056 – La relazione tra la temperatura di un gas e il suo volume

Riscalda un gas e questo si espande. Quel semplice fatto tiene una mongolfiera in cielo, muove la convezione che fa circolare l'aria in una stanza, fa lievitare il pane ed è il motivo per cui la spia della pressione dei pneumatici di un'auto si accende durante la prima fredda mattina d'inverno. Espressa quantitativamente, è la legge di Charles: per una quantità fissa di gas mantenuta a pressione costante, il volume è direttamente proporzionale alla assoluto temperatura, V / T = costante. La parola assoluta sta facendo il lavoro — la proporzionalità vale solo quando la temperatura viene contata dal punto in cui il movimento molecolare cesserebbe, non dal punto di congelamento dell'acqua.

La ragione è la stessa immagine cinetica che spiega la legge di Boyle, vista al contrario. La temperatura stabilisce la velocità con cui si muovono le molecole. Scaldate il gas e ogni molecola urta la parete con più forza e più spesso, perciò se fosse confinato la pressione salirebbe. Qui non è confinato: il gas è libero di spingere il proprio stantuffo lungo il tubo finché non si è espanso a sufficienza perché gli urti tornino a bilanciare la pressione della stanza all'esterno. Il volume in cui si stabilizza è proporzionale alla temperatura assoluta.

In questo laboratorio intrappolerete una breve colonna d'aria in un tubo capillare di vetro di 0,5 mm di raggio interno, sigillato nella parte superiore da una goccia di olio d'oliva che scorre liberamente e non perde nulla. Il tubo è fissato accanto a un righello e immerso in un becher di acqua ghiacciata su una piastra riscaldante agitata. Riscaldando il bagno a intervalli di circa dieci gradi e leggendo l'altezza del fondo della goccia a ogni plateau si ottengono dieci coppie corrispondenti di temperatura e lunghezza. Poiché il foro è uniforme, l'altezza è il volume a meno di un fattore costante, quindi un grafico dell'altezza in funzione della temperatura è un grafico della legge di Charles — e il punto in cui quella linea retta raggiunge un'altezza zero è lo zero assoluto, ricavato da un banco in una stanza calda.

Obiettivi Educativi

Familiarizzazione con l'ambiente di laboratorio

• Identificare il capillare, il paraolio, il bagno d'acqua, l'agitatore magnetico e il righello fissato con un morsetto, e indicare il ruolo di ciascuno.
• Spiegare perché la colonna intrappolata deve trovarsi completamente al di sotto della linea dell'acqua e perché né il tubo né il termometro devono toccare la parete del becher.

Preparazione di un campione sigillato

• Riscaldare uniformemente il capillare e aspirare un tappo d'olio da 5 mm a 1 cm nell'estremità aperta mentre il tubo si raffredda, e spiegare perché l'aria che si raffredda aspira l'olio.
• Maneggiare la vetreria calda con guanti termici e spegnere il becco di Bunsen prima di passare alla Parte B.

Misurazione e registrazione dei dati

• Leggi la temperatura dell'acqua e l'altezza del fondo della goccia d'olio solo dopo che la lettura si è stabilizzata, e spiega perché l'agitatore è importante.
• Registra dieci coppie corrispondenti nell'intervallo di temperatura più ampio consentito dal bagno, anziché due punti agli estremi.

Trattamento quantitativo della legge di Charles

• Converti ogni lettura da Celsius a kelvin e verifica se h / T è costante.
• Converti un'altezza in un volume con V = πr²e dimostrare che la scelta delle unità di misura non influisce sul test.
• Tracciare l'altezza in funzione della temperatura in Celsius, adattare una linea retta ed estrapolarla a zero altezza per individuare lo zero assoluto.

Valutazione critica della misurazione

• Stima la pressione che il tappo dell'olio stesso aggiunge e dimostra che è trascurabile rispetto alla pressione atmosferica.
• Spiega perché è necessario utilizzare l'intera gamma di temperature per l'estrapolazione.

