083 – Energia mecanică a unui obiect în mișcare

Un pendul în oscilație este cea mai clară demonstrație din fizică a faptului că energia își poate schimba forma fără a-și schimba cantitatea. Este, de asemenea, din punct de vedere istoric, una dintre cele mai importante: constanța oscilației unui pendul a oferit lumii primele ceasuri exacte, a deținut acest rol timp de aproape trei secole și este folosită și astăzi pentru a măsura gravitația locală cu suficientă precizie încât să poată cartografia densitatea rocilor de sub un sit de prospecțiune. Același principiu guvernează un copil într-un leagăn, o bilă de demolare, un skateboard într-un half-pipe și amortizorul suspendat care stabilizează o clădire înaltă în bătaia vântului.

Energia mecanică a unui obiect este suma dintre energia sa potențială gravitațională, E_p = m g h, și energia sa cinetică, E_k = ½ m v². Când nu acționează nicio frecare, acea sumă se conservă: tot ce pierde o formă câștigă cealaltă, clipă de clipă. Un pendul face schimbul vizibil deoarece separă cele două forme în spațiu. La capetele oscilației, masa este în repaus pentru o secundă în cel mai înalt punct, astfel încât energia este în întregime potențială; în cel mai de jos punct al arcului, masa se află în poziția cea mai joasă și se mișcă cel mai repede, astfel încât energia este în întregime cinetică. Fiecare poziție intermediară conține un amestec al cărui total este întotdeauna același.

În acest laborator veți suspenda o masă de 50 g de o tijă rigidă pe un suport universal, o veți îndepărta la 15° față de verticală și veți măsura înălțimea cu care a fost ridicată deasupra poziției sale de echilibru. Eliberând-o, veți cronometra cinci oscilații complete. Veți repeta apoi întreaga procedură la 30°. Din cele două înălțimi veți calcula energia potențială stocată la începutul fiecărei oscilații, iar din conservarea energiei mecanice veți deduce viteza pe care o atinge masa la baza arcului său — o viteză pe care aparatul nu o măsoară niciodată direct, dar pe care calculul energetic o furnizează fără a fi nevoie de acest lucru.

Obiective educaționale

Familiarizarea cu mediul de laborator

• Asamblați un pendul pe un suport universal, reglând înălțimea clemei astfel încât masa să oscileze la o distanță cunoscută deasupra mesei.
• Identificați poziția de repaus a masei ca nivel de referință față de care este măsurată fiecare înălțime din experiment.

Măsurarea atentă a lungimii, unghiului și timpului

• Setați un unghi de lansare față de verticală și citiți o înălțime deasupra mesei cu o riglă, înregistrând ambele valori cu precizia permisă de instrument.
• Măsoară durata a cinci oscilații complete în loc de una și explică de ce măsurarea mai multora și împărțirea oferă o perioadă mai bună decât măsurarea uneia singure.

Calcularea energiei potențiale gravitaționale

• Convertiți masele în kilograme și înălțimile în metri înainte de a le introduce în ecuație, apoi calculați E_p = m g h, conform schemei prezentate.
• Explicați de ce doar modificare în înălțime contează și de ce alegerea nivelului de referință nu afectează rezultatul.

Aplicarea principiului conservării energiei mecanice

• Precizați că E_p + E_k este constantă în absența frecării și identificați cele două puncte ale mișcării în care unul dintre termeni este egal cu zero.
• Calculați viteza maximă pornind de la ½ m v² = m g h, și arătați că masa se simplifică din rezultat.

Corelarea unghiului de lansare cu energia

• Corelați înălțimea ridicată cu unghiul de eliberare prin $h = L (1 - cos \theta)$ și folosiți-o pentru a găsi lungimea pendulului din înălțimile măsurate.
• Explicați de ce dublarea unghiului de eliberare aproape că quadruplează energia stocată, dar doar dublează viteza maximă.

