083 – La energía mecánica de un objeto en movimiento

Un péndulo oscilante es la demostración más clara en física de que la energía puede cambiar de forma sin cambiar de cantidad. Es también, históricamente, una de las más trascendentales: la constancia de la oscilación de un péndulo dio al mundo sus primeros relojes precisos, mantuvo ese papel durante casi tres siglos y todavía se utiliza para medir la gravedad local con la precisión suficiente como para mapear la densidad de la roca bajo un sitio de estudio. El mismo principio rige a un niño en un columpio, una bola de demolición, un monopatín en una rampa de medio tubo y el amortiguador suspendido que estabiliza un edificio alto con el viento.

La energía mecánica de un objeto es la suma de su energía potencial gravitatoria, E_p = m g h, y su energía cinética, E_k = ½ m v². Cuando no actúa la fricción, esa suma se conserva: lo que una forma pierde, la otra lo gana, instante tras instante. Un péndulo hace visible el intercambio porque separa ambas formas en el espacio. En los extremos del recorrido, la masa está momentáneamente en reposo en su punto más alto, por lo que la energía es enteramente potencial; en el fondo del arco, la masa está en su punto más rápido y más bajo, por lo que la energía es enteramente cinética. Cada posición intermedia contiene una mezcla cuyo total es siempre el mismo.

En este laboratorio suspenderá una masa de 50 g de una varilla rígida en un soporte universal, la separará a 15° de la vertical y medirá la altura a la que ha sido elevada por encima de su posición de reposo. Al soltarla, cronometrará cinco oscilaciones completas. Luego repetirá todo el procedimiento a 30°. A partir de las dos alturas calculará la energía potencial almacenada al inicio de cada oscilación, y a partir de la conservación de la energía mecánica deducirá la velocidad que alcanza la masa en el punto más bajo de su arco —una velocidad que el aparato nunca mide directamente, pero que el balance energético proporciona sin necesidad de hacerlo—.

Objetivos Educativos

Familiarización con el entorno del laboratorio

• Monte un péndulo en un soporte universal, ajustando la altura de la pinza de modo que la masa oscile sin tocar la mesa a una distancia conocida.
• Identifique la posición de reposo de la masa como el nivel de referencia a partir del cual se mide cada altura en el experimento.

Medición cuidadosa de longitud, ángulo y tiempo

• Establezca un ángulo de lanzamiento relativo a la vertical y lea una altura sobre la mesa con una regla, registrando ambos con la precisión que el instrumento permita.
• Mide cinco oscilaciones completas en lugar de una sola y explica por qué, al medir varias y dividir el resultado, se obtiene un período más preciso que al medir solo una.

Calculando la energía potencial gravitatoria

• Convierte las masas a kilogramos y las alturas a metros antes de sustituir, y calcula E_p = m g h con el desarrollo mostrado.
• Explica por qué solo el cambio en la altura importa, y por qué la elección del nivel de referencia no afecta el resultado.

Aplicación del principio de conservación de la energía mecánica

• Indica que E_p + E_k es constante en ausencia de fricción, e identifica los dos puntos del recorrido en los que uno de los términos es igual a cero.
• Calcula la velocidad máxima a partir de ½ m v² = m g h, y demuestra que la masa se anula en el resultado.

Relación entre el ángulo de liberación y la energía

• Relaciona la altura alcanzada con el ángulo de liberación mediante la fórmula h = L (1 − cos θ) y utilízala para calcular la longitud del péndulo a partir de las alturas medidas.
• Explicar por qué duplicar el ángulo de liberación casi cuadruplica la energía almacenada pero solo duplica la velocidad máxima.

Comprobación del modelo

• Prediga el período a partir de T = 2π√(L/g), compárelo con el tiempo medido para cinco oscilaciones y establezca qué es lo que establece la comparación.
• Explica qué haría un péndulo real tras muchas oscilaciones que este no hace, y adónde iría a parar la energía.

