece prin originea axelor.
• Interpretează panta în mod fizic — aceasta reprezintă timpul de zbor în secunde — și compară-o cu √(2h/g) în loc să o tratezi ca pe o constantă empirică de ajustare.

Evaluarea erorilor și a direcției acestora

• Diferențiați erorile care pot doar scurta o distanță, cum ar fi rezistența aerului și frecvența pe șină, de cele care pot acționa în ambele sensuri, și folosiți această asimetrie pentru a diagnostica o abatere sistematică.

Corelarea rezultatului cu lumea din afara laboratorului

• Aplică aceeași relație unei mingi aruncate, unui jet de apă sau unui vehicul care părăsește o rampă și explică de ce o aruncare mai lungă necesită o viteză mai mare în proporție exactă, dar o lansare mai înaltă doar ca rădăcină pătrată.

Protocol

1. Fixează cei 2 senzori ai cronometrului pe spatele șinei, în secțiunea sa dreaptă, în locul unde se află suporturile metalice circulare.
2. Folosind rigla, măsoară înălțimea șinei, precum și distanța dintre senzori.
3. Puteți ajusta intensitatea lansatorului de mingi făcând clic pe butoanele + și – pentru a crește și a scădea intensitatea.

Reglează intensitatea la 1 pentru a începe.

4. Lansează bila de metal de-a lungul șinei apăsând pe butonul roșu.

Observați căderea mingii și măsurați distanța față de punctul de impact cu solul.

5. Repetați de încă șapte ori pașii 3 până la 5, ajustând treptat intensitatea lansatorului de mingi în sus.

Intervalul de timp măsurat de cronometru este înregistrat în tabelul de rezultate.

Distanța mingii este înregistrată în tabelul de rezultate.

Rezultate anticipate

Opt lansări la o intensitate în creștere produc opt perechi de numere: un interval al senzorului Δt, din care rezultă viteza de lansare, și o bătaie măsurată de la capătul șinei până la punctul de impact. Rezultatul așteptat este că bătaia este proporțională cu viteza. Laboratorul publică două exemple rezolvate în loc de tabelul complet — o separație a senzorilor de 0,100 m cu Δt = 0,079 s dând v_x = 1,3 m/s, și o lansare la v_x = 2,4 m/s ajungând la 1,295 m — împreună cu o înălțime de cădere de h = 1,406 m. Tot ce urmează este calculat pe baza acestor cifre; profesorii ar trebui să trateze intervalele prezise ca fiind modelul față de care își pot testa propriile opt măsurători.

Timpul de zbor, care este același pentru fiecare lansare. Pe verticală mingea începe fără viteză descendentă, deci h = ½gt² și t = √(2h/g) = √(2 × 1,406 / 9,8) = √0,2869 = 0,536 s. Aceasta este constanta pe care laboratorul o numește k, iar valoarea de 0,54 s a paginii este confirmată. Fiecare minge din serie se află în aer timp de 0,536 s, indiferent dacă părăsește sina la 1 m/s sau la 3 m/s — cea mai contraintuitivă afirmație din cadrul experimentului și cea care merită cel mai mult să fie demonstrată auditiv, întrucât toate cele opt impacturi sună la același interval după lansare.

Relația de domeniu. Pe orizontală nu există accelerație, deci Δx = v_xt = v_x√(2h/g) = 0,536 v_x, cu Δx în metri când v_x este în metri pe secundă. Înlocuind lansarea rapidă publicată, Δx = 0,536 × 2,4 = 1,286 m față de cei 1,295 m înregistrați. Înlocuind-o pe cea lentă, v_x = 0,100/0,079 = 1,27 m/s și Δx = 0,536 × 1,27 = 0,68 m.

