083 – Energia mechaniczna poruszającego się obiektu

Wahadło w ruchu to najbardziej oczywista w fizyce demonstracja tego, że energia może zmienić swoją formę bez zmiany ilości. Historycznie jest ono również jednym z najbardziej znaczących: stałość ruchu wahadła dała światu pierwsze dokładne zegary, pełniła tę rolę przez prawie trzy wieki, a wciąż jest używana do mierzenia lokalnej grawitacji z dokładnością wystarczającą do odwzorowania gęstości skał pod miejscem badań. Ta sama zasada rządzi dzieckiem na huśtawce, kulą wyburzeniową, deskorolką w rynnie i zawieszonym tłumikiem, który stabilizuje wysoki budynek na wietrze.

Mechaniczna energia obiektu jest sumą jego grawitacyjnej energii potencjalnej, E_p = m g h, a jego energia kinetyczna, E_k = ½ m v². Gdy brak tarcia, suma ta jest zachowana: cokolwiek traci jedna forma, druga zyskuje, chwila po chwili. Wahadło czyni tę wymianę widoczną, ponieważ oddziela obie formy w przestrzeni. W skrajnych punktach wahnięcia masa spoczywa przez chwilę w swoim najwyższym punkcie, więc energia ma charakter wyłącznie potencjalny; w najniższym punkcie łuku masa znajduje się w najniższym punkcie i porusza się najszybciej, więc energia ma charakter wyłącznie kinetyczny. Każda pozycja pomiędzy kryje w sobie mieszaninę, której suma jest zawsze taka sama.

W tej laboratoryjnej zawiesisz masę 50 g na sztywnym pręcie zamocowanym na statywie uniwersalnym, odchylisz ją o 15° od pionu i zmierzysz wysokość, o jaką została podniesiona ponad pozycję spoczynkową. Puszczając ją, zmierzysz czas pięciu pełnych wahań. Następnie powtórzysz całą procedurę dla kąta 30°. Na podstawie obu wysokości obliczysz energię potencjalną zgromadzoną na początku każdego wahnięcia, a z zasady zachowania energii mechanicznej wywnioskujesz prędkość, jaką masa osiąga na dnie swojego toru – prędkość, której aparat nigdy bezpośrednio nie mierzy, ale którą bilans energetyczny podaje bez żadnej potrzeby pomiaru.

Cele edukacyjne

Zapoznanie się ze środowiskiem laboratoryjnym

• Zmontuj wahadło na uniwersalnym statywie, ustawiając wysokość zacisku tak, aby masa swobodnie swingowała nad stołem w odległości znanej odległości.
• Określ pozycję spoczynkową masy jako poziom odniesienia, względem którego mierzona jest każda wysokość w eksperymencie.

Dokładny pomiar długości, kąta i czasu

• Ustaw kąt zwolnienia względem pionu i odczytaj wysokość nad stołem za pomocą linijki, zapisując obie wartości z dokładnością, na jaką pozwala przyrząd.
• Zmierz czas pięciu pełnych wahań zamiast jednego i wyjaśnij, dlaczego mierzenie kilku i dzielenie daje lepszy okres niż mierzenie jednego.

Obliczanie grawitacyjnej energii potencjalnej

• Przed podstawieniem przelicz masy na kilogramy i wysokości na metry, a następnie oblicz E_p = m g h z pokazanym obliczeniem.
• Wyjaśnij, dlaczego tylko zmień wzrost ma znaczenie i dlaczego wybór poziomu odniesienia nie wpływa na wynik.

Zasada zachowania energii mechanicznej

• Stan, że E_p + E_k jest stała przy braku tarcia, i zidentyfikuj dwa punkty wahnięcia, w których jeden składnik wynosi zero.
• Wywnioskuj maksymalną prędkość z ½ m v² = m g h, i pokaż, że masa skraca się z wyniku.