Protocolo

1. Cuelga una pinza en el soporte universal; lo más alto posible.
2. Cuelga un transportador en el pie del soporte universal.
3. Suspenda una varilla rígida móvil de la abrazadera. Permita una distancia de al menos 20 cm entre la masa del péndulo y la mesa.
4. Cuelga una masa de plomo de 50 gramos de la varilla rígida.
5. Utilizando las flechas rojas situadas a cada lado de la parte superior de la barra rígida; coloque el péndulo en un ángulo de 15° con respecto a la vertical.
6. Mide la altura inicial de la masa del péndulo con respecto a la mesa usando las reglas de 50 cm (toma la medida desde la parte superior de la masa).
7. Usando el cronómetro, mide el tiempo necesario para que el péndulo complete 5 oscilaciones completas (de ida y vuelta).
8. Activa el botón de inicio del cronómetro, lo que liberará el péndulo.
9. Cuando se hayan completado 5 oscilaciones (de un lado a otro), detenga el cronómetro.
10. La altura final cuando el péndulo alcance el otro extremo de su trayectoria será idéntica a la altura inicial (ya medida en el paso 6).

Los resultados, tiempo de oscilación y mediciones de altura, se registrarán en la tabla de resultados.

11. Reinicia el cronómetro.
12. Repita los pasos 5 a 10 colocando el péndulo en un ángulo de 30° con respecto a la vertical.
13. Verifica los datos recopilados en la tabla de resultados.

Resultados esperados

Las medidas. La masa es de 50 g = 0,050 kg y se considera que la aceleración de la gravedad es de 9,8 N/kg. La posición de reposo de la masa se encuentra a 20,0 cm por encima de la mesa, y ese es el nivel de referencia para todas las alturas inferiores.

Energía potencial en el momento de la liberación. Con la masa momentáneamente en reposo, toda su energía mecánica es potencial:

E_p = m g h

A 15°: E_p = 0,050 kg × 9,8 N/kg × 0,026 m = 0,013 J.
A 30°: E_p = 0.050 kg × 9,8 N/kg × 0,100 m = 0,049 J.

Velocidad máxima en el punto más bajo del columpio. En el punto más bajo, la masa ha regresado a su altura de reposo, por lo que su energía potencial relativa a ese nivel es cero y toda la energía mecánica se ha vuelto cinética. Igualando ambas,

½ m v² = m g h → v = √(2 g h)

La masa aparece en ambos lados y se cancela, lo cual es la línea más instructiva de esta página: la velocidad en el fondo no depende en absoluto de la masa. Una pesa de 50 g y una pesa de 500 g soltadas desde la misma altura llegan al fondo viajando exactamente a la misma velocidad, porque la más pesada almacena diez veces más energía pero también necesita diez veces más para alcanzar cualquier velocidad dada. Sustituyendo,

A 15°: v = √(2 × 9.8 × 0.026) = √0.5096 = 0,71 m/s.
A 30°: v = √(2 × 9,8 × 0,100) = √1,96 = 1,4 m/s.

Las mismas respuestas se siguen de v = √(2E)_k/m) utilizando las energías anteriores, como deben hacerlo; la segunda ruta es más rápida y muestra la independencia de la masa directamente.

Por qué doblar el ángulo no duplica la energía. La geometría del columpio da la elevación como h = L (1 − cos θ). Debido a que 1 − cos θ ≈ θ²para ángulos pequeños medidos en radianes, la altura —y por lo tanto la energía— crece con el cuadrado del ángulo de salida, mientras que la velocidad, al ser la raíz cuadrada de la energía, crece en proporción directa a ella. Los datos lo confirman exactamente: la energía aumenta de 0,013 J a 0,049 J, un factor de 3,8 donde θ² predice 4,0, y la velocidad aumenta de 0,71 a 1,4 m/s, un factor de 1,97 donde la predicción es 2,0. Un estudiante que espera que el doble del ángulo produzca el doble de energía se equivocará por un factor de dos, y vale la pena explicar la razón en lugar de limitarse a corregirla.

Para qué sirve la medición de tiempo. El protocolo indica que debes cronometrar cinco oscilaciones completas en cada ángulo, y esta es la parte del experimento que el cálculo anterior nunca toca. Su propósito es probar una afirmación separada y mucho menos obvia: que el período de un péndulo no depende de qué tan lejos se balancee. Para amplitudes pequeñas,

T = 2π √(L / g)

el cual no contiene ni la masa ni la amplitud. Con la longitud de 0,75 m implicada por las mediciones de altura, T = 2π √(0,75 / 9,8) = 2π × 0,277 = 1.74 s, por lo que cinco oscilaciones deberían tomar aproximadamente 8.7 s — y, de manera crucial, aproximadamente los mismos 8,7 s en ambos ángulos de suelta, a pesar de que el balanceo de 30° transporta casi cuatro veces la energía y viaja al doble de velocidad. La amplitud tiene un efecto pequeño, dado en primera aproximación por T ≈ T₀ (1 + θ²/16), lo que supone un aumento de 0,4 % a 15° y de 1,7 % a 30°; por lo tanto, cinco oscilaciones deberían durar aproximadamente 8,73 s y 8,84 s, lo que supone una diferencia de alrededor de una décima de segundo.