Intervalul publicat este puțin prea mare, iar aceasta nu este direcția corectă. Modelul indică o valoare de 1,286 m pentru o viteză de lansare de 2,4 m/s, iar pagina menționează 1,295 m, adică o diferență de 9 mm. Două dintre cele trei efecte fizice care intervin aici pot doar scurtează o distanță: frecarea dintre senzori și capătul șinei face ca bila să plece mai încet decât timpul cronometrat, iar rezistența aerului o încetinește în zbor. Rezistența aerului este cu adevărat neglijabilă — pentru o bilă de oțel de 16 mm, ½ρC_dAv² la 2,4 m/s este de aproximativ 3 × 10⁻⁴ N împotriva unei greutăți de 0,16 N, ceea ce duce la o decelerare orizontală de aproximativ 0,02 m/s² și la o scurtare de doar aproximativ 3 mm — însă semnul acesteia este invers față de ceea ce se observă. Excesul trebuie să provină din altă parte: cel mai probabil din înălțimea de cădere, deoarece h apare sub formă de rădăcină pătrată, iar o distanță suplimentară de 9 mm corespunde valorii h = 1,427 m, cu exact 21 mm mai mult decât valoarea înregistrată, ceea ce reprezintă aproximativ raza unei bile plus adâncimea craterului de aterizare în nisip. Măsurarea lui h de la centrul mingii la marginea șinei până la suprafața nisipului, în loc de la șină până la podea, ar rezolva problema. Având în vedere că a fost publicat un singur punct, discrepanța se încadrează totuși în limita de ±0,06 m permisă de cronometru, așa că merită investigată doar dacă același exces apare la toate cele opt lansări — caz în care este sistematică și înălțimea este cea care trebuie măsurată din nou.

Rezumatul temei pe intervale de note

Clasele a IX-a și a X-a

Concentrare: observând modelul și înregistrându-l corespunzător. Elevii instalează senzorii, măsoară înălțimea șinei și distanța dintre senzori, apoi efectuează toate cele opt lansări, notând de fiecare dată intervalul și distanța parcursă. Ei convertesc fiecare interval în viteză, împărțind 0,100 m la acesta, și reprezintă grafic, manual, relația dintre distanța parcursă și viteză. Concluziile așteptate sunt că o lansare mai rapidă parcurge o distanță mai mare în proporție directă — dublarea vitezei dublează distanța — și că graficul trece prin originea coordonatelor, deoarece o minge lansată fără viteză aterizează la baza șinei. Vocabular: proiectil, viteză de lansare, distanță, timp de zbor, proporțional.

Clasa a XI-a

Concentrare: derivarea și experimentul cantitativ. Elevii deduc t = √(2h/g) din mișcarea verticală, combinând-o cu mișcarea orizontală pentru a obține Δx = v_x√(2h/g) și calculează constanta pe baza înălțimii măsurate: 0,536 s pentru h = 1,406 m. Apoi compară acea pantă prevăzută cu panta propriului grafic, ceea ce reprezintă mai degrabă un test real decât o potrivire, deoarece cele două provin din măsurători complet independente — una cu o riglă, cealaltă cu un cronometru și o ruletă. Orice discrepanță sistematică dintre ele este un rezultat care merită discutat, iar semnul acesteia este informativ.

Clasa a XII-a / Nivel universitar

Concentrare: modelul proiectilului pe întreaga rază de acțiune a lansatorului. Studenții deduc că Δx = v_x√(2h/g), să se estimeze raza de acțiune pentru fiecare viteză de lansare și să se verifice acuratețea estimării în comparație cu razele de acțiune măsurate în intervalul de funcționare al lansatorului. Exercițiul final constă în estimarea explicită a rezistenței aerodinamice asupra bilei (o scurtare de aproximativ 3 mm la 2,4 m/s pentru o sferă de oțel de 16 mm) și în explicarea motivului pentru care cele două lansări publicate aterizează exact acolo unde modelul prevede că ar trebui să aterizeze.

Esențiale de laborator

Instrumente

• Lansator electric de mingi, cu setări de intensitate de la 1 la 8
• Șină de lansare cu doi senzori cu fotodiodă (distanță de 0,100 m între ei)
• Sferă metalică
• Zonă de aterizare
• Riglă de 50 cm
• Ruletă (2 m)

Produse

Niciunul — acest laborator nu folosește reactivi chimici.