083 – L'energia mecànica d’un objecte en moviment

Un pèndol oscil·lant és la demostració més clara en física que l'energia pot canviar de forma sense alterar-ne la quantitat. Històricament, també és una de les més conseqüents: la constància de l'oscil·lació d'un pèndol va proporcionar al món els primers rellotges precisos, va mantenir aquest paper durant gairebé tres segles i encara s'utilitza per mesurar la gravetat local amb prou precisió per cartografiar la densitat de la roca sota un lloc d'estudi. El mateix principi regeix un infant en un gronxador, una bola de derribo, un monopatí en un mig tub i l'amortidor suspès que estabilitza un edifici alt amb el vent.

L'energia mecànica d'un objecte és la suma de la seva energia potencial gravitatòria, E_p = m g h, i la seva energia cinètica, E_k = ½ m v². Quan no hi actua cap fricció, aquesta suma es conserva: tot allò que perd una forma, ho guanya l'altra, instant rere instant. Un pèndol fa visible l'intercanvi perquè separa les dues formes en l'espai. Als extrems del gronxament, la massa es troba momentàniament en repòs en el seu punt més alt, de manera que l'energia és íntegrament potencial; al fons de l'arc, la massa es troba en el seu punt més baix i es mou a la màxima velocitat, de manera que l'energia és íntegrament cinètica. Cada posició intermèdia conté una barreja el total de la qual és sempre el mateix.

En aquest laboratori suspendreu una massa de 50 g d'una barra rígida en un suport universal, la apartareu 15° de la vertical i mesurareu l'altura a la qual s'ha elevat per damunt de la seva posició de repòs. En deixar-la anar, cronometrareu cinc oscil·lacions completes. Després repeu tot el procediment a 30°. A partir de les dues altures calculareu l'energia potencial emmagatzemada a l'inici de cada oscil·lació, i a partir de la conservació de l'energia mecànica deduireu la velocitat que la massa assoleix al fons del seu arc —una velocitat que l'aparell no mesura mai directament, però que la comptabilitat energètica dona sense necessitat de fer-ho.

Objectius educatius

Familiarització amb l'entorn del laboratori

• Munta un pèndol en un suport universal, ajustant l'alçada de la pinça de manera que la massa oscil·li lliurament per damunt de la taula a una distància coneguda.
• Identifiqueu la posició de repòs de la massa com el nivell de referència a partir del qual es mesura cada altura de l'experiment.

Mesura acurada de la longitud, l'angle i el temps

• Establiu un angle de lliurament respecte a la vertical i llegiu una altura per damunt de la taula amb un regle, registrant ambdós amb la precisió que l'instrument permeti.
• Cronometra cinc oscil·lacions completes en lloc d'una, i explica per què cronometrar-ne diverses i dividir dóna un període millor que cronometrar-ne una.

Càlcul de l'energia potencial gravitatòria

• Convertiu les masses en quilograms i les alçades en metres abans de substituir, i calculeu E_p = m g h amb el procediment detallat.
• Explica per què només el canviar en l'alçada importa, i per què l'elecció del nivell de referència no afecta el resultat.

Aplicant la conservació de l'energia mecànica

• Estat que E_p + E_k és constant en absència de fricció, i identifiqueu els dos punts del gronxament on un terme és zero.
• Dedueix la velocitat màxima a partir de ½ m v²² = m g h, i demostreu que la massa s'anul·la del resultat.