Powiązanie kąta wypuszczenia z energią

• Powiąż wysokość wzniosienia z kątem wychylenia za pomocą wzoru h = L (1 − cos θ) i wykorzystaj go do wyznaczenia długości wahadła na podstawie zmierzonych wysokości.
• Wyjaśnienie, dlaczego podwojenie kąta wychylenia prawie czterokrotnie zwiększa zmagazynowaną energię, ale tylko dwukrotnie zwiększa prędkość maksymalną: 1. **Zmagazynowana energia (potencjalna):** W przypadku prostego wahadła lub układu sprężystego (dla małych kątów) energia potencjalna $E_p$ jest proporcjonalna do kwadratu kąta wychylenia ($\theta^2$) lub wysokości podniesienia, która również skaluje się z w przybliżeniu kwadratem kąta ($\cos(\theta) \approx 1 - \theta^2/2$). Oznacza to, że jeśli podwoisz kąt wychylenia ($\theta \to 2\theta$), energia rośnie proporcjonalnie do $(2\theta)^2 = 4\theta^2$, czyli zwiększa się około cztery razy. 2. **Prędkość maksymalna:** Z zasady zachowania energii, cała zmagazynowana energia potencjalna zamienia się w punkcie równowagi w energię kinetyczną ($E_k = \frac{1}{2}mv^2$). Ponieważ energia jest 4 razy większa, a masa ($m$) pozostaje stała, kwadrat prędkości ($v^2$) również musi być 4 razy większy. Ponieważ prędkość jest pierwiastkiem kwadratowym z energii kinetycznej ($v \propto \sqrt{E_k}$), prędkość maksymalna $v$ wzrasta pierwiastkowo: $\sqrt{4} = 2$. Oznacza to, że prędkość zwiększa się dokładnie dwukrotnie.

Sprawdzanie modelu

• Przewidź okres ze wzoru $T = 2\pi\sqrt{L/g}$, porównaj go ze zmierzonym czasem dla pięciu wahnięć i określ, co to porównanie wykazuje.
• Wyjaśnij, co prawdziwe wahadło robiłoby w ciągu wielu wahnięć, czego to nie robi, i dokąd podziałaby się energia.

Protokół

1. Zawieś zacisk na uniwersalnym statywie; jak najwyżej.
2. Zawieś kątomierz na stopce podpory uniwersalnej.
3. Zawiesić sztywny, ruchomy pręt na zacisku. Zachować odległość co najmniej 20 cm między masą wahadła a stołem.
4. Zawieś 50g odważnik ołowiany na sztywnym pręcie.
5. Używając czerwonych strzałek znajdujących się po każdej stronie górnej części sztywnego pręta; ustaw wahadło pod kątem 15° w stosunku do pionu.
6. Zmierz początkową wysokość masy wahadła względem stołu, używając linijek 50 cm (dokonaj pomiaru od górnej części masy).
7. Używając stopera, zmierz czas potrzebny wahadłu na wykonanie 5 pełnych oscylacji (w przód i w tył).
8. Aktywuj przycisk Start na stoperze, co spowoduje zwolnienie wahadła.
9. Gdy zostanie ukończonych 5 oscylacji (tam i z powrotem), zatrzymaj stoper.
10. Końcowa wysokość, gdy wahadło osiągnie drugi koniec swojej trajektorii, będzie identyczna jak wysokość początkowa (już zmierzona w kroku 6).

Wyniki, czas oscylacji i pomiary wysokości, zostaną zapisane w tabeli wyników.

11. Zresetuj stoper.
12. Powtórz kroki od 5 do 10, ustawiając wahadło pod kątem 30° w stosunku do pionu.
13. Sprawdź dane zebrane w tabeli wyników.

Przewidywane wyniki

Pomiary. Masa wynosi 50 g = 0,050 kg, a g przyjmuje się jako 9,8 N/kg. Pozycja spoczynkowa masy znajduje się 20,0 cm nad stółem i jest to poziom odniesienia dla każdej wysokości poniżej.

Energia potencjalna w momencie zwolnienia. Gdy masa znajduje się w stanie chwilowego spoczynku, cała jej energia mechaniczna jest energią potencjalną:

E_p = m g h

Pod kątem 15°: E_p = 0,050 kg × 9,8 N/kg × 0,026 m = 0,013 J.
Przy 30°: E_p = 0,050 kg × 9,8 N/kg × 0,100 m = 0,049 J.

Maksymalna prędkość na dole zamachu. W najniższym punkcie masa powróciła do swojej wysokości spoczynkowej, więc jej energia potencjalna względem tego poziomu wynosi zero, a cała energia mechaniczna stała się kinetyczną. Przyjmując obie za równe,

½ m v² = m g h → v = √(2 g h)

Masa pojawia się po obu stronach i upraszcza się, co jest najbardziej pouczającą linijką na tej stronie: prędkość na dole w ogóle nie zależy od masy. Ciężarek o masie 50 g i ciężarek o masie 500 g zwolnione z tej samej wysokości docierają do dna, poruszając się z dokładnie tą samą prędkością, ponieważ cięższy magazynuje dziesięć razy więcej energii, ale też potrzebuje dziesięć razy więcej, aby osiągnąć dowolną prędkość. Podstawiając,

Dla 15°: v = √(2 × 9,8 × 0,026) = √0,5096 = 0,71 m/s.
Dla 30°: v = √(2 × 9,8 × 0,100) = √1,96 = 1,4 m/s.

