083 – Mechanická energie pohybujícího se objektu

Kyvadlo je nejjasnějším důkazem ve fyzice, že energie může změnit svou formu, aniž by se změnilo její množství. Historicky je také jedním z nejvýznamnějších: stálost kyvu kyvadla dala světu první přesné hodiny, tuto roli si udržela téměř tři století a dodnes se používá k měření místní gravitace s dostatečnou přesností k mapování hustoty hornin pod místem měření. Stejný princip řídí dítě na houpačce, demoliční kouli, skateboard v U-rampě a zavěšený tlumič, který stabilizuje vysokou budovu ve větru.

Mechanická energie předmětu je součtem jeho gravitační potenciální energie, E_p = m g h, a jeho kinetická energie, E_k = ½ m v². Když nepůsobí žádné tření, tento součet se zachovává: o co jedna forma přichází, to druhá okamžitě získává. Kyvadlo tuto výměnu zviditelňuje, protože obě formy odděluje v prostoru. V krajních bodech kmitu je hmotný bod v nejvyšším bodě na okamžik v klidu, takže energie je čistě potenciální; v nejnižším bodě oblouku je hmotný bod nejníže a pohybuje se nejrychleji, takže energie je čistě kinetická. Každá poloha mezi tím obsahuje směs, jejíž součet je vždy stejný.

V této laboratoři zavěsíte padesátigramové závaží na pevnou tyč na univerzálním stojanu, vychýlíte ho o 15° od svislého směru a změřite výšku, o kterou bylo zvednuto nad svou klidovou polohu. Po jeho uvolnění změřite dobu pěti úplných kmitů. Celý postup pak zopakujete při úhlu 30°. Z obou výšek vypočítáte potenciální energii uloženou na začátku každého kyvu a z zákona zachování mechanické energie odvodíte rychlost, které závaží dosáhne v nejnižším bodě své dráhy – rychlost, kterou aparatura nikdy přímo měří, ale kterou energetická bilance poskytuje zcela bez potřeby přímého měření.

Vzdělávací cíle

Seznámení s laboratorním prostředím

• Sestavte kyvadlo na univerzálním stojanu a nastavte výšku svorky tak, aby se závaží houpačkám vyhnulo stolu o známou vzdálenost.
• Jako vztažnou hladinu, od které se měří každá výška v pokusu, určete klidovou polohu závaží.

Pečlivé měření délky, úhlu a času

• Nastavte úhel uvolnění vzhledem k svislé ose a změřte výšku nad stolem pomocí pravidla, přičemž obě hodnoty zapište s přesností, kterou přístroj umožňuje.
• Změřte dobu pěti úplných kmitů namísto jednoho a vysvětlete, proč měření několika kmitů a jejich vydělení poskytuje lepší periodu než měření jednoho.

Výpočet gravitační potenciální energie

• Před dosazením převeďte hmotnosti na kilogramy a výšky na metry a spočítejte E_p = m g h s uvedeným postupem.
• Vysvětlete, proč pouze změnit Proč je výška důležitá a proč volba referenční úrovně nemá vliv na výsledek.

Uplatnění zákona zachování mechanické energie

• Uveďte, že E_p + E_k je při absenci tření konstantní a určete dva body v průběhu výkyvu, kde je jeden člen roven nule.
• Vypočítejte maximální rychlost z výrazu ½ m v² = m g h a ukažte, že se hmotnost ve výsledku vyruší.

Vztah mezi úhlem uvolnění a energií

• Vyjádřete vztah mezi výškou, do které se kyvadlo zvedlo, a úhlem uvolnění pomocí vzorce h = L (1 − cos θ) a na základě naměřených výšek pomocí tohoto vzorce vypočítejte délku kyvadla.
• Vysvětlete, proč zdvojnásobení úhlu odhodu téměř čtyřnásobně zvyšuje akumulovanou energii, ale maximální rychlost se tím zvýší pouze dvojnásobně.

Kontrola modelu

• Vypočítejte periodu z výrazu T = 2π√(L/g), porovnejte ji s naměřeným časem pěti kmitů a uveďte, co z tohoto porovnání vyplývá.
• Vysvětlete, jak by se skutečné kyvadlo chovalo při mnoha výkyvech jinak než toto a kam by se energie ztratila.