Relacionant l'angle de lllançament amb l'energia

• Relacioneu l'alçada augmentada amb l'angle d'alliberament mitjançant h = L (1 − cos θ), i utilitzeu-la per trobar la longitud del pèndol a partir de les alçades mesurades.
• Explicació de per què doblar l'angle d'alliberament gairebé quadruplica l'energia emmagatzemada però només duplica la velocitat màxima: 1. **Energia potencial (energia emmagatzemada):** Per a un pèndol o un sistema oscil·lant, l'energia potencial emmagatzemada depèn de l'alçada a la qual s'eleva la massa. L'alçada $h$ ve donada per la longitud del pèndol $L$ i l'angle $\theta$ segons la fórmula: $h = L(1 - \cos\theta)$. Quan l'angle és petit, s'aproxima a la relació trigonomètrica $\cos\theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}$, la qual cosa significa que l'energia potencial és proporcional a $\theta^2$ (el quadrat de l'angle). Per tant, si es duplica l'angle $\theta$, el quadrat augmenta un factor de $2^2 = 4$, quadruplicant aproximadament l'energia emmagatzemada. 2. **Velocitat màxima:** Per la conservació de l'energia, tota l'energia potencial emmagatzemada es converteix en energia cinètica al punt més baix del swing ($E_k = \frac{1}{2}mv^2$). Com que l'energia total és proporcional a $\theta^2$, i l'energia cinètica és proporcional al quadrat de la velocitat ($v^2$), tenim que $v^2 \propto \theta^2$. Arranjant l'equació, la velocitat màxima $v$ és directament proporcional a l'angle $\theta$ ($v \propto \theta$). Per tant, si es duplica l'angle, la velocitat màxima només es duplica.

Comprovant el model

• Preicveu el període a partir de T = 2π√(L/g), compareu-lo amb el temps mesurat per a cinc oscil·lacions i indiqueu què estableix la comparació.
• Expliqueu què faria un pèndol real al llarg de moltes oscil·lacions que aquest no fa, i on aniria a parar l'energia.

Protocol

1. Penja una pinça del suport universal; el més alt possible.
2. Penja un transportador al peu del suport universal.
3. Penja una vareta rígida i mòbil de la pinça. Deixa una distància mínima de 20 cm entre la massa del pèndol i la taula.
4. Penja una massa de plom de 50 g de la vareta rígida.
5. Utilitzant les fletxes vermelles situades a cada costat de la part superior de la vareta rígida; col·loqueu el pèndol en un angle de 15° respecte a la vertical.
6. Mesura l'alçada inicial de la massa del pèndol respecte a la taula utilitzant les regles de 50 cm (pren la mesura des de la part superior de la massa).
7. Utilitza el cronòmetre per mesurar el temps necessari perquè el pèndol faci 5 oscil·lacions completes (d'anada i tornada).
8. Activa el botó d'inici del cronòmetre, que alliberarà el pèndul.
9. Quan s'hagin completat 5 oscil·lacions (anada i tornada), aturi el cronòmetre.
10. L'alçada final quan el pèndol arribi a l'altre extrem del seu recorregut serà idèntica a l'alçada inicial (ja mesurada al pas 6).

Els resultats, el temps d'oscil·lació i les mesures d'alçada, es registraran a la taula de resultats.

11. Reinicia el cronòmetre.
12. Repetiu els passos 5 a 10 col·locant el pèndol en un angle de 30° respecte a la vertical.
13. Verifica les dades recollides a la taula de resultats.

Resultats previstos

Les mides. La massa és de 50 g = 0,050 kg i es considera que g és 9,8 N/kg. La posició de repòs de la massa es troba 20,0 cm per damunt de la taula, i aquest és el nivell de referència per a qualsevol altura inferior.

Energia potencial en el moment del llançament. Amb la massa momentàniament en repòs, tota la seva energia mecànica és potencial:

E_p = m g h

A 15°: E_p = 0,050 kg × 9,8 N/kg × 0,026 m = 0,013 J.
A 30°: E_p = 0,050 kg × 9,8 N/kg × 0,100 m = 0,049 J.

Velocitat màxima al punt més baix del gronxador. En el punt més baix, la massa ha retornat a la seva altura de repòs, de manera que la seva energia potencial respecte a aquell nivell és zero i tota l'energia mecànica s'ha convertit en cinètica. Igualant les dues,

½ m v² = m g h → v = √(2 g h)

La massa apareix a ambdós costats i s'anul·la, la qual cosa és la línia més instructiva de tota aquesta pàgina: la velocitat al fons no depèn gens de la massa. Una massa de 50 g i una massa de 500 g alliberades des de la mateixa altura arriben al fons viatjant exactament a la mateixa velocitat, perquè la més pesada emmagatzema deu vegades més energia però també en necessita deu vegades més per assolir qualsevol velocitat donada. Substituint,

A 15°: v = √(2 × 9,8 × 0,026) = √0,5096 = 0,71 m/s.
A 30°: v = √(2 × 9,8 × 0,100) = √1,96 = 1,4 m/s.

