083 – L'énergie mécanique d'un objet en mouvement

Un pendule en mouvement est la démonstration la plus claire en physique que l'énergie peut changer de forme sans changer de quantité. C'est aussi, historiquement, l'une des plus importantes : la constance du mouvement d'un pendule a offert au monde ses premières horloges précises, a tenu ce rôle pendant près de trois siècles, et est toujours utilisée pour mesurer la gravité locale avec assez de précision pour cartographier la densité de la roche sous un site de prospection. Le même principe régit un enfant sur une balançoire, une boule de démolition, un skateboard dans un half-pipe et l'amortisseur suspendu qui stabilise un grand bâtiment dans le vent.

L'énergie mécanique d'un objet est la somme de son énergie potentielle gravitationnelle, E_p = m g h, et son énergie cinétique, E_k = ½ m v². Lorsqu'aucune force de frottement n'agit, cette somme est conservée : tout ce qu'une forme perd, l'autre le gagne, instant par instant. Un pendule rend cet échange visible parce qu'il sépare les deux formes dans l'espace. Aux extrémités de l'oscillation, la masse est momentanément au repos à son point le plus haut, de sorte que l'énergie est entièrement potentielle ; au bas de l'arc, la masse se trouve à son point le plus bas et se déplace le plus rapidement, de sorte que l'énergie est entièrement cinétique. Chaque position intermédiaire contient un mélange dont le total est toujours le même.

Dans ce laboratoire, vous suspendrez une masse de 50 g à une tige rigide sur un support universel, l'écarterez de 15° par rapport à la verticale et mesurerez la hauteur dont elle a été relevée par rapport à sa position de repos. En la lâchant, vous chronometrerez cinq oscillations complètes. Vous répéterez ensuite toute la procédure à 30°. À partir des deux hauteurs, vous calculerez l'énergie potentielle emmagasinée au début de chaque oscillation, et à partir de la conservation de l'énergie mécanique, vous déduirez la vitesse que la masse atteint au bas de son arc — une vitesse que l'appareil ne mesure jamais directement, mais que le bilan énergétique fournit sans qu'il soit nécessaire de le faire.

Objectifs Éducatifs

Familiarisation avec l'environnement du laboratoire

• Montez un pendule sur un support universel, en réglant la hauteur de la pince de manière à ce que la masse oscille au-dessus de la table à une distance connue.
• Identifiez la position d'équilibre de la masse comme le niveau de référence à partir duquel chaque hauteur de l'expérience est mesurée.

Mesure minutieuse de la longueur, de l'angle et du temps

• Réglez un angle de lâcher par rapport à la verticale et lisez une hauteur au-dessus de la table avec une règle, en enregistrant les deux avec la précision que permet l'instrument.
• Chronométrez cinq oscillations complètes au lieu d'une seule, et expliquez pourquoi en chronométrer plusieurs et diviser donne une meilleure période que d'en chronométrer une seule.

Calcul de l'énergie potentielle gravitationnelle

• Convertir les masses en kilogrammes et les hauteurs en mètres avant de substituer, puis calculer E_p = m g h avec les étapes de calcul.
• Expliquez pourquoi seulement le changer dans laquelle la hauteur a de l'importance, et pourquoi le choix du niveau de référence n'affecte pas le résultat.

Application de la conservation de l'énergie mécanique

• Déclarez que E_p + E_k est constante en l'absence de frottement, et identifiez les deux points du mouvement où un terme est nul.
• Déduire la vitesse maximale à partir de ½ m v² = m g h, et montrez que la masse s'annule dans le résultat.

Relier l'angle de lâcher à l'énergie

• Reliez la hauteur d'élévation à l'angle de lâcher par $h = L (1 - \cos \theta)$, et utilisez cette relation pour trouver la longueur du pendule à partir des hauteurs mesurées.
• Expliquez pourquoi doubler l'angle de lâcher quadruple presque l'énergie stockée mais double seulement la vitesse maximale.

Vérification du modèle

• Prédire la période à partir de T = 2π√(L/g), la comparer au temps mesuré pour cinq oscillations, et indiquer ce que cette comparaison établit.
• Expliquez ce qu'un pendule réel ferait sur de nombreuses oscillations que celui-ci ne fait pas, et où l'énergie irait.