Te same odpowiedzi wynikają z v = √(2E_k/m) wykorzystując powyższe energie, tak jak muszą; druga droga jest szybsza i bezpośrednio ukazuje niezależność od masy.

Dlaczego podwojenie kąta nie podwaja energii. Geometria huśtawki daje wysokość równą h = L (1 − cos θ). Ponieważ 1 − cos θ ≈ θ²dla małych kątów mierzonych w radianach wysokość — a zatem i energia — rośnie wraz z kwadrat kąta rzutu, podczas gdy prędkość, będąc pierwiastkiem kwadratowym energii, rośnie wprost proporcjonalnie do niej. Dane potwierdzają to dokładnie: energia rośnie od 0,013 J do 0,049 J, czyli o współczynnik 3,8, gdzie θ² przewiduje 4,0, a prędkość wzrasta z 0,71 do 1,4 m/s, czyli 1,97 raza w miejscach, gdzie przewidywanie wynosi 2,0. Uczeń, który spodziewa się, że dwukrotne zwiększenie kąta da dwukrotnie większą energię, pomyli się dwukrotnie, a powód ten warto wyjaśnić, zamiast go po prostu poprawiać.

Do czego służy pomiar czasu. Proceduraka nakazuje zmierzenie czasu pięciu pełnych wahnięć dla każdego kąta i to jest ta część eksperymentu, której powyższe obliczenia w ogóle nie dotyczą. Jej celem jest przetestowanie osobnego i znacznie mniej oczywistego twierdzenia: że okres wahadła nie zależy od tego, jak daleko jest wychylone. Dla małych amplitud,

T = 2π √(L / g)

która nie zawiera ani masy, ani amplitudy. Przy długości 0,75 m wynikającej z pomiarów wysokości, T = 2π √(0,75 / 9,8) = 2π × 0,277 = 1,74 s, więc pięć oscylacji powinno zajść w około 8,7 s — i, co najważniejsze, około 8,7 s dla obu kątów zwolnienia, mimo że wahnięcie o 30° niesie ze sobą prawie czterokrotnie większą energię i porusza się z dwukrotnie większą prędkością. Amplituda ma niewielki wpływ, określony w pierwszym przybliżeniu przez T ≈ T₀ (1 + θ²/16), co daje przyrost o 0,4 % przy 15° i 1,7 % przy 30°; pięć oscylacji powinno zatem trwać mniej więcej 8,73 s i 8,84 s, co stanowi różnicę wynoszącą około jednej dziesiątej sekundy.

Układ, którego energię można zwielokrotnić czterokrotnie bez zmiany jego okresu, to definicja oscylatora harmonicznego, i ta właściwość – a nie dokładność wykonania – umożliwiła powstanie zegara wahadłowego: zegar, którego wychwyt pozwala na niewielkie wygaszanie wahnięć, odmierza ten sam czas bez względu na wszystko.

Podsumowanie zadania według zakresu ocen

Klasy 9–10

Skupienie: obserwacja wymiany między dwoma rodzajami energii i pomiar wielkości, które ją opisują.

• Złóż wahadło, ustaw kąt wychylenia na 15° i zmierz wysokość masy nad stół w momencie zwolnienia oraz w spoczynku; oblicz wznios.
• Masa osiąga najwyższy punkt na obu końcach ruchu wahadłowego, najszybsza jest w najniższym punkcie (środku) toru ruchu, a zatrzymuje się na ułamek sekundy w skrajnych punktach wychylenia.
• Oblicz energię potencjalną w momencie zwolnienia w punkcie E_p = m g h, przeliczając gramy na kilogramy i centymetry na metry przed podstawieniem.
• Zmierz czas pięciu wahnięć i podziel przez pięcie, aby otrzymać okres; powtórz dla 30° i określ, czy okres uległ zmianie.

Klasa 11

Skupienie: wykorzystanie zasady zachowania energii mechanicznej do uzyskania wielkości, której aparat nigdy nie mierzy.

• Sformułuj zasadę zachowania energii mechanicznej i wskaż punkt w wahadle, w którym E_p = 0 i punkt, w którym E_k = 0.
• Oblicz prędkość maksymalną dla obu kątów z ½ m v² = m g h, pokazując pełne podstawienie raz.
• Pokaż algebrycznie, że masa się redukuje, i przewidź, co stałoby się z prędkością i energią, gdyby masę 50 g zastąpić masą 100 g.
• Użyj wzoru h = L (1 − cos θ), aby obliczyć długość wahadła dla każdego odczytu wysokości, i skomentuj, czy oba wyniki są zgodne.
• Oblicz stosunek energii oraz prędkości pomiędzy dwoma kątami i wyjaśnij, dlaczego jeden stosunek wynosi około czterech, a drugi około dwóch.
• Przewidź okres ze wzoru T = 2π√(L/g) i porównaj go z zmierzonym czasem dla pięciu wahnięć.