Les mateixes respostes es dedueixen de v = √(2E_k/m) utilitzant les energies anteriors, tal com han de fer; la segona ruta és més ràpida i mostra la independència de la massa directament.

Per què doblar l'angle no duplica l'energia. La geometria del gronxador dona l'alçada com h = L (1 − cos θ). Com que 1 − cos θ ≈ θ²per a petits angles mesurats en radians, l'alçada — i per tant l'energia — creix amb el quadrat de l'angle de llançament, mentre que la velocitat, sent l'arrel quadrada de l'energia, creix en proporció directa a aquesta. Les dades ho confirmen exactament: l'energia augmenta de 0,013 J a 0,049 J, un factor de 3,8 on θ² prediu 4,0, i la velocitat augmenta de 0,71 a 1,4 m/s, un factor de 1,97 on la predicció és 2,0. Un estudiant que espera que el doble de l'angle doni el doble de l'energia s'equivocarà per un factor de dos, i val la pena explicar el motiu en lloc de limitar-se a corregir-ho.

Per a què serveix el mesurament del temps. El protocol us obliga a cronometrar cinc oscil·lacions completes a cada angle, i aquesta és la part de l'experiment que el càlcul anterior no toca mai. El seu propòsit és comprovar una afirmació separada i molt menys evident: que el període d'un pèndol no depèn de fins a quin punt es gronxa. Per a petites amplituds,

T = 2π √(L / g)

que no conté ni la massa ni l'amplitud. Amb la longitud de 0,75 m implícita en les mesures d'alçada, T = 2π √(0,75 / 9,8) = 2π × 0,277 = 1,74 s, per tant, cinc oscil·lacions haurien de durar aproximadament 8,7 s — i, cosa fonamental, gairebé els mateixos 8,7 s en ambdós angles de lliberació, tot i que el gronxament a 30° transporta gairebé quatre vegades l'energia i viatja al doble de velocitat. L'amplitud té un petit efecte, donat a primer ordre per T ≈ T₀ (1 + θ²/16), que afegeix 0,4 % a 15 ° i 1,7 % a 30 °; cinc oscil·lacions haurien de trigar aproximadament 8,73 s i 8,84 s, una diferència d'uns deuèns de segon.

Un sistema l'energia del qual es pot quadruplicar sense canviar-ne el període és la definició d'un oscil·lador harmònic, i aquesta propietat —i no la precisió de fabricació— és el que va fer possible el rellotge de pèndol: un rellotge l'escapament del qual deixa que l'oscil·lació minvi una mica manté la mateixa hora independentment.

Resum de tasques per rang de qualificació

De 9è a 10è grau

Enfocament observant l'intercanvi entre les dues formes d'energia i mesurant les quantitats que el descriuen.

• Munteu el pèndol, configureu l'angle de l'alliberament a 15° i mesureu l'alçada de la massa per damunt de la taula en el moment de l'alliberament i en repòs; calculeu-ne l'ascens.
• El mass és més alt en els punts extrems del gronxador, és més ràpid en el punt més baix de la trajectòria, i està momentàniament aturat en els punts extrems del gronxador.
• Calculeu l'energia potencial en el moment del llançament des de E_p = m g h, convertint els grams a quilograms i els centímetres a metres abans de substituir.
• Cronometreu cinc oscil·lacions i dividiu-les per cinc per obtenir el període; repetiu-ho a 30° i indiqueu si el període ha canviat.

11è curs

Enfocament utilitzant la conservació de l'energia mecànica per obtenir una quantitat que l'aparell mai mesura.