Un sistema cuya energía puede cuadruplicarse sin cambiar su periodo es la definición de un oscilador armónico, y esa propiedad —no la precisión de fabricación— es lo que hizo posible el reloj de péndulo: un reloj cuyo mecanismo de escape permite que la oscilación decaiga un poco marca la misma hora sin importar qué.

Resumen de la asignación por rango de calificación

Grados 9–10

Enfoque: observando el intercambio entre las dos formas de energía y midiendo las cantidades que lo describen.

• Monte el péndulo, ajuste el ángulo de liberación a 15° y mida la altura de la masa sobre la mesa en el momento de la liberación y en reposo; calcule la elevación.
• En el columpio, la masa se encuentra en su punto más alto en los dos extremos del movimiento (cuando está completamente extendida hacia adelante o hacia atrás), es más rápida en el punto más bajo (el centro de la trayectoria) y se detiene momentáneamente en los dos puntos más altos antes de cambiar de dirección.
• Calcula la energía potencial en el momento de la liberación en E_p = m g h, convirtiendo los gramos a kilogramos y los centímetros a metros antes de sustituir.
• Cronometra cinco oscilaciones y divide entre cinco para obtener el periodo; repite a 30° e indica si el periodo cambió.

Undécimo grado

Enfoque: utilizar la conservación de la energía mecánica para obtener una cantidad que el aparato nunca mide.

• Establezca la conservación de la energía mecánica e identifique el punto en el columpio donde E_p = 0 y el punto donde E_k = 0.
• Calcula la velocidad máxima en ambos ángulos a partir de ½ m v² = m g h, mostrando la sustitución completa una vez.
• Demuestra algebraicamente que la masa se cancela y predice qué le pasaría a la velocidad y a la energía si la masa de 50 g fuera reemplazada por una masa de 100 g.
• Use h = L (1 − cos θ) para calcular la longitud del péndulo a partir de cada lectura de altura, y comente si las dos coinciden.
• Calcula la relación de las energías y de las velocidades entre los dos ángulos, y explica por qué una relación es de aproximadamente cuatro y la otra de aproximadamente dos.
• Predice el período a partir de T = 2π√(L/g) y compáralo con el tiempo medido para cinco oscilaciones.

12.º curso / Nivel universitario

Enfoque: derivación y el modelo del péndulo.

• Deriva v = √(2gh) a partir de la conservación de la energía mecánica y h = L (1 − cos θ), y obtén la velocidad máxima en función únicamente del ángulo de suelta para una longitud dada.
• Derive T = 2π√(L/g) a partir de la aproximación de ángulos pequeños de la ecuación de movimiento, indicando explícitamente dónde se utiliza sin θ ≈ θ y cuán grande es el error resultante a 30°.
• Aplicar la corrección de amplitud de primer orden T ≈ T₀(1 + θ²/16) y determine si la diferencia predicha entre los dos ángulos es detectable con el método de temporización utilizado.
• Analice cómo la masa propia de la varilla y el momento de inercia modifican el periodo, y escriba la expresión del péndulo físico T = 2π√(I / m g d) que reemplaza a la fórmula simple.
• Estime la energía que un péndulo real perdería por la resistencia del aire y la fricción del pivote durante cinco oscilaciones, y describa cómo se podría medir y utilizar la disminución de la amplitud para cuantificarla.

Esenciales de laboratorio

Instrumentos

• Soporte universal
• Pinza
• Varilla rígida móvil (brazo del péndulo)
• Masa de plomo (50 g)
• Transportador de ángulos
• Reglas (50 cm) × 2
• Cronómetro / temporizador

Productos

• Ninguno — este laboratorio no utiliza reactivos químicos.