Protocollo

PARTE A: La preparazione del capillare

1. Sopra la piastra riscaldante; fissare un morsetto universale a ciascuno dei due supporti.
2. Utilizzando il contagocce; prelevare dell'olio d'oliva e mettere due gocce di olio sul vetrino da orologio.
3. Accendi il becco Bunsen.
4. Usando guanti termici; scaldare il tubicino capillare per tutta la sua lunghezza esponendolo alla fiamma facendo movimenti avanti e indietro per circa 20 secondi.
5. Posizionare l'estremità aperta (l'estremità trasparente) del tubo molto caldo sulle gocce d'olio preparate nel passaggio 1. L'olio dovrebbe salire da solo nel tubo capillare.
6. Riposizionare il tubicino in verticale (con l'estremità aperta rivolta verso l'alto) e attendere alcuni secondi affinché si raffreddi.
7. Attaccare il capillare alla pinza universale del supporto destro; posizionando l'estremità aperta (trasparente) verso l'alto.
8. Spegnere il becco Bunsen.

• La goccia d'olio nel tubicino capillare dovrebbe avere uno spessore compreso tra 5 mm e 1 cm.

PARTE B: Misurazione della relazione volume-temperatura

9. Posizionare il becher da 250 mL sulla piastra riscaldante (non accendere la piastra riscaldante).
10. Posizionare l'agitatore magnetico nel becher.
11. Attaccare il termometro al morsetto universale del supporto sinistro e posizionarlo verticalmente nel becher da 250 mL. Né il tubo capillare né il termometro devono toccare le pareti del becher.
12. Fissare il righello dietro il capillare per misurare l'altezza della goccia d'olio.
13. Prendi il becher contenente il ghiaccio e aggiungi 250 mL di acqua di rubinetto fredda.
14. Quindi versare l'acqua fredda e il ghiaccio nel becher contenente il tubo capillare. Il livello dell'acqua deve superare quello della goccia d'olio.
15. Osserva la temperatura dell'acqua e l'altezza del fondo della goccia d'olio una volta che la temperatura si è stabilizzata.
16. Avviare l'agitatore sulla piastra riscaldante.
17. Avvia il cronometro.
18. Accendi la piastra riscaldante a bassa intensità (20°C) e attendi che la temperatura salga di circa dieci gradi.
19. Nella tabella dei risultati; osservare la temperatura dell'acqua e l'altezza del fondo della goccia d'olio una volta che la temperatura si è stabilizzata. Noterete il cambiamento dell'altezza della goccia in base alle variazioni della temperatura dell'acqua.
20. Ripeti i passaggi 18 e 19 aumentando la temperatura della piastra di ulteriori 10 gradi.
21. Spegni la piastra e aspetta che tutto si raffreddi.

• Nota: L'interno del capillare ha un raggio di 0,5 mm.

Risultati Previsti

Risultati attesi

Il foro del capillare è uniforme, quindi l'aria intrappolata occupa un cilindro di sezione trasversale πr² = π × (0,5 mm)² = 0,785 mm². Il suo volume è quindi V = 0,785 × h, con h in millimetri e V in mm³³, e poiché 1 mm³ = 1 µL l'altezza in millimetri si converte in un volume in microlitri tramite quell'unico fattore: 47,3 mm → 37,1 µL, 62,1 mm → 48,8 µL. Poiché il fattore è lo stesso a ogni temperatura, testare V ∝ T e testare h ∝ T sono lo stesso test, e il solo righello è sufficiente.

Cosa dicono i numeri

La legge di Charles stabilisce che V₁ / T₁ = V₂ / T₂ per una data quantità di gas a pressione costante, con T espresso in kelvin. Considerando i due estremi della serie: 47,3 mm / 277,2 K = 0,1706 mm/K e 62,1 mm / 364,2 K = 0,1705 mm/K. Ogni lettura intermedia fornisce lo stesso valore con una tolleranza di 0,03 %. Detto in altro modo, la temperatura aumenta di un fattore pari a 364,2 / 277,2 = 1,314 nel corso della serie e la colonna si allunga di 62,1 / 47,3 = 1,313 — i due rapporti coincidono con una precisione di una parte su mille, il che costituisce l’intero contenuto della legge.