Protokol

1. Připevněte svorku k univerzálnímu držáku; co nejvýše.
2. Zavěste úhloměr na nohu univerzálního podstavce.
3. Zavěste pevnou pohyblivou tyč ze svorky. Nechte vzdálenost minimálně 20 cm mezi závažím kyvadla a stolem.
4. Zavěste 50g olověné závaží na pevnou tyč.
5. Pomocí červených šipek umístěných na obou stranách horní části pevné tyče nastavte kyvadlo do úhlu 15° vůči svislici.
6. Změřte počáteční výšku tělesa kyvadla vůči stolu pomocí 50cm pravítek (měřte od horní části tělesa).
7. Pomocí stopek změřte čas potřebný k vykonání 5 úplných kmitů kyvadla (tam a zpět).
8. Spusťte tlačítko Start na stopkách, které uvolní kyvadlo.
9. Až bude provedeno 5 kmitů (tam a zpět), zastavte stopek.
10. Koncová výška, při které kyvadlo dosáhne druhého konce své dráhy, bude stejná jako počáteční výška (již změřeno v kroku 6).

Výsledky, čas kmitu a měření výšky budou zaznamenány v tabulce výsledků.

11. Vynulovat stopky.
12. Zopakujte kroky 5 až 10 tak, že kyvadlo umístíte do úhlu 30° vůči svislici.
13. Ověřte data shromážděná v tabulce výsledků.

Předvídané výsledky

Měření. Hmotnost je 50 g = 0,050 kg a g se uvažuje 9,8 N/kg. Klidová poloha hmotnosti je 20,0 cm nad stolem a to je referenční úroveň pro každou výšku níže.

Potenciální energie v okamžiku uvolnění. Jelikož je těleso v daném okamžiku v klidu, veškerá jeho mechanická energie je potenciální:

E_p = m g h

Při 15°: E_p = 0,050 kg × 9,8 N/kg × 0,026 m = 0,013 J.
Při 30°: V_p = 0,050 kg × 9,8 N/kg × 0,100 m = 0,049 J.

Maximální rychlost ve spodní části švihu. V nejnižším bodě se těleso vrátilo do své klidové výšky, takže jeho potenciální energie vzhledem k této úrovni je nulová a celková mechanická energie se proměnila v kinetickou. Když obě energie položíme za rovny,

½ m v² = m g h → v = √(2 g h)

Hmotnost se objevuje na obou stranách a krátí se, což je vůbec nejpoučnější řádek na této stránce: rychlost dole nezávisí vůbec na hmotnosti. Závaží o hmotnosti 50 g a závaží o hmotnosti 500 g uvolněná ze stejné výšky dorazí dolů a pohybují se úplně stejnou rychlostí, protože to těžší akumuluje desetkrát více energie, ale také jí potřebuje desetkrát více k dosažení libovolné rychlosti. Dosazením,

Při 15°: v = √(2 × 9,8 × 0,026) = √0,5096 = 0,71 m/s.
Při 30°: v = √(2 × 9,8 × 0,100) = √1,96 = 1,4 m/s.

Z v = √(2E) vyplývají stejné odpovědi_k/m) s použitím výše uvedených energií, jak musí; druhá cesta je rychlejší a ukazuje nezávislost na hmotnosti přímo.

Pro zdvojnásobení úhlu se nezdvojnásobuje energie. Geometrie houpačky dává výšku jako h = L (1 − cos θ). Protože 1 − cos θ ≈ θ²pro malé úhly měřené v radiánech roste výška – a tedy i energie – s čtverec úha odrazového úhlu, zatímco rychlost, jež představuje druhou odmocninu energie, roste v přímé úměře k ní. Data to přesně potvrzují: energie vzroste z 0,013 J na 0,049 J, což je faktor 3,8, kde θ² předpovídá 4,0 a rychlost stoupá z 0,71 na 1,4 m/s, což je faktor 1,97, kde předpověď je 2,0. Student, který očekává, že dvojnásobný úhel poskytne dvojnásobnou energii, se mýlí o faktor dva, a tento důvod stojí za to spíše vysvětlit, než jen opravit.

K čemu slouží měření času. Podle protokolu máte změřit čas pěti úplných kmitů při každém úhlu, a to je ta část experimentu, které se výše uvedený výpočet vůbec netýká. Jeho účelem je prověřit jiné a mnohem méně očividné tvrzení: že perioda kyvadla nezávisí na tom, jak daleko je rozkmitáno. Pro malé amplitudy,

T = 2π √(L / g)

který neobsahuje ani hmotnost, ani amplitudu. S délkou 0,75 m vyplývající z měření výšky je T = 2π √(0,75 / 9,8) = 2π × 0,277 = 1,74 s, takže pět kmitů by mělo trvat přibližně 8,7 s — a, což je zásadní, přibližně stejných 8,7 s při obou úhlech uvolnění, přestože 30° kyv nese téměř čtyřnásobek energie a pohybuje se dvojnásobnou rychlostí. Amplituda má malý vliv, vyjádřený prvním řádem vztahem T ≈ T₀ (1 + θ²/16), což představuje nárůst o 0,4 % při 15° a o 1,7 % při 30°; pět kmitů by tedy mělo trvat přibližně 8,73 s a 8,84 s, což představuje rozdíl asi jedné desetiny sekundy.

