083 – Die mechanische Energie eines sich bewegenden Objekts

Ein schwingendes Pendel ist die anschaulichste Demonstration in der Physik, dass Energie ihre Form ändern kann, ohne dass sich ihre Menge ändert. Es ist historisch gesehen auch eine der folgenschwersten: Die Konstanz des Pendelschwungs bescherte der Welt die ersten präzisen Uhren, behielt diese Rolle fast drei Jahrhunderte lang bei und wird noch heute verwendet, um die lokale Schwerkraft präzise genug zu messen, um die Dichte von Gestein unter einem Vermessungsgebiet zu kartieren. Dasselbe Prinzip bestimmt ein schaukelndes Kind, eine Abrissbirne, ein Skateboard in einer Halfpipe und den aufgehängten Schwingungsdämpfer, der ein hohes Gebäude im Wind stabilisiert.

Die mechanische Energie eines Objekts ist die Summe seiner gravitativen potenziellen Energie, E_p = m g h, und seine kinetische Energie, E_k = ½ m v². Wenn keine Reibung auftritt, bleibt diese Summe erhalten: Was die eine Form verliert, gewinnt die andere, von Augenblick zu Augenblick. Ein Pendel macht diesen Austausch sichtbar, weil es die beiden Formen im Raum trennt. An den Endpunkten des Schwungs ist die Masse in ihrem höchsten Punkt einen Augenblick lang in Ruhe, sodass die Energie vollständig potentiell ist; am Tiefpunkt des Bogens ist die Masse an ihrem tiefsten Punkt und bewegt sich am schnellsten, sodass die Energie vollständig kinetisch ist. Jede Position dazwischen birgt eine Mischung, deren Summe immer gleich bleibt.

In diesem Laboratorium werden Sie eine 50-g-Masse an einem starren Stab an einem Universalstativ aufhängen, sie um 15° aus der Vertikalen auslenken und die Höhe messen, um die sie über ihre Ruhelage angehoben wurde. Wenn Sie sie loslassen, stoppen Sie die Zeit für fünf vollständige Schwingungen. Danach wiederholen Sie das gesamte Vorgehen bei 30°. Aus den beiden Höhen berechnen Sie die zu Beginn jedes Schwungs gespeicherte potentielle Energie, und aus dem Erhaltungsatz der mechanischen Energie leiten Sie die Geschwindigkeit ab, die die Masse am Tiefpunkt ihres Bogens erreicht – eine Geschwindigkeit, die das Gerät niemals direkt misst, die aber die Energiebilanzierung ohne jede Notwendigkeit dafür liefert.

Bildungsziele

Einarbeitung in die Laborumgebung

• Bauen Sie ein Pendel an einem Universalstativ auf und stellen Sie die Höhe der Klammer so ein, dass die Masse in einem bekannten Abstand frei über dem Tisch schwingt.
• Definiere die Ruhelage der Masse als das Bezugsniveau, von dem aus jede Höhe im Experiment gemessen wird.

Sorgfältige Messung von Länge, Winkel und Zeit

• Stellen Sie einen Abwurf- oder Abzugswinkel relativ zur Vertikalen ein und messen Sie eine Höhe über dem Tisch mit einem Lineal ab; protokollieren Sie beide Werte mit der Genauigkeit, die das Instrument zulässt.
• Messen Sie fünf vollständige Schwingungen anstelle von einer, und erklären Sie, warum das Messen mehrerer Schwingungen und das anschließende Teilen einen besseren Periodenwert liefert als das Messen von nur einer.

Berechnung der potenziellen Gravitationsenergie

• Rechne Massen in Kilogramm und Körpergrößen in Meter um, bevor du sie einsetzt, und berechne E_p = m g h mit den entsprechenden Rechenschritten.
• Erkläre, warum nur die ändern bei der Höhe spielt eine Rolle, und warum die Wahl des Bezugsniveaus das Ergebnis nicht beeinflusst.

