056 – Vztah mezi teplotou plynu a jeho objemem

Ohřejte plyn a ten se roztáhne. Právě tento jediný fakt drží horkovzdušný balón na obloze, pohání konvekci, která cirkuluje vzduch v místnosti, způsobuje kynutí chleba a je důvodem, proč se během prvního chladného zimního rána rozsvítí kontrolka tlaku v pneumatikách auta. Kvantitativně vyjádřeno jde o Charlesův zákon: pro dané množství plynu udržovaného při konstantním tlaku je objem přímo úměrný absolutní teplota, V / T = konstanta. Slovo absolutní zde hraje klíčovou roli — úměrnost platí pouze tehdy, když je teplota počítána od bodu, kde by molekulární pohyb ustal, nikoli od bodu mrazu vody.

Důvodem je stejný kinetický obraz, který vysvětluje Boyleův zákon, obrácený naruby. Teplota určuje, jak rychle se molekuly pohybují. Ohřejte plyn a každá molekula dopadá na stěnu silněji a častěji, takže kdyby byl uzavřen, tlak by stoupl. Zde uzavřen není: plyn může volně tlačit svou přepážku podél trubice, dokud se dostatečně neroztáhne, aby srážky opět vyrovnaly tlak okolní místnosti. Objem, na kterém se ustálí, je úměrný absolutní teplotě.

V této laboratoři zachytíte krátký sloupec vzduchu ve skleněné kapiláře o vnitřním poloměru 0,5 mm, utěsněné nahoře kapkou olivového oleje, která volně klouže a nic nepropouští. Trubice je upevněna vedle pravítka a ponořena do kádinky s ledovou vodou na mírněné varné desce. Ohříváním lázně po krocích přibližně o deset stupňů a odečítáním výšky spodní části kapky na každé plošině získáte deset shodných dvojic teploty a délky. Protože je vnitřní průměr rovnoměrný, výška je objem až na konstantní faktor, takže graf výšky proti teplotě je grafem Charlesova zákona — a bod, kde tato přímka dosáhne nulové výšky, je absolutní nula, určená z lavice v teplé místnosti.

Vzdělávací cíle

Seznámení s laboratorním prostředím

• Identifikujte kapiláru, olejovou lázeň, vodní lázeň, magnetické míchadlo a upevněné pravítko a uveďte roli každého z nich.
• Vysvětlete, proč musí být uvězněný sloupec zcela pod hladinou vody a proč se ani trubka, ani teploměr nesmí dotýkat stěny kádinky.

Příprava zapečetěného vzorku

• Zahřejte kapiláru rovnoměrně a při chlazení trubičky natáhněte do otevřeného konce olejovou zátku o délce 5 mm až 1 cm a vysvětlete, proč ochlazující se vzduch olej vtahuje dovnitř.
• S horkým sklem manipulujte v tepelných rukavicích a před přechodem na část B vypněte Bunsenův kahan.

Měření a záznam dat

• Teplotu vody a výšku dna olejové kapky odečtěte až po ustálení hodnot a vysvětlete, proč je míchadlo důležité.
• Zaznamenejte deset spárovaných bodů v co nejširším teplotním rozsahu, který lázeň umožňuje, namísto dvou bodů na extrémech.

Kvantantitativní zpracování Charlesova zákona

• Převeďte každou hodnotu ve stupních Celsia na kelviny a otestujte, zda je h / T konstantní.
• Převést výšku na objem pomocí V = πr²h a ukažte, že volba jednotek neovlivňuje test.
• Vynesťte výšku proti Celsiově teplotě, proložte přímkou a extrapolujte ji na nulovou výšku, abyste nalezli absolutní nulu.

Kritické hodnocení měření

• Odhadněte tlak, který sama olejová zátka přidává, a ukažte, že je zanedbatelný vedle atmosférického tlaku.
• Vysvětlete, proč musí být pro extrapolaci použitý celý teplotní rozsah.

