083 – L'energia meccanica di un oggetto in movimento

Un pendolo in movimento è la dimostrazione più evidente in fisica che l'energia può cambiare forma senza variare in quantità. È anche, storicamente, una delle più importanti: la costanza del moto di un pendolo ha dato al mondo i suoi primi orologi accurati, ha mantenuto questo ruolo per quasi tre secoli ed è tuttora utilizzata per misurare la gravità locale con precisione sufficiente a mappare la densità della roccia sotto un sito di rilevamento. Lo stesso principio governa un bambino sull'altalena, una palla da demolizione, uno skateboard in un half-pipe e lo smorzatore sospeso che stabilizza un edificio alto nel vento.

L'energia meccanica di un oggetto è la somma della sua energia potenziale gravitazionale, E_p = m g h, e la sua energia cinetica, E_k = ½ m v². Quando non agisce alcun attrito, tale somma si conserva: ciò che una forma perde, l'altra lo guadagna, istante per istante. Un pendolo rende visibile questo scambio perché separa le due forme nello spazio. Alle estremità dell'oscillazione la massa è momentaneamente in quiete nel suo punto più alto, per cui l'energia è interamente potenziale; nel punto più basso dell'arco la massa si trova nella posizione inferiore e si muove alla massima velocità, per cui l'energia è interamente cinetica. Ogni posizione intermedia racchiude una combinazione il cui totale è sempre lo stesso.

In questo laboratorio sospenderai una massa di 50 g da un'asta rigida su un sostegno universale, la scosterai di 15° dalla verticale e misurerai l'altezza a cui è stata sollevata rispetto alla posizione di riposo. Rilasciandola, cronometrerai cinque oscillazioni complete. Ripeterai quindi l'intera procedura a 30°. Dalle due altezze calcolerai l'energia potenziale immagazzinata all'inizio di ciascuna oscillazione e, dalla conservazione dell'energia meccanica, dedurrai la velocità che la massa raggiunge nel punto più basso della sua traiettoria, una velocità che l'apparecchio non misura mai direttamente, ma che il bilancio energetico fornisce senza alcuna necessità di farlo.

Obiettivi Educativi

Familiarizzazione con l'ambiente di laboratorio

• Assemblare un pendolo su un supporto universale, regolando l'altezza del morsetto in modo che la massa oscilli liberamente rispetto al tavolo a una distanza nota.
• Identificare la posizione di riposo della massa come livello di riferimento rispetto al quale viene misurata ogni altezza nell'esperimento.

Misurazione accurata di lunghezza, angolo e tempo

• Imposta un angolo di rilascio rispetto alla verticale e misura un'altezza sopra il tavolo con un righello, registrando entrambi con la precisione consentita dallo strumento.
• Cronometra cinque oscillazioni complete anziché una, e spiega perché cronometrarne diverse e dividere dà un periodo migliore rispetto a cronometrarne una sola.

Calcolo dell'energia potenziale gravitazionale

• Convertire le masse in chilogrammi e le altezze in metri prima di sostituire, e calcolare E_p = m g h con il procedimento illustrato.
• Spiega perché solo il cambia perché l'altezza è importante e perché la scelta del livello di riferimento non influisce sul risultato.

Applicazione della conservazione dell'energia meccanica

• Indicare che E_p + E_k è costante in assenza di attrito, e individuare i due punti dell’oscillazione in cui uno dei due termini è pari a zero.
• Ricava la velocità massima da ½ m v²² = m g h, e dimostrare che la massa si elimina dal risultato.

Mettere in relazione l'angolo di rilascio con l'energia

• Esprimere l'altezza raggiunta in funzione dell'angolo di rilascio con la formula h = L (1 − cos θ) e utilizzarla per calcolare la lunghezza del pendolo a partire dalle altezze misurate.
• Spiega perché raddoppiando l'angolo di rilascio l'energia immagazzinata quasi quadruplica, mentre la velocità massima raddoppia soltanto.

Controllo del modello

• Calcolare il periodo a partire da T = 2π√(L/g), confrontarlo con il tempo misurato per cinque oscillazioni e indicare cosa si evince da tale confronto.
• Spiega cosa farebbe un vero pendolo nel corso di molte oscillazioni che questo non fa, e dove andrebbe a finire l'energia.