Klasa 12 / Poziom akademicki

Skupienie: wyprowadzenie i model wahadła.

• Wyprowadź wzór $v = \sqrt{2gh}$ z zasady zachowania energii mechanicznej oraz $h = L (1 − cos \theta)$, a następnie wyznacz maksymalną prędkość jako funkcję samego kąta zwolnienia dla danej długości.
• Wyprowadź wzór $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ z przybliżenia małych kątów dla równania ruchu, podając wyraźnie, gdzie zastosowano przybliżenie $\sin \theta \approx \theta$ oraz jak duży jest wynikowy błąd przy kącie $30^\circ$. Równanie ruchu dla idealnego wahadła matematycznego o długości $L$ i masie $m$ wynika z drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego (lub rozkładu sił): $$\tau = -mgL \sin\theta = I\alpha$$ Ponieważ moment bezwładności wahadła punktowego wynosi $I = mL^2$, a przyspieszenie kątowe to $\alpha = \frac{d^2\theta}{dt^2}$, otrzymujemy równanie różniczkowe: $$mL^2 \frac{d^2\theta}{dt^2} + mgL \sin\theta = 0$$ Dzieląc obustronnie przez $mL^2$, dochodzimy do nieliniowego równania ruchu: $$\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L} \sin\theta = 0$$ **Zastosowanie przybliżenia małych kątów:** Dla bardzo małych wychyleń $\theta$ (mierzonego w radianach) wartość $\sin\theta$ można przybliżyć za pomocą pierwszego wyrazu rozwinięcia w szereg Taylora funkcji sinus: $$\sin\theta \approx \theta$$ **To przybliżenie stosuje się bezpośrednio w równaniu ruchu**, zamieniając człon $\sin\theta$ na $\theta$, co daje liniowe równanie różniczkowe harmoniczne: $$\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L} \theta = 0$$ Postacią ogólną tego równania jest równanie ruchu harmonicznego $\frac{d^2\theta}{dt^2} + \omega^2 \theta = 0$, gdzie częstotliwość kołowa wynosi: $$\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$$ Ponieważ okres $T$ jest powiązany z częstotliwością kołową zależnością $T = \frac{2\pi}{\omega}$, otrzymujemy szanowany wzór: $$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$ **Szacowanie błędu przy $30^\circ$:** Kąt $15^\circ$ czy $30^\circ$ przekracza standardowy zakres "małych kątów" (zazwyczaj poniżej $5^\circ - 10^\circ$). Przeliczmy $30^\circ$ na radiany: $$\theta = 30^\circ = \frac{\pi}{6} \approx 0{,}5236\text{ rad}$$ Wartość dokładna sinusa: $$\sin(30^\circ) = 0{,}5$$ Wartość przybliżona (zgodna z przybliżeniem $\sin\theta \approx \theta$): $$\theta \approx 0{,}5236$$ Błąd względny przybliżenia przy $30^\circ$ wynosi: $$\text{Błąd względny} = \left| \frac{\theta - \sin\theta}{\sin\theta} \right| = \frac{0{,}5236 - 0{,}5}{0{,}5} = \frac{0{,}0236}{0{,}5} \approx 0{,}0472 \text{ czyli } 4{,}72\%$$ Wynikowy błąd w oszacowaniu okresu drgań przy wychyleniu $30^\circ$ wynosi około $4,7\%$.
• Zastosuj poprawkę amplitudy pierwszego rzędu T ≈ T₀(1 + θ²/16) i ustal, czy przewidywana różnica między tymi dwoma kątami jest wykrywalna przy użyciu zastosowanej metody pomiaru czasu.
• Omów, jak własna masa pręta i moment bezwładności modyfikują okres, i zapisz wyrażenie dla wahadła fizycznego $T = 2\pi\sqrt{I / (m g d)}$, które zastępuje prosty wzór.
• Oszacuj energię, jaką rzeczywiste wahadło traci na opory powietrza i tarcie w punkcie zawieszenia w ciągu pięciu wahań, oraz opisz, jak zanik amplitudy można zmierzyć i wykorzystać do jej kwantyfikacji.

Podstawowe wyposażenie laboratorium

Instrumenty

• Wsparcie uniwersalne
• Zacisk
• sztywne ruchome ramię (ramię wahadła)
• Masa ołowiu (50 g)
• Kątomierz
• Linijki (50 cm) × 2
• Stoper / minutnik

Produkty

• Brak — to laboratorium nie używa żadnych odczynników chemicznych.