Se verifică modelul

• Estimați perioada pornind de la T = 2π√(L/g), comparați-o cu timpul măsurat pentru cinci oscilații și precizați ce se poate deduce din această comparație.
• Explicați ce ar face un pendul real în urma mai multor oscilații, lucru pe care acesta nu îl face, și unde s-ar duce energia.

Protocol

1. Atașați o clemă de suportul universal; cât mai sus posibil.
2. Atașați un raportor pe piciorul suportului universal.
3. Suspendați o tijă rigidă mobilă de clește. Lăsați o distanță de cel puțin 20 cm între masa pendulului și masă.
4. Atașați o masă de plumb de 50g de tija rigidă.
5. Folosind săgețile roșii situate pe fiecare parte a părții superioare a tijei rigide; poziționați pendulul la un unghi de 15° față de verticală.
6. Măsurați înălțimea inițială a pendulului față de masă, utilizând riglele de 50 cm (luați măsura din partea de sus a masei).
7. Folosind cronometrul, măsoară timpul necesar pendulului pentru a efectua 5 oscilații complete (dus-întors).
8. Activați butonul Start de pe cronometru, care va elibera pendulul.
9. Când 5 oscilații (dus-întors) au fost completate, opriți cronometrul.
10. Înălțimea finală, când pendulul ajunge la celălalt capăt al traiectoriei sale, va fi identică cu înălțimea inițială (deja măsurată la pasul 6).

-> Rezultatele, timpul de oscilație și măsurătorile de înălțime, vor fi înregistrate în tabelul de rezultate.

11. Resetează cronometrul.
12. Repetați pașii 5 până la 10, așezând pendulul la un unghi de 30° față de verticală.
13. Verifică datele colectate în tabelul de rezultate.

Rezultate anticipate

Măsurătorile. Masa este de 50 g = 0,050 kg, iar valoarea lui g este considerată a fi de 9,8 N/kg. Poziția de repaus a masei se află la 20,0 cm deasupra mesei, iar aceasta reprezintă nivelul de referință pentru toate înălțimile situate sub acesta.

Energia potențială în momentul eliberării. Cu masa momentan în repaus, întreaga sa energie mecanică este potențială:

E_p = m g h

La 15°: E_p = 0,050 kg × 9,8 N/kg × 0,026 m = 0,013 J.
La 30°: E_p = 0,050 kg × 9,8 N/kg × 0,100 m = 0,049 J.

Viteza maximă în punctul cel mai de jos al mișcării de pendulare. În punctul cel mai de jos, masa a revenit la înălțimea sa de echilibru, astfel încât energia sa potențială în raport cu acel nivel este zero, iar întreaga energie mecanică a devenit cinetică. Egalându-le pe cele două,

½ m v² = m g h → v = √(2 g h)

Masa apare de ambele părți și se anulează, ceea ce reprezintă cea mai instructivă linie de pe această pagină: viteza de la bază nu depinde deloc de masă. O pendulă de 50 g și o pendulă de 500 g eliberate de la aceeași înălțime ajung la bază deplasându-se cu exact aceeași viteză, deoarece cea mai grea stochează de zece ori mai multă energie, dar are nevoie și de de zece ori mai multă pentru a atinge o anumită viteză. Înlocuind,

La 15°: v = √(2 × 9,8 × 0,026) = √0,5096 = 0,71 m/s.
La 30°: v = √(2 × 9,8 × 0,100) = √1,96 = 1,4 m/s.

Aceleași rezultate decurg din v = √(2E_k/m) folosind energiile de mai sus, așa cum trebuie; a doua rută este mai rapidă și arată independența de masă în mod direct.

De ce dublarea unghiului nu dublează energia. Geometria leagănului dă înălțimea ca h = L (1 − cos θ). Deoarece 1 − cos θ ≈ θ²/2 pentru unghiuri mici măsurate în radiani, înălțimea — și prin urmare energia — crește odată cu pătrat al unghiului de lansare, în timp ce viteza, fiind rădăcina pătrată a energiei, crește în proporție directă cu aceasta. Datele confirmă acest lucru exact: energia crește de la 0,013 J la 0,049 J, un factor de 3,8, unde θ² prezice 4,0, iar viteza crește de la 0,71 la 1,4 m/s, un factor de 1,97, unde predicția este 2,0. Un elev care se așteaptă ca dublarea unghiului să ofere dublul energiei va greși cu un factor de doi, iar motivul merită explicat în detaliu, nu doar corectat.