Trovare lo zero assoluto senza andargli minimamente vicino

Questo è il motivo per cui l'esperimento è sopravvissuto per due secoli. Traccia l'altezza di caduta rispetto al Celsius la temperatura e i punti cadono su una linea retta, h = 0,1705 t + 46,6, dove la pendenza è in mm per °C e l'intercetta è l'altezza che la colonna avrebbe a 0 °C. Prolungando quella linea all'indietro fino a h = 0, essa raggiunge t = −46,6 / 0,1705 = −273 °C. Nessun elemento dell'apparecchio scende sotto i 4 °C; lo zero della scala assoluta viene trovato per estrapolazione da un becher di acqua tiepida, e il fatto che si ottenga la stessa intercetta qualunque sia il gas utilizzato è ciò che la rende una proprietà della temperatura anziché dell'aria.

Perché la pressione è davvero costante

La goccia d'olio è libera di scorrere, quindi l'aria intrappolata si trova sempre alla pressione dell'ambiente più due piccole correzioni. Il peso del tappo stesso contribuisce ρgL: per l'olio d'oliva a circa 910 kg/m³ e un tappo di 7 mm che è 910 × 9,81 × 0,007 = 62 Pa, sei centesimi dell'uno percento della pressione atmosferica. La tensione superficiale contribuisce con 2γ/r a ogni menisco, circa 2 × 0,032 / 0,0005 = 128 Pa, ma i due menisco si curvano in sensi opposti e si cancellano quasi perfettamente; sopravvive solo la loro differenza. Entrambe le correzioni sono ben al di sotto di qualsiasi cosa un righello millimetrato potrebbe rivelare, motivo per cui la condizione di pressione costante può essere considerata esattamente soddisfatta.

La quantità di gas e il quadro cinetico

Da n = PV / RT alla prima lettura, n = (101 325 Pa × 3,71 × 10⁻⁸ m³) / (8.314 J·mol⁻¹·K⁻¹ × 277.2 K) = 1.63 × 10^{meno sei} mol — circa 47 µg di aria, circa 9,8 × 10¹⁷ molecole. Tale numero è determinato dalla guarnizione d’olio e non varia. Riscaldando il campione da 277 K a 364 K, la velocità molecolare quadratica media aumenta solo di √(364/277) = 1,15, ovvero del quindici per cento, mentre il volume cresce di ben 31 %: le molecole accelerano in proporzione alla radice quadrata della temperatura, ma il gas deve espandersi in proporzione diretta a essa, poiché la pressione dipende sia dall’intensità che dalla frequenza degli urti molecolari, e il gas si espande proprio in modo tale che il tasso di arrivo per unità di superficie rimanga in equilibrio con quello dell’ambiente esterno.

Riepilogo del compito per intervallo di voti

Classe 9-10

Concentrati. Osservazione e vocabolario. Gli studenti osservano che il riscaldamento di un gas lo fa espandere e imparano che il sigillo deve scorrere liberamente affinché la pressione rimanga costante.

• Prepara il capillare, cattura la goccia d'olio e descrivi cosa le accade man mano che il bagno si riscalda.
• Registra cinque letture abbinate della temperatura dell'acqua e dell'altezza di caduta e inseriscile in una tabella.
• Traccia l'altezza in funzione della temperatura a mano e descrivi il risultato come una linea retta anziché come una curva.
• Spiega a parole perché la goccia si muove verso l'alto anziché far aumentare la pressione.

Undicesimo anno

Concentrati. Trattamento quantitativo. Gli studenti convertono in kelvin, verificano la proporzionalità numerica ed eseguono l'estrapolazione che fornisce lo zero assoluto.

• Prendi tutte e dieci le letture, converti ciascuna in Kelvin e aggiungi una colonna di h / T; dichiara la sua media e la sua dispersione.
• Converti due altezze in volumi con V = πr²e confermano che V / T fornisce la stessa costanza di h / T.
• Riporta l'altezza in grafico rispetto alla temperatura in Celsius, interpola con una linea retta e ricava sia la pendenza che l'intercetta.
• Estrapola la retta a un'altezza pari a zero e indica la temperatura che raggiunge, con un commento su quanto quel punto si trovi al di fuori dei dati.

12ª classe / Livello universitario

Concentrati. Derivazione, analisi degli errori e interpretazione indipendente.