Anwendung der Erhaltung der mechanischen Energie

• Gib an, dass E_p + E_k ist in Abwesenheit von Reibung konstant, und identifizieren Sie die beiden Punkte im Schwung, an denen ein Term null ist.
• Leite die Höchstgeschwindigkeit aus ½ m v ab² = m g h, und zeige, dass sich die Masse aus dem Ergebnis herauskürzt.

Die Verknüpfung des Abwurfwinkels mit der Energie

• Verknüpfen Sie die Steigungshöhe über $h = L (1 - cos θ)$ mit dem Abwurfwinkel und nutzen Sie diese, um die Länge des Pendels aus den gemessenen Höhen zu bestimmen.
• Erkläre, warum die Verdopplung des Auslenkwinkels die gespeicherte Energie fast vervierfacht, aber die Höchstgeschwindigkeit nur verdoppelt.

Das Modell wird überprüft

• Berechnen Sie die Periodendauer aus T = 2π√(L/g), vergleichen Sie diese mit der gemessenen Zeit für fünf Schwingungen und geben Sie an, was der Vergleich zeigt.
• Erklären Sie, was ein reales Pendel über viele Schwingungen hinweg tun würde, was dieses nicht tut, und wohin die Energie verschwinden würde.

Protokoll

1. Klemmen Sie die Klemme am Universalständer auf, so hoch wie möglich.
2. Hängen Sie ein Winkelmaß an den Fuß des Universalständers.
3. Spannen Sie eine starre, bewegliche Stange in die Klemme. Halten Sie einen Abstand von mindestens 20 cm zwischen der Pendelmasse und dem Tisch ein.
4. Hängen Sie eine 50g-Bleimasse an die starre Stange.
5. Manövrieren Sie das Pendel mit den roten Pfeilen an beiden Seiten des oberen Teils der starren Stange in einen Winkel von 15° zur Vertikalen.
6. Messen Sie die anfängliche Höhe der Pendelmasse relativ zum Tisch mit den 50-cm-Linealen (messen Sie vom oberen Teil der Masse).
7. Messen Sie mit der Stoppuhr die Zeit, die das Pendel für 5 vollständige Schwingungen (hin und her) benötigt.
8. Aktivieren Sie die Start-Schaltfläche auf der Stoppuhr, wodurch das Pendel freigegeben wird.
9. Stoppen Sie die Stoppuhr, wenn 5 Schwingungen (hin und her) abgeschlossen sind.
10. Die Endhöhe, wenn das Pendel das andere Ende seiner Bahn erreicht, wird identisch mit der Anfangshöhe sein (bereits in Schritt 6 gemessen).

Die Ergebnisse, Schwingungszeit und Höhenmessungen, werden in der Ergebnistabelle festgehalten.

11. Stoppuhr zurücksetzen.
12. Wiederholen Sie die Schritte 5 bis 10, indem Sie das Pendel in einem Winkel von 30° zur Vertikalen ausrichten.
13. Überprüfen Sie die im Ergebnistabelle gesammelten Daten.

Erwartete Ergebnisse

Die Messungen. Die Masse beträgt 50 g = 0,050 kg und g wird mit 9,8 N/kg angenommen. Die Ruhelage der Masse befindet sich 20,0 cm über dem Tisch, und das ist das Bezugsniveau für jede Höhe darunter.

Potentielle Energie im Moment des Loslassens. Da sich die Masse im Moment in der Ruhe befindet, ist ihre gesamte mechanische Energie potentielle Energie:

E_p = m g h

Bei 15°: E_p = 0,050 kg × 9,8 N/kg × 0,026 m = 0,013 J.
Bei 30°: E_p = 0,050 kg × 9,8 N/kg × 0,100 m = 0,049 J.