Protokol

ČÁST A: Příprava kapiláry

1. Nad topnou deskou; připevněte univerzální svorku ke každé ze dvou podpěr.
2. Pomocí kapátka naberte trochu olivového oleje a naneste dvě kapky oleje na hodinkové sklíčko.
3. Zapálit plynový kahan.
4. Pomocí tepelně odolných rukavic zahřejte kapilární trubičku po celé její délce vystavením plameni za současného pohybu dopředu a dozadu po dobu přibližně 20 sekund.
5. Přiložte otevřený konec (průhledný konec) velmi horké zkumavky na olejové kapky připravené v kroku 1. Olej by měl sám stoupat do kapiláry.
6. Vraťte zkumavku do vzpřímené polohy (otevřeným koncem nahoru) a počkejte několik sekund, až vychladne.
7. Připevněte kapiláru k univerzální svorce pravé podpěry; průhledný konec umístěte směrem nahoru.
8. Vypněte kahan.

• Kapka oleje v kapilární trubici by měla mít tloušťku mezi 5 mm a 1 cm.

ČÁST B: Měření vztahu mezi objemem a teplotou

9. Položte 250ml kádinku na plotýnku (plotýnku nezapínejte).
10. Umístěte magnetické míchadlo do kádinky.
11. Připevněte teploměr k univerzální svorce levého stojanu a svisle jej vložte do 250ml kádinky. Nádobka teploměru ani kapilára by se neměly dotýkat stěn kádinky.
12. Připevněte pravítko za kapilární zkumavku pro měření výšky kapky oleje.
13. Vezměte kahanec obsahující led a přidejte do něj 250 ml studené vody z vodovodu.
14. Poté nalijte studenou vodu a led do kádinky obsahující kapiláru. Hladina vody musí přesahovat hladinu olejové kapky.
15. Sledujte teplotu vody a výšku spodní části olejové kapky, jakmile se teplota ustálí.
16. Zapněte míchadlo na plotýnce.
17. Spusťte stopky.
18. Zapněte varnou desku na nízkou intenzitu (20 °C) a počkejte, až teplota stoupne asi o deset stupňů.
19. V tabulce výsledků pozorujte teplotu vody a výšku dna olejové kapky, jakmile se teplota ustálí. Zaznamenáte změnu výšky kapky v závislosti na změnách teploty vody.
20. Zopakujte kroky 18 a 19 a zvyšte teplotu plotýnky o dalších 10 stupňů.
21. Vypněte plotýnku a počkejte, až vše vychladne.

• Poznámka: Vnitřní poloměr kapilární trubice je 0,5 mm.

Předvídané výsledky

Očekávané výsledky

Průřez kapiláry je rovnoměrný, takže zachycený vzduch zaujímá válec o průřezu πr² = π × (0,5 mm)² = 0,785 mm². Jeho objem je tedy V = 0,785 × h, přičemž h je v milimetrech a V v mm³, a od 1 mm³ = 1 µL se výška v milimetrech přepočítá na objem v mikrolitrech pomocí jediného faktoru: 47,3 mm → 37,1 µL, 62,1 mm → 48,8 µL. Jelikož je tento faktor při každé teplotě stejný, je testování vztahu V ∝ T a testování h ∝ T totožné a k měření stačí samotné pravítko.

Co říkají čísla

Charlesův zákon uvádí, že V₁ / T₁ = V₂ / T₂ pro dané množství plynu při konstantním tlaku, kde T je v kelvinech. Vezmeme-li dva krajní body řady: 47,3 mm / 277,2 K = 0,1706 mm/K a 62,1 mm / 364,2 K = 0,1705 mm/K. Každá mezilehlá hodnota dává stejný výsledek s odchylkou do 0,03 %. Jinými slovy, teplota stoupá o faktor 364,2 / 277,2 = 1,314 a sloupec se prodlouží o 62,1 / 47,3 = 1,313 — tyto dva poměry se shodují s přesností na jednu tisícinu, což je celý obsah tohoto zákona.

Jak dosáhnout absolutní nuly, aniž byste se k ní kdekoli přiblížili

To je důvod, proč experiment přežil dvě století. Vyneste výšku pádu proti Celsia teplota a body leží na přímce, h = 0,1705 t + 46,6, kde směrnice je v mm na °C a úsek na svislé ose je výška, kterou by sloupec měl při 0 °C. Prodloužíme-li tuto přímku zpětně do h = 0, dosáhne hodnoty t = −46,6 / 0,1705 = −273 °C. Nic v aparatuře neklesne pod 4 °C; nula absolutní stupnice se zjišťuje extrapolací z kádinky s teplou vodou a skutečnost, že bez ohledu na použitý plyn vychází stejný úsek na ose, z toho dělá vlastnost teploty, a nikoli vzduchu.