• Ricavare V ∝ T da PV = nRT e identificare esattamente quali quantità l'apparecchio mantiene fisse e tramite quale meccanismo.
• Calcolare la quantità di aria intrappolata in moli, microgrammi e molecole, e dimostrare che rimane invariata nel corso della prova.
• Stimare i contributi idrostatici e dovuti alla tensione superficiale del tappo d’olio e dimostrare che l’ipotesi di pressione costante è valida con un’approssimazione migliore di 0,1 %.
• Spiegazione dell'aumento della velocità quadratica media delle molecole come $\sqrt{T}$ rispetto all'aumento del volume come $T$, e loro riconciliazione tramite l'equazione $P = \frac{1}{3}\left(\frac{N}{V}\right)m\langle v^2 \rangle$. 1. **Perché la velocità quadratica media ($v_{\text{rms}}$) cresce come $\sqrt{T}$:** Dalla teoria cinetica dei gas, l'energia cinetica traslazionale media di una molecola è direttamente proporzionale alla temperatura assoluta ($T$): $$\frac{1}{2}m \langle v^2 \rangle = \frac{3}{2}k_B T$$ Risolvendo per la velocità quadratica media ($v_{\text{rms}} = \sqrt{\langle v^2 \rangle}$), otteniamo: $$v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3k_B T}{m}}$$ Poiché la massa $m$ e la costante di Boltzmann $k_B$ sono costanti, $v_{\text{rms}}$ è direttamente proporzionale a $\sqrt{T}$. 2. **Perché il volume ($V$) cresce come $T$ (Legge di Charles):** A pressione ($P$) costante, il volume di un gas ideale è direttamente proporzionale alla temperatura assoluta ($T$): $$V \propto T$$ Questo significa che se la temperatura aumenta, il gas si espande proporzionalmente per mantenere la pressione costante. 3. **Riconciliazione tramite l'equazione $P = \frac{1}{3}\left(\frac{N}{V}\right)m\langle v^2 \rangle$:** Possiamo riscrivere l'equazione della pressione per esprimere la temperatura o l'energia cinetica. Poiché $\frac{1}{2}m\langle v^2 \rangle = \frac{3}{2}k_B T$, possiamo sostituire $m\langle v^2 \rangle$ con $3k_B T$: $$P = \frac{1}{3} \left(\frac{N}{V}\right) (3k_B T)$$ $$P = \frac{N k_B T}{V}$$ Da questa espressione, riorganizzando per il volume $V$, otteniamo: $$V = \frac{N k_B T}{P}$$ A pressione costante ($P$), il volume $V$ è direttamente proporzionale al prodotto tra il numero di molecole $N$ e la temperatura $T$ ($V \propto T$). Se ora sostituiamo la dipendenza della velocità ($v_{\text{rms}}^2 \propto T$) nell'equazione di pressione originale, otteniamo: $$P \propto \frac{1}{V} \cdot (v_{\text{rms}}^2)$$ Poiché $v_{\text{rms}}^2 \propto T$, la relazione diventa: $$P \propto \frac{T}{V}$$ Da ciò risulta evidente che: - Se la **pressione è costante** ($P = \text{costante}$), un aumento della temperatura ($T \propto v_{\text{rms}}^2$) deve essere bilanciato da un aumento proporzionale del volume ($V \propto T$), affinché il rapporto $\frac{T}{V}$ rimanga costante. - Fisicamente, quando la temperatura aumenta, le molecole si muovono più velocemente ($v_{\text{rms}} \propto \sqrt{T}$) e urtano le pareti con maggiore forza e frequenza. Per mantenere la pressione costante, il volume deve espandersi linearmente con la temperatura ($V \propto T$), aumentando la distanza tra le pareti e riducendo la densità numerica $\left(\frac{N}{V}\right)$ in modo da compensare esattamente l'aumento del quadrato della velocità molecolare.²〉.
• Discuti cosa l'esperimento può e non può dire sullo zero assoluto, dato che l'aria si liquefà vicino a 80 K.

Materiale essenziale di laboratorio

Strumenti

• Becher (250 mL)
• Bunsen
• Tubo capillare
• Contagocce
• Piastra riscaldante
• Supporto da laboratorio e morsetti
• Agitatore magnetico
• Righello
• Termometri
• Timer
• Vetrino da orologio
• Guanti termici

Prodotti

• Olio d'oliva
• Ghiaccio
• Acqua fredda del rubinetto