Protocole

1. Accrochez une pince sur le support universel ; aussi haut que possible.
2. Accrochez un rapporteur au pied du support universel.
3. Accrochez une tige rigide et mobile à la pince. Laissez une distance d'au moins 20 cm entre la masse du pendule et la table.
4. Accrochez une masse de plomb de 50 g à la tige rigide.
5. À l'aide des flèches rouges situées de chaque côté de la partie supérieure de la tige rigide ; placez le pendule à un angle de 15° par rapport à la verticale.
6. Mesurez la hauteur initiale de la masse du pendule par rapport à la table à l'aide des règles de 50 cm (prenez la mesure depuis la partie supérieure de la masse).
7. À l'aide du chronomètre, mesurez le temps nécessaire au pendule pour effectuer 5 oscillations complètes (aller-retour).
8. Activez le bouton Démarrer du chronomètre, ce qui libérera le pendule.
9. Lorsque 5 oscillations (aller-retour) auront été terminées, arrêtez le chronomètre.
10. La hauteur finale lorsque le pendule atteint l'autre extrémité de sa trajectoire sera identique à la hauteur initiale (déjà mesurée à l'étape 6).

Les résultats, temps d'oscillation et mesures de hauteur, seront consignés dans le tableau des résultats.

11. Réinitialiser le chronomètre.
12. Répétez les étapes 5 à 10 en plaçant le pendule à un angle de 30° par rapport à la verticale.
13. Vérifiez les données collectées dans le tableau des résultats.

Résultats attendus

Les mesures. La masse est de 50 g = 0,050 kg et g est pris égal à 9,8 N/kg. La position de repos de la masse se trouve à 20,0 cm au-dessus de la table, et c'est le niveau de référence pour chaque hauteur en dessous.

Énergie potentielle au moment du lâcher. La masse étant momentanément au repos, toute son énergie mécanique est potentielle :

E_p = m g h

À 15° : E_p = 0,050 kg × 9,8 N/kg × 0,026 m = 0,013 J.
À 30° : E_p = 0,050 kg × 9,8 N/kg × 0,100 m = 0,049 J.

Vitesse maximale au bas du mouvement. Au point le plus bas, la masse est revenue à sa hauteur de repos, de sorte que son énergie potentielle par rapport à ce niveau est nulle et que la totalité de l'énergie mécanique est devenue cinétique. En posant les deux comme étant égales,

½ m v² = m g h → v = √(2 g h)

La masse apparaît des deux côtés et s'annule, ce qui est la ligne la plus instructive de toute cette page : La vitesse au fond ne dépend pas du tout de la masse. Une masse de 50 g et une masse de 500 g lâchées de la même hauteur arrivent en bas avec exactement la même vitesse, parce que la plus lourde emmagasine dix fois plus d'énergie mais en a aussi besoin de dix fois autant pour atteindre une vitesse donnée. En substituant,

À 15° : v = √(2 × 9,8 × 0,026) = √0,5096 = 0,71 m/s.
À 30° : v = √(2 × 9,8 × 0,100) = √1,96 = 1,4 m/s.

Les mêmes réponses découlent de v = √(2E_k/m) en utilisant les énergies ci-dessus, comme ils le doivent ; le deuxième parcours est plus rapide et montre directement l'indépendance de la masse.

Pourquoi doubler l'angle ne double pas l'énergie. La géométrie de la balançoire donne la hauteur h = L (1 − cos θ). Parce que 1 − cos θ ≈ θ²pour de petits angles mesurés en radians, la hauteur — et par conséquent l'énergie — croît avec le carré de l'angle de lâcher, tandis que la vitesse, étant la racine carrée de l'énergie, croît en proportion directe avec celle-ci. Les données le confirment exactement : l'énergie passe de 0,013 J à 0,049 J, soit un facteur de 3,8 là où θ² prévoit 4,0, et la vitesse passe de 0,71 à 1,4 m/s, soit un facteur de 1,97 là où la prévision est de 2,0. Un élève qui s'attend à ce que deux fois l'angle donne deux fois l'énergie aura tort d'un facteur deux, et la raison mérite d'être explicitée plutôt que simplement corrigée.