Protocollo

1. Appendi un morsetto al supporto universale; il più in alto possibile.
2. Appendi un goniometro al piede del supporto universale.
3. Sospendere un'asta rigida mobile dal morsetto. Lasciare una distanza di almeno 20 cm tra la massa del pendolo e il tavolo.
4. Appendi una massa di piombo da 50g all'asta rigida.
5. Usando le frecce rosse situate su ciascun lato della parte superiore dell'asta rigida; posizionare il pendolo con un'angolazione di 15° rispetto alla verticale.
6. Misura l'altezza iniziale della massa del pendolo rispetto al tavolo usando i righelli da 50 cm (prendi la misura dalla parte superiore della massa).
7. Utilizza il cronometro per misurare il tempo necessario al pendolo per completare 5 oscillazioni complete (avanti e indietro).
8. Attiva il pulsante Start sul cronometro, che rilascerà il pendolo.
9. Quando sono state completate 5 oscillazioni ( avanti e indietro ), ferma il cronometro.
10. L'altezza finale, quando il pendolo raggiungerà l'altro estremo della sua traiettoria, sarà identica all'altezza iniziale (già misurata al punto 6).

I risultati, tempi di oscillazione e misure di altezza, saranno registrati nella tabella dei risultati.

11. Ripristina il cronometro.
12. Ripeti i passaggi da 5 a 10 ponendo il pendolo con un'inclinazione di 30° rispetto alla verticale.
13. Verificare i dati raccolti nella tabella dei risultati.

Risultati Previsti

Le misurazioni. La massa è pari a 50 g = 0,050 kg e g è pari a 9,8 N/kg. La posizione di riposo della massa si trova a 20,0 cm sopra il tavolo, e tale livello costituisce il riferimento per tutte le altezze inferiori.

Energia potenziale al momento del rilascio. Poiché il corpo è momentaneamente a riposo, tutta la sua energia meccanica è potenziale:

E_p = m g h

A 15°: E_p = 0,050 kg × 9,8 N/kg × 0,026 m = 0,013 J.
A 30°: E_p = 0,050 kg × 9,8 N/kg × 0,100 m = 0,049 J.

Velocità massima nella parte inferiore dell'oscillazione. Nel punto più basso la massa è tornata alla sua altezza di riposo, quindi la sua energia potenziale rispetto a quel livello è zero e l'intera energia meccanica è diventata cinetica. Uguagliando le due,

½ m v² = m g h → v = √(2 g h)

La massa compare su entrambi i lati e si semplifica, il che è la riga in assoluto più istruttiva di questa pagina: la velocità sul fondo non dipende affatto dalla massa. Una massa da 50 g e una da 500 g rilasciate dalla stessa altezza arrivano in fondo muovendosi esattamente alla stessa velocità, poiché quella più pesante immagazzina dieci volte l'energia ma ne richiede anche dieci volte tanto per raggiungere una data velocità. Sostituendo,

A 15°: v = √(2 × 9,8 × 0,026) = √0,5096 = 0,71 m/s.
A 30°: v = √(2 × 9,8 × 0,100) = √1,96 = 1,4 m/s.

Le stesse risposte derivano da v = √(2E_kutilizzando le energie di cui sopra, come devono; la seconda via è più rapida e mostra direttamente l'indipendenza dalla massa.

Perché raddoppiando l'angolo non si raddoppia l'energia. La geometria dell'altalena fornisce l'innalzamento come h = L (1 − cos θ). Poiché 1 − cos θ ≈ θ²/2 per angoli piccoli misurati in radianti, l'altezza — e quindi l'energia — cresce con il quadrato dell'angolo di rilascio, mentre la velocità, essendo la radice quadrata dell'energia, cresce in proporzione diretta ad essa. I dati lo confermano esattamente: l'energia sale da 0,013 J a 0,049 J, un fattore di 3,8 dove θ² prevede 4,0 e la velocità sale da 0,71 a 1,4 m/s, un fattore di 1,97 dove la previsione è 2,0. Uno studente che si aspetta che il doppio dell'angolo dia il doppio dell'energia si sbaglierà di un fattore due, e il motivo vale la pena di essere spiegato chiaramente anziché semplicemente corretto.