Systém, jehož energii lze zčtyřnásobit bez změny jeho period, je definicí harmonického oscilátoru, a právě tato vlastnost – nikoliv přesnost výroby – umožnila vznik kyvadlových hodin: hodiny, jejichž krok nechá kyv trochu zeslábnout, jdou stále stejně bez ohledu na to.

Shrnutí úkolů podle věkové kategorie

9. až 10. ročník

Zaměření pozorování výměny mezi oběma formami energie a měření veličin, které ji popisují.

• Sestavte kyvadlo, nastavte úhel uvolnění na 15° a změřte výšku závaží nad stolem při uvolnění a v klidu; vypočítejte zdvih.
• Při houpání na houpačce se hmotnost (samotná houpačka) nachází nejvýše v krajních bodech (v úvratích) na obou koncích dráhy pohybu. Nejrychlejší je v nejnižším bodě (v dolní úvrati) uprostřed dráhy. Na zlomek sekundy se zastaví v okamžiku, kdy dosáhne nejvyššího bodu v každé krajní poloze, než se vydá zpět opačným směrem.
• Vypočítejte potenciální energii při uvolnění z bodu E_p = m g h, přičemž gramy je nutné před dosazením převést na kilogramy a centimetry na metry.
• Změřte čas pěti kmitů a vydělte pěti, abyste získali periodu; opakujte při 30° a uveďte, zda se perioda změnila.

11. ročník

Zaměření použití zákona zachování mechanické energie k získání veličiny, kterou přístroj nikdy měří.

• Uveďte zákon zachování mechanické energie a určete bod v kyvu, kde je E_p = 0 a bod, kde E_k = 0.
• Vypočítejte maximální rychlost při obou úhlech z ½ m v² = m g h, přičemž úplné dosazení se ukáže jednou.
• Algebraicky dokažte, že se hmotnost zkrátí, a předpovězte, co by se stalo s rychlostí a s energií, kdyby byla hmotnost 50 g nahrazena hmotností 100 g.
• Použijte vzorec h = L (1 − cos θ) k výpočtu délky kyvadla z každého naměřeného údaje o výšce a komentujte, zda se tyto dvě hodnoty shodují.
• Vypočítejte poměr energií a poměr rychlostí mezi těmito dvěma úhly a vysvětlete, proč je jeden poměr přibližně čtyři a druhý přibližně dva.
• Vypočítejte periodu ze vzorce T = 2π√(L/g) a porovnejte ji s naměřeným časem pro pět kmitů.

12. ročník / Úroveň college

Zaměření odvození a model kyvadla.

• Odvoďte v = √(2gh) ze zákona zachování mechanické energie a h = L (1 − cos θ) a získejte maximální rychlost jako funkci pouze úhlu uvolnění pro danou délku.
• Odvození T = 2π√(L/g) z aproximace pro malé úhly rovnice pohybu, s výslovným uvedením místa použití sin θ ≈ θ a velikosti vzniklé chyby při 30°.
• Aplikujte první řád korekce amplitudy T ≈ T₀(1 + θ²/16) a určete, zda je předpověděný rozdíl mezi oběma úhly detekovatelný použitou metodou měření času.
• Prodiskutujte, jak vlastní hmotnost a moment setrvačnosti tyče ovlivňují periodu, a napište výraz pro fyzické kyvadlo $T = 2\pi\sqrt{I / (m g d)}$, který nahrazuje jednoduchý vzorec.
• Odhadněte energii, kterou by reálné kyvadlo ztratilo odporu vzduchu a tření v závěsu během pěti kmitů, a popište, jak by úbytek amplitudy mohl být měřen a použit k její kvantifikaci.

Laboratorní potřeby

Nástroje

• Univerzální podpora
• Svorka
• Pevná pohyblivá tyč (rameno kyvadla)
• Olověné závaží (50 g)
• Úhloměr
• Pravítka (50 cm) × 2
• Stopky / časovač

Produkty

• Žádné — tato laboratoř nepoužívá žádná chemická činidla.