Proč je tlak opravdu konstantní

Kapka oleje může volně klouzat, takže uvězněný vzduch je vždy na tlaku místnosti plus dvě malé korekce. Hmotnost samotné zátky přispívá hodnotou ρgL: pro olivový olej přibližně 910 kg/m³ a 7 mm zástrčka, která je 910 × 9,81 × 0,007 = 62 Pa, šest setin jednoho procenta atmosférického tlaku. Povrchové napětí přispívá hodnotou 2γ/r na každém menisku, přibližně 2 × 0,032 / 0,0005 = 128 Pa, ale oba menisky se zakřivují opačným směrem a téměř se vyruší; zbývá pouze jejich rozdíl. Obě korekce jsou daleko pod tím, co by milimetrové pravítko mohlo odhalit, což je důvod, proč lze podmínku konstantního tlaku považovat za přesně splněnou.

Množství plynu a kinetický obraz

Z n = PV / RT při prvním měření vychází n = (101 325 Pa × 3,71 × 10⁻⁸ m³) / (8,314 J·mol⁻¹·K⁻¹ × 277,2 K) = 1,63 × 10⁻⁶ mol — přibližně 47 µg vzduchu, zhruba 9,8 × 10¹⁷ molekul. Tento počet je daný olejovým těsněním a nemění se. Zahřátí vzorku z 277 K na 364 K zvyšuje střední kvadratickou rychlost molekul pouze o √(364/277) = 1,15, tedy o patnáct procent, zatímco objem se zvětší o plných 31 %: molekuly zrychlují úměrně druhé odmocnině teploty, ale plyn se musí rozpínat přímo úměrně k ní, protože tlak závisí jak na síle, tak na frekvenci nárazů molekul, a plyn se rozpíná přesně tak, aby počet molekul dopadajících na jednotku plochy zůstal stejný jako v okolním prostoru.

Shrnutí úkolů podle věkové kategorie

9. až 10. ročník

Soustřeď se. Pozorování a slovní zásoba. Studenti vidí, že ohřívání plynů zvětšuje jejich objem, a učí se, že těsnění se musí volně pohybovat, aby tlak zůstal konstantní.

• Připravte kapiláru, zachyťte olejovou kapku a popište, co se s ní stane, když se lázeň zahřeje.
• Zaznamenejte pět spárovaných měření teploty vody a výšky kapádu a zadejte je do tabulky.
• Vykreslete výšku v závislosti na teplotě ručně a popište výsledek spíše jako přímku než křivku.
• Odpovězte slovy, proč kapka stoupá nahoru namísto toho, aby tlak stoupal.

11. ročník

Soustřeď se. Kvantitativní zpracování. Studenti převedou hodnoty na kelviny, numericky otestují úměrnost a provedou extrapolaci, která vede k absolutní nule.

• Vezměte všech deset naměřených hodnot, převeďte každou na kelviny a přidejte sloupec h / T; uveďte jeho průměr a rozptyl.
• Převést dvě výšky na objemy pomocí V = πr²h a potvrdit, že V / T dává stejnou konstantu jako h / T.
• Zaneste výšku do grafu proti teplotě ve stupních Celsia, proložte data přímkou a odečtěte jak směrnici, tak úsek na ose y.
• Extrapolujte přímku na nulovou výšku a uveďte teplotu, které dosáhne, s komentářem o tom, jak daleko mimo naměřená data tento bod leží.

12. ročník / Úroveň college

Soustřeď se. Odvození, analýza chyb a nezávislá interpretace.