Pentru ce este măsurarea timpului. Protocolul vă cere să cronometrați cinci oscilații complete la fiecare unghi, iar aceasta este partea experimentului pe care calculul de mai sus nu o atinge niciodată. Scopul său este de a testa o afirmație separată și mult mai puțin evidentă: că perioada unui pendul nu depinde de cât de mult este balansat. Pentru amplitudini mici,

T = 2π √(L / g)

care nu conține nici masa, nici amplitudinea. Cu lungimea de 0,75 m implicată de măsurătorile înălțimii, T = 2π √(0,75 / 9,8) = 2π × 0,277 = 1,74 s, așa că cinci oscilații ar trebui să dureze aproximativ 8,7 s — și, cel mai important, de aproximativ același 8,7 s la ambele unghiuri de lansare, deși oscilația de 30° transportă aproape de patru ori mai multă energie și se deplasează cu o viteză dublă. Amplitudinea are totuși un efect mic, dat în primă aproximație de T ≈ T₀ (1 + θ²/16), care adaugă 0,4 % la 15° și 1,7 % la 30°; prin urmare, cinci oscilații ar trebui să dureze aproximativ 8,73 s și 8,84 s, o diferență de aproximativ o zecime de secundă.

Un sistem a cărui energie poate fi cvadruplicată fără a-i schimba perioada este definiția unui oscilator armonic, iar această proprietate — nu precizia de fabricație — este ceea ce a făcut posibil ceasul cu pendul: un ceas al cărui eșapament permite oscilației să scadă puțin păstrează aceeași oră, indiferent de circumstanțe.

Rezumatul temei pe intervale de note

Clasele a IX-a și a X-a

Concentrare: observând schimbul dintre cele două forme de energie și măsurând mărimile care îl descriu.

• Asamblați pendulul, setați unghiul de eliberare la 15° și măsurați înălțimea masei deasupra mesei la eliberare și în repaus; calculați creșterea.
• Masa este la cea mai mare înălțime la capetele mișcării de pendulare (la punctele de întoarcere), este cea mai rapidă în cel mai de jos punct al traiectoriei (la mijloc) și nu se mișcă deloc pentru o secundă la punctele extreme ale oscilației.
• Calculează energia potențială la eliberare din E_p = m g h, convertind gramele în kilograme și centimetrii în metri înainte de înlocuire.
• Măsurați timpul pentru cinci oscilații și împărțiți la cinci pentru a obține perioada; repetați la 30° și precizați dacă perioada s-a modificat.

Clasa a XI-a

Concentrare: folosirea conservării energiei mecanice pentru a obține o mărime pe care aparatul nu o măsoară niciodată.

• Formulați principiul conservării energiei mecanice și identificați punctul din timpul oscilației în care E_p = 0 și punctul în care E_k = 0.
• Calculează viteza maximă la ambele unghiuri din ½ m v² = m g h, arătând înlocuirea completă o singură dată.
• Demonstrați algebric că masa se simplifică și preziceți ce s-ar întâmpla cu viteza și cu energia dacă masa de 50 g ar fi înlocuită cu una de 100 g.
• Folosiți formula h = L (1 − cos θ) pentru a calcula lungimea pendulului din fiecare citire a înălțimii și comentați dacă cele două valori sunt în acord.
• Calculează raportul energiilor și al vitezelor între cele două unghiuri și explică de ce un raport este de aproximativ patru, iar celălalt de aproximativ doi.
• Calculează perioada din $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ și compară-o cu timpul măsurat pentru cinci oscilații.

Clasa a XII-a / Nivel universitar

Concentrare: deducția și modelul pendulului.