Maximale Geschwindigkeit am Tiefpunkt des Schwungs. Am tiefsten Punkt ist die Masse auf ihre Ruhelage zurückgekehrt, sodass ihre potenzielle Energie relativ zu diesem Niveau null ist und die gesamte mechanische Energie in kinetische Energie übergegangen ist. Wenn man beide gleichsetzt,

½ m v² = m g h → v = √(2 g h)

Die Masse erscheint auf beiden Seiten und kürzt sich heraus, was die bei weitem lehrreichste Zeile auf dieser Seite ist: Die Geschwindigkeit am Boden hängt überhaupt nicht von der Masse ab. Ein 50-g-Pendelkörper und ein 500-g-Pendelkörper, die aus derselben Höhe losgelassen werden, kommen unten mit exakt derselben Geschwindigkeit an, da der schwerere zwar zehnmal so viel Energie speichert, aber auch zehnmal so viel benötigt, um eine bestimmte Geschwindigkeit zu erreichen. Beim Einsetzen,

Bei 15°: v = √(2 × 9,8 × 0,026) = √0,5096 = 0,71 m/s.
Bei 30°: v = √(2 × 9,8 × 0,100) = √1,96 = 1,4 m/s.

Die gleichen Antworten folgen aus v = √(2E_k/m) unter Verwendung der obigen Energien, wie sie müssen; der zweite Weg ist schneller und zeigt die Massenunabhängigkeit direkt.

Warum eine Verdopplung des Winkels nicht die Energie verdoppelt. Die Geometrie der Schaukel ergibt die Höhe als h = L (1 − cos θ). Wegen 1 − cos θ ≈ θ²für kleine Winkel in Bogenmaß wächst die Höhe – und damit die Energie – mit dem Quadrat des Abholzwinkels, während die Geschwindigkeit als Quadratwurzel der Energie direkt proportional zu ihr wächst. Die Daten bestätigen dies genau: Die Energie steigt von 0,013 J auf 0,049 J, ein Faktor von 3,8, wobei θ² sagt 4,0 voraus, und die Geschwindigkeit steigt von 0,71 auf 1,4 m/s, ein Faktor von 1,97, während die Vorhersage 2,0 lautet. Ein Schüler, der erwartet, dass der doppelte Winkel die doppelte Energie liefert, wird um einen Faktor von zwei danebenliegen, und es lohnt sich, den Grund zu erklären, anstatt ihn nur zu korrigieren.

Wofür die Zeitmessung gedacht ist. Das Protokoll sieht vor, dass Sie bei jedem Winkel fünf vollständige Schwingungen messen, und dies ist der Teil des Experiments, den die obige Berechnung niemals berührt. Ihr Zweck ist es, eine separate und weit weniger offensichtliche Behauptung zu prüfen: dass die Periode eines Pendels nicht davon abhängt, wie weit es ausgelenkt wird. Für kleine Amplituden,

T = 2π √(L / g)

welche weder die Masse noch die Amplitude enthält. Mit der durch die Höhenmessungen impliziten Länge von 0,75 m ergibt sich T = 2π √(0,75 / 9,8) = 2π × 0,277 = 1,74 s, also sollten fünf Schwingungen ungefähr dauern 8,7 s — und, was entscheidend ist, bei beiden Abwurfwinkeln etwa dieselben 8,7 s, obwohl der 30°-Schwung fast die vierfache Energie enthält und sich mit doppelter Geschwindigkeit bewegt. Die Amplitude hat einen geringen Einfluss, der in erster Ordnung durch T ≈ T gegeben ist₀ (1 + θ²/16), was bei 15° einen Zuwachs von 0,4 % und bei 30° einen Zuwachs von 1,7 % ergibt; fünf Schwingungen sollten daher etwa 8,73 s bzw. 8,84 s dauern, was einer Differenz von etwa einer Zehntelsekunde entspricht.

Ein System, dessen Energie vervierfacht werden kann, ohne seine Periode zu verändern, ist die Definition eines harmonischen Oszillators, und diese Eigenschaft – nicht die Herstellungsgenauigkeit – ermöglichte die Pendeluhr: Eine Uhr, deren Hemmung den Schwung ein wenig abklingen lässt, geht unabhängig davon immer gleich genau.

Zusammenfassung der Aufgaben nach Klassenstufen

9. bis 10. Klasse

Fokus die Beobachtung des Austauschs zwischen den beiden Energieformen und die Messung der ihn beschreibenden Größen.