• Formuleu la conservació de l'energia mecànica i identifiqueu el punt del gronxador on E_p = 0 i el punt on E_k = 0.
• Calculeu la velocitat màxima a ambdós angles a partir de ½ m v² = m g h, mostrant la substitució completa una vegada.
• Demostreu algebraicament que la massa s'anul·la, i prediu què passaria amb la velocitat i amb l'energia si la massa de 50 g es reemplacés per una massa de 100 g.
• Utilitzeu h = L (1 − cos θ) per calcular la longitud del pèndol a partir de cada lectura d'altura, i feu un comentari sobre si les dues coincideixen.
• Calculeu la relació de les energies i de les velocitats entre els dos angles, i expliqueu per què una relació és d'aproximadament quatre i l'altra d'aproximadament dos.
• Preneu el període a partir de T = 2π√(L/g) i compareu-lo amb el temps mesurat per a cinc oscil·lacions.

12è curs / Nivell universitari

Enfocament la derivació i el model del pèndol.

• Obteniu v = √(2gh) a partir de la conservació de l'energia mecànica i h = L (1 − cos θ), i obteniu la velocitat màxima en funció només de l'angle d'alliberament per a una longitud donada.
• Derivació de $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ a partir de l'aproximació d'angles petits per a l'equació del moviment: L'equació del moviment per a un pèndol simple de longitud $L$ i massa $m$ es deriva de la torca respecte al punt de suspensió: $$\tau = -mLg \sin\theta$$ Utilitzant la segona llei de Newton per a la rotació ($\tau = I\alpha$, on $ I = mL^2$ és el moment d'inèrcia i $\alpha = \frac{d^2\theta}{dt^2}$ és l'acceleració angular): $$mL^2 \frac{d^2\theta}{dt^2} = -mLg \sin\theta$$ Simplificant la massa $mL$ de tots dos costats, obtenim l'equació diferencial del pèndol: $$\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L} \sin\theta = 0$$ **On s'utilitza $\sin\theta \approx \theta$:** Fem servir l'aproximació d'angles petits $\sin\theta \approx \theta$ (en radians) per a angles petits ($\theta \ll 1$) directament a l'equació diferencial: $$\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L} \theta = 0$$ Aquesta és l'equació diferencial d'un moviment harmònic simple de la forma $\frac{d^2\theta}{dt^2} + \omega^2\theta = 0$, on la freqüència angular $\omega$ és: $$\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$$ Com que el període $T$ està relacionat amb la freqüència angular per $T = \frac{2\pi}{\omega}$, substituïm $\omega$: $$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$$ **Error a $30^\circ$:** Per calcular l'error relatiu comès en utilitzar l'aproximació $\sin\theta \approx \theta$ a $\theta = 30^\circ$ ($\pi/6$ rad $\approx 0,5236$ rad): * Valor real: $\sin(30^\circ) = 0,5$ * Valor aproximat: $\theta = 0,5236$ L'error percentual és: $$\text{Error} = \left| \frac{\sin(30^\circ) - \frac{\pi}{6}}{\sin(30^\circ)} \right| \times 100\% = \left| \frac{0,5 - 0,5236}{0,5} \right| \times 100\% \approx 4,72\%$$ L'error resultant a $30^\circ$ és aproximadament del $4,72\%$.
• Apliqueu la correcció d'amplitud de primer ordre $T \approx T$₀(1 + θ²/16) i determinar si la diferència predita entre els dos angles és detectable amb el mètode de temporització utilitzat.
• Discutiu com la pròpia massa i el moment d'inèrcia de la barra modifiquen el període, i escriviu l'expressió del pèndol físic $T = 2\pi\sqrt{I / m g d}$ que reemplaça la fórmula simple.
• Calculeu l'energia que un pèndol real perdria a causa de la resistència de l'aire i la fricció del pivot al llarg de cinc oscil·lacions, i descriviu com es podria mesurar i utilitzar la disminució de l'amplitud per quantificar-la.

Equipament de laboratori

Instruments

• Suport universal
• Pinça
• Barra mòbil rígida (braç del pèndol)
• Massa de plom (50 g)
• Transportador d'angles
• Regles (50 cm) × 2
• Cronòmetre / temporitzador

Productes

• Cap — aquest laboratori no utilitza cap reactiu químic.