A cosa serve la misurazione del tempo. Il protocollo prevede di cronometrare cinque oscillazioni complete a ciascun angolo, e questa è la parte dell'esperimento che il calcolo precedente non tocca mai. Il suo scopo è testare un'affermazione separata e molto meno ovvia: che il periodo di un pendolo non dipende da quanto lontano viene fatto oscillare. Per piccole ampiezze,

T = 2π √(L / g)

che non contiene né la massa né l'ampiezza. Con la lunghezza di 0,75 m implicata dalle misurazioni dell'altezza, T = 2π √(0,75 / 9,8) = 2π × 0,277 = 1,74 s, quindi cinque oscillazioni dovrebbero richiedere circa 8,7 s — e, cosa fondamentale, circa gli stessi 8,7 s a entrambi gli angoli di rilascio, anche se l’oscillazione a 30° trasporta un’energia quasi quattro volte superiore e viaggia a una velocità doppia. L’ampiezza ha effettivamente un effetto minimo, dato in primo ordine da T ≈ T₀ (1 + θ²/16), che aggiunge 0,4 % a 15° e 1,7 % a 30°; cinque oscillazioni dovrebbero quindi richiedere all’incirca 8,73 s e 8,84 s, con una differenza di circa un decimo di secondo.

Un sistema la cui energia può essere quadruplicata senza modificarne il periodo è la definizione stessa di oscillatore armonico, ed è proprio questa proprietà — non la precisione di fabbricazione — ad aver reso possibile la realizzazione dell’orologio a pendolo: un orologio il cui scappamento permette al movimento del pendolo di attenuarsi leggermente mantiene comunque lo stesso tempo.

Riepilogo del compito per intervallo di voti

Classe 9-10

Concentrazione: l'osservazione dello scambio tra le due forme di energia e la misurazione delle grandezze che lo descrivono.

• Assemblare il pendolo, impostare l'angolo di rilascio a 15° e misurare l'altezza della massa sopra il tavolo al momento del rilascio e a riposo; calcolare l'altezza raggiunta.
• Descrivi a parole in quale punto dell'oscillazione la massa raggiunge il valore massimo, in quale punto raggiunge la velocità massima e in quale punto, per un istante, rimane completamente ferma.
• Calcolare l'energia potenziale al momento del rilascio da E_p = m g h, convertendo i grammi in chilogrammi e i centimetri in metri prima di sostituirli.
• Cronometra cinque oscillazioni e dividi per cinque per ottenere il periodo; ripeti a 30° e indica se il periodo è cambiato.

Undicesimo anno

Concentrazione: utilizzando il principio di conservazione dell'energia meccanica per ottenere una grandezza che l'apparecchio non misura mai.

• Esponi il principio di conservazione dell'energia meccanica e individua il punto dell'oscillazione in cui E_p = 0 e il punto in cui E_k = 0.
• Calcola la velocità massima a entrambi gli angoli da ½ m v² = m g h, mostrando la sostituzione completa una volta.
• Mostra algebricamente che la massa si elide e prevedi cosa accadrebbe alla velocità e all'energia se la massa di 50 g fosse sostituita da una massa di 100 g.
• Usa h = L (1 − cos θ) per calcolare la lunghezza del pendolo da ciascuna lettura dell'altezza e commenta se le due concordano.
• Calcola il rapporto delle energie e delle velocità tra i due angoli, e spiega perché un rapporto è circa quattro e l'altro circa due.
• Calcola il periodo da T = 2π√(L/g) e confrontalo con il tempo misurato per cinque oscillazioni.

12ª classe / Livello universitario

Concentrazione: derivazione e il modello del pendolo.

• Ricava v = √(2gh) dalla conservazione dell'energia meccanica e h = L (1 − cos θ), e ottieni la velocità massima in funzione del solo angolo di rilascio per una data lunghezza.
• Ricava T = 2π√(L/g) dall'approssimazione per piccoli angoli dell'equazione del moto, specificando esplicitamente dove si usa sin θ ≈ θ e quanto è grande l'errore risultante a 30°.
• Applica la correzione di ampiezza del primo ordine T ≈ T₀(1 + θ²e determinare se la differenza prevista tra i due angoli sia rilevabile con il metodo di temporizzazione utilizzato.
• Discutere di come la massa propria e il momento d'inerzia dell'asta modifichino il periodo, e scrivere l'espressione del pendolo fisico T = 2π√(I / m g d) che sostituisce la formula semplice.
• Stimare l'energia che un pendolo reale perderebbe a causa della resistenza dell'aria e dell'attrito del perno in cinque oscillazioni, e descrivere come il decadimento dell'ampiezza potrebbe essere misurato e utilizzato per quantificarla.

Materiale essenziale di laboratorio

Strumenti

• Supporto universale
• Morsetto
• Asta mobile rigida (braccio del pendolo)
• Massa di piombo (50 g)
• Goniometro
• Righelli (50 cm) × 2
• Cronometro / timer

Prodotti

• Nessuno — questo laboratorio non utilizza alcun reagente chimico.