• Montieren Sie das Pendel, stellen Sie den Auslenkwinkel auf 15° ein und messen Sie die Höhe der Masse über dem Tisch beim Loslassen und in der Ruheposition; berechnen Sie den Anstieg.
• Am höchsten Punkt des Schwungs ist die Masse am höchsten, in der tiefsten Mitte (dem Durchgangspunkt) ist sie am schnellsten und an den beiden Wendepunkten (den Extrempunkten) bewegt sie sich für einen kurzen Moment überhaupt nicht.
• Berechne die potenzielle Energie beim Loslassen bei E_p = m g h, wobei Gramm in Kilogramm und Zentimeter in Meter umgerechnet werden, bevor eingesetzt wird.
• Messen Sie die Zeit für fünf Schwingungen und teilen Sie diese durch fünf, um die Periode zu ermitteln; wiederholen Sie dies bei 30° und geben Sie an, ob sich die Periode verändert hat.

11. Klasse

Fokus Verwendung der Erhaltung der mechanischen Energie, um eine Größe zu erhalten, die das Gerät niemals misst.

• Formulieren Sie den Satz von der Erhaltung der mechanischen Energie und identifizieren Sie den Punkt in der Schwingung, an dem E_p = 0 und dem Punkt, an dem E_k = 0.
• Berechnen Sie die Höchstgeschwindigkeit bei beiden Winkeln aus ½ m v² = m g h, wobei die vollständige Einsetzung einmal gezeigt wird.
• Zeigen Sie algebraisch, dass sich die Masse herauskürzt, und sagen Sie voraus, was mit der Geschwindigkeit und der Energie geschehen würde, wenn die 50-g-Masse durch eine 100-g-Masse ersetzt würde.
• Verwenden Sie h = L (1 − cos θ), um die Länge des Pendels aus jedem Hö Messwert zu berechnen, und kommentieren Sie, ob die beiden übereinstimmen.
• Berechnen Sie das Verhältnis der Energien und der Geschwindigkeiten zwischen den beiden Winkeln und erklären Sie, warum das eine Verhältnis etwa vier und das andere etwa zwei beträgt.
• Berechne die Periodendauer aus $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ und vergleiche sie mit der gemessenen Zeit für fünf Schwingungen.

12. Klasse / College-Niveau

Fokus Ableitung und das Pendelmodell.

• Leiten Sie v = √(2gh) aus dem Erhaltungsgesetz der mechanischen Energie und h = L (1 − cos θ) ab und erhalten Sie die maximale Geschwindigkeit als Funktion allein des Auslenkungswinkels für eine gegebene Länge.
• Leite $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ aus der Kleinwinkelapproximation der Bewegungsgleichung her, wobei explizit angegeben werden muss, wo $\sin \theta \approx \theta$ verwendet wird und wie groß der daraus resultierende Fehler bei $30^\circ$ ist.
• Wende die Amplitudenkorrektur erster Ordnung T ≈ T an₀(1 + θ²/16) und bestimmen Sie, ob der vorhergesagte Unterschied zwischen den beiden Winkeln mit der verwendeten Timing-Methode nachweisbar ist.
• Diskutieren Sie, wie die eigene Masse und das Trägheitsmoment des Stabes die Periode verändern, und schreiben Sie den Ausdruck für das physikalische Pendel $T = 2\pi\sqrt{I / (m g d)}$, der die einfache Formel ersetzt.
• Schätzen Sie die Energie ab, die ein reales Pendel durch Luftwiderstand und Lagerreibung über fünf Schwingungen verlieren würde, und beschreiben Sie, wie die Amplitudendämpfung gemessen und zu deren Quantifizierung genutzt werden kann.

Labor-Grundausstattung

Instrumente

• Universelle Unterstützung
• Klemme
• Starrer beweglicher Stab (Pendelarm)
• Bleimasse (50 g)
• Winkelmesser
• Lineale (50 cm) × 2
• Stoppuhr / Timer

Produkte

• Keine – dieses Labor verwendet keine chemischen Reagenzien.