• Derivă $v = \sqrt{2gh}$ din legea conservării energiei mecanice și $h = L (1 - cos \theta)$, și obține viteza maximă ca funcție exclusivă de unghiul de eliberare pentru o lungime dată.
• Pentru a deduce formula perioadei unui pendul simplu, pornim de la ecuația mișcării pentru un pendul de lungime $L$ și masă $m$, acționat de gravitație. **1. Ecuația mișcării** Forța de restabilire care acționează asupra pendulului de-a lungul arcului de cerc este componenta greutății tangențială la traiectorie: $$F = -mg \sin\theta$$ Folosind a doua lege a lui Newton pentru rotație sau mișcare tangențială ($s = L\theta$, deci accelerația tangențială este $a = L\alpha = L\frac{d^2\theta}{dt^2}$): $$mL \frac{d^2\theta}{dt^2} = -mg \sin\theta$$ Împărțind prin $m鹭$ și rearanjând termenii, obținem ecuația diferențială a mișcării: $$\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L} \sin\theta = 0$$ **2. Aproximația unghiurilor mici ($\sin\theta \approx \theta$)** Această ecuație este nelineară din cauza termenului $\sin\theta$ și nu poate fi rezolvată analitic în mod elementar. Pentru oscilații cu unghiuri mici (unde unghiul $\theta$ este exprimat în radiani), **folosim aproximația unghiurilor mici**: $$\sin\theta \approx \theta$$ Această substituție se face direct în ecuația diferențială, transformând-o într-o ecuație liniară: $$\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L} \theta = 0$$ **3. Soluția ecuației și deducerea lui $T$** Aceasta este ecuația clasică a unui oscilator armonic simplu, a cărei soluție generală are forma: $$\theta(t) = \theta_0 \cos(\omega t + \phi)$$ unde frecvența unghiulară $\omega$ este dată de: $$\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$$ Perioada oscilației $T$ este legată de frecvența unghiulară prin relația $T = \frac{2\pi}{\omega}$. Înlocuind-o pe $\omega$, obținem formula căutată: $$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$ **4. Eroarea la $\theta = 30^\circ$** Pentru a afla eroarea introdusă de aproximația $\sin\theta \approx \theta$ la un unghi de $30^\circ$ ($\frac{\pi}{6}$ radiani $\approx 0.5236$ rad), comparăm valoarea exactă cu valoarea aproximată: * Valoarea exactă: $\sin(30^\circ) = 0.5$ * Valoarea aproximată: $\theta = \frac{\pi}{6} \approx 0.5236$ Eroarea absolută este: $$|0.5236 - 0.5| = 0.0236$$ Eroarea relativă procentuală se calculează astfel: $$\text{Eroare} = \left( \frac{\theta - \sin\theta}{\sin\theta} \right) \times 100\% = \left( \frac{0.5236 - 0.5}{0.5} \nolinebreak \right) \times 100\% \approx 4.72\%$$ Prin urmare, eroarea rezultată din utilizarea aproximației la un unghi de $30^\circ$ este de aproximativ **4,7%**.
• Aplicați corecția de amplitudine de ordinul întâi T ≈ T₀(1 + θ²/16) și să se determine dacă diferența prezisă dintre cele două unghiuri este detectabilă cu metoda de sincronizare utilizată.
• Discutați modul în care masa proprie a tijei și momentul de inerție modifică perioada și scrieți expresia pendulului fizic T = 2π√(I / m g d) care înlocuiește formula simplă.
• Estimați energia pe care un pendul real o pierde prin rezistența aerului și frecvența pivotului pe parcursul a cinci oscilații și descrieți cum ar putea fi măsurată și utilizată atenuarea amplitudinii pentru a o cuantifica.

Esențiale de laborator

Instrumente

• Suport universal
• Clește
• Bară mobilă rigidă (braț pendular)
• Masă de plumb (50 g)
• Raportor
• Rigle (50 cm) × 2
• Cronometru / temporizator

Produse

• Niciunul — acest laborator nu folosește reactivi chimici.