À quoi sert la mesure du temps. Le protocole vous demande de chronométrer cinq oscillations complètes à chaque angle, et c'est la partie de l'expérience que le calcul ci-dessus n'aborde jamais. Son but est de tester une affirmation distincte et beaucoup moins évidente : que la période d'un pendule ne dépend pas de l'amplitude de son balancement. Pour les petites amplitudes,

T = 2π √(L / g)

qui ne contient ni la masse ni l'amplitude. Avec la longueur de 0,75 m impliquée par les mesures de hauteur, T = 2π √(0,75 / 9,8) = 2π × 0,277 = 1,74 s, donc cinq oscillations devraient prendre environ 8,7 s — et, ce qui est crucial, d'environ 8,7 s pour les deux angles de lâcher, bien que le balancement à 30° transporte près de quatre fois plus d'énergie et se déplace à deux fois la vitesse. L'amplitude a un effet minime, donné au premier ordre par T ≈ T₀ (1 + θ²/16), ce qui ajoute 0,4 % à 15° et 1,7 % à 30° ; cinq oscillations devraient donc prendre environ 8,73 s et 8,84 s, soit une différence d'environ un dixième de seconde.

Un système dont l'énergie peut être quadruplée sans changer sa période est la définition d'un oscillateur harmonique, et cette propriété — et non la précision de fabrication — est ce qui a rendu l'horloge à pendule possible : une horloge dont l'échappement laisse l'oscillation s'affaiblir un peu garde la même heure malgré tout.

Résumé du devoir par tranche d'âge

Classe de 3e à la 2de

Focalisation observer l'échange entre les deux formes d'énergie et mesurer les quantités qui le décrivent.

• Assemblez le pendule, réglez l'angle de lâcher à 15° et mesurez la hauteur de la masse au-dessus de la table au moment du lâcher et au repos ; calculez l'élévation.
• Dans le mouvement d'une balançoire, la masse est à son point le plus haut aux extrémités de la trajectoire, elle est la plus rapide au point le plus bas (au centre), et elle s'arrête momentanément aux points d'extension maximale, juste avant de repartir dans l'autre sens.
• Calculer l'énergie potentielle au moment du lâcher depuis E_p = m g h, en convertissant les grammes en kilogrammes et les centimètres en mètres avant de substituer.
• Chronométrez cinq oscillations et divisez par cinq pour obtenir la période ; répétez à 30° et indiquez si la période a changé.

11e année

Focalisation utiliser la conservation de l'énergie mécanique pour obtenir une grandeur que l'appareil ne mesure jamais.

• Énoncez la conservation de l'énergie mécanique et identifiez le point de l'oscillation où E_p = 0 et le point où E_k = 0.
• Calculer la vitesse maximale aux deux angles à partir de ½ m v² = m g h, en montrant la substitution complète une seule fois.
• Montrez algébriquement que la masse s'annule, et prévoyez ce qui arriverait à la vitesse et à l'énergie si la masse de 50 g était remplacée par une masse de 100 g.
• Utilisez h = L (1 − cos θ) pour calculer la longueur du pendule à partir de chaque lecture de hauteur, et dites si les deux concordent.
• Calculez le rapport des énergies et des vitesses entre les deux angles, et expliquez pourquoi l'un des rapports est d'environ quatre et l'autre d'environ deux.
• Prédire la période à partir de T = 2π√(L/g) et la comparer avec le temps mesuré pour cinq oscillations.

12e année / Niveau universitaire

Focalisation dérivation et le modèle du pendule.

• Dérivez v = √(2gh) à partir de la conservation de l'énergie mécanique et de h = L (1 − cos θ), et obtenez la vitesse maximale en fonction de l'angle de lâcher seul pour une longueur donnée.
• Dériver T = 2π√(L/g) à partir de l'approximation des petits angles de l'équation du mouvement, en précisant explicitement où sin θ ≈ θ est utilisé et quelle est l'erreur résultante à 30°.
• Appliquer la correction d'amplitude du premier ordre T ≈ T₀(1 + θ²/16) et déterminez si la différence prédite entre les deux angles est détectable avec la méthode de mesure du temps utilisée.
• Discutez de la façon dont la masse propre de la tige et son moment d'inertie modifient la période, et écrivez l'expression du pendule physique T = 2π√(I / m g d) qui remplace la formule simple.
• Estimez l'énergie qu'un pendule réel perdrait à cause de la résistance de l'air et du frottement au pivot sur cinq oscillations, et décrivez comment la décroissance de l'amplitude pourrait être mesurée et utilisée pour la quantifier.

Essentiels de laboratoire

Instruments

• Soutien universel
• Pince
• Tige rigide mobile (bras de pendule)
• Masse de plomb (50 g)
• rapporteur
• Règles (50 cm) × 2
• Chronomètre / minuteur

Produits

• Aucun — ce laboratoire n'utilise aucun réactif chimique.