• Odvození $V \propto T$ z rovnice $PV = nRT$: Za předpokladu, že tlak ($P$) a množství látky ($n$) jsou konstantní, vydělíme obě strany rovnice $PV = nRT$ tlakem $P$: $V = \left(\frac{nR}{P}\right)T$ Protože $n$ (množství látky), $R$ (univerzální plynová konstanta) a $P$ (tlak) jsou konstantní, lze výraz $\frac{nR}{P}$ nahradit jedinou konstantou $k$: $V = kT$, což lze zapsat jako $V \propto T$ (Charleův zákon). Identifikace fixních veličin a mechanismus: 1. Tlak ($P$): Aparatura udržuje tlak konstantní obvykle pomocí volně se pohybujícího pístu nebo flexibilní stěny (např. v pístovém válci), která umožňuje vnějšímu atmosférickému tlaku (příp. přidané zátěži) působit na plyn a vyrovnávat vnitřní tlak. 2. Množství látky ($n$): Aparatura udržuje množství látky konstantní tím, že je uzavřená (hermeticky těsná), což zabraňuje úniku nebo přítoku plynů.
• Spočtěte množství zachyceného vzduchu v molech, mikrozámech a molekulách a ukažte, že se během měření nemění.
• Odhadněte příspěvky hydrostatického tlaku a povrchového napětí v olejové zátce a ukažte, že předpoklad konstantního tlaku platí s přesností lepší než 0,1 %.
• Vysvětlení, proč střední kvadratická rychlost molekul roste s odmocninou z teploty ($\sqrt{T}$), zatímco objem roste lineárně s teplotou ($T$), a jejich vzájemné urovnání pomocí rovnice $P = \frac{1}{3}\left(\frac{N}{V}\right)m\langle v^2 \rangle$: 1. **Střední kvadratická rychlost ($v_{rms} \propto \sqrt{T}$):** Podle kinetické teorie plynů je střední kinetická energie jedné molekuly přímo úměrná absolutní teplotě: $\frac{1}{2}m\langle v^2 \rangle = \frac{3}{2}k_B T$. Z této rovnice vyplývá, že $\langle v^2 \rangle$ je přímo úměrná $T$. Když vyjádříme střední kvadratickou rychlost $v_{rms} = \sqrt{\langle v^2 \rangle}$, dostáváme závislost na odmocnině z teploty: $v_{rms} \propto \sqrt{T}$. 2. **Objem ideálního plynu ($V \propto T$):** Podle Charlesova zákona (za konstantního tlaku) je objem ideálního plynu přímo úměrný absolutní teplotě ($V \propto T$). 3. **Urovnání pomocí rovnice $P = \frac{1}{3}\left(\frac{N}{V}\right)m\langle v^2 \rangle$:** Tuto rovnici lze upravit tak, aby vyjadřovala tlak nebo objem. Přepíšeme ji pro objem $V$: $V = \frac{1}{3} \frac{N m \langle v^2 \rangle}{P}$ Nyní do tohoto vztahu dosadíme závislosti na teplotě: * Čitatel obsahuje $m\langle v^2 \rangle$, což je (až na konstantu) kinetická energie, která je přímo úměrná teplotě $T$. * Pokud předpokládáme konstantní tlak ($P$) a stálý počet částic ($N$), chování $V$ závisí čistě na chování $\langle v^2 \rangle$. * Protože $\langle v^2 \rangle \propto T$, musí být i $V \propto T$. Zdánlivý rozpor, kdy $v_{rms} roste s \sqrt{T}$, ale $V$ roste s $T$ (což znamená, že $\langle v^2 \rangle$ roste s $T$), je tímto plně vyřešen: objem není úměrný rychlosti ($v$), ale kvadrátu rychlosti ($\langle v^2 \rangle$). Protože $\langle v^2 \rangle$ roste lineárně s $T$, objem $V$ musí také růst lineárně s $T$.²〉.
• Diskutujte o tom, co experiment může a nemůže říci o absolutní nule, vzhledem k tomu, že vzduch se zkapalňuje přibližně při 80 K.

Laboratorní potřeby

Nástroje

• Kádinka (250 ml)
• Bunsenův kahan
• Kapilára
• Kapátko
• Plotýnka
• Stojan a svorky
• Magnetické míchadlo
• Pravítko
• Teploměry
• Časovač
• Watch glass
• Termo rukavice

Produkty

• Olivový olej
• Led
• Studená voda z kohoutku