056 – La relación entre la temperatura y el volumen de un gas

Calienta un gas y este se expande. Ese único hecho mantiene un globo aerostático en el cielo, impulsa la convección que hace circular el aire en una habitación, hace que el pan suba y es la razón por la que se enciende la luz de advertencia de la presión de los neumáticos de un coche durante la primera mañana fría del invierno. Expresado cuantitativamente, es la ley de Charles: para una cantidad fija de gas mantenida a presión constante, el volumen es directamente proporcional a la absoluto temperatura, V / T = constante. La palabra absoluto está haciendo el trabajo — la proporcionalidad solo se cumple cuando la temperatura se cuenta desde el punto en que cesaría el movimiento molecular, y no desde el punto de congelación del agua.

La razón es el mismo cuadro cinético que explica la ley de Boyle, reproducido a la inversa. La temperatura determina la rapidez con la que se mueven las moléculas. Si se calienta el gas, cada molécula llega a la pared con más fuerza y más frecuencia, por lo que, si estuviera confinada, la presión aumentaría. Aquí no está confinada: el gas es libre de empujar su sello a lo largo del tubo hasta que se ha extendido lo suficiente como para que los choques vuelvan a equilibrar la presión de la habitación exterior. El volumen en el que se estabiliza es proporcional a la temperatura absoluta.

En este laboratorio atrapará una columna corta de aire en un tubo capilar de vidrio de 0,5 mm de radio interno, sellado en la parte superior por una gota de aceite de oliva que se desliza libremente y no presenta fugas. El tubo se sujeta junto a una regla y se sumerge en un vaso de precipitados con agua helada sobre una placa calefactora con agitador. Calentar el baño en intervalos de unos diez grados y leer la altura de la base de la gota en cada meseta proporciona diez pares coincidentes de temperatura y longitud. Debido a que el calibre es uniforme, la altura es el volumen salvo por un factor constante, de modo que un gráfico de la altura frente a la temperatura es un gráfico de la ley de Charles, y el punto donde esa línea recta alcanza una altura cero es el cero absoluto, ubicado desde un banco en una habitación templada.

Objetivos Educativos

Familiarización con el entorno del laboratorio

• Identifique el tubo capilar, el retén de aceite, el baño María, el agitador magnético y la regla sujeta con pinza, e indique la función de cada uno.
• Explique por qué la columna atrapada debe estar completamente por debajo de la línea de agua y por qué ni el tubo ni el termómetro deben tocar la pared del vaso de precipitados.

Preparación de una muestra sellada

• Caliente el capilar de manera uniforme y aspire un tapón de aceite de 5 mm a 1 cm en el extremo abierto a medida que el tubo se enfría, y explique por qué el aire al enfriarse aspira el aceite.
• Manipule el material de vidrio caliente con guantes térmicos y apague el mechero Bunsen antes de pasar a la Parte B.

Medición y registro de datos

• Lee la temperatura del agua y la altura del fondo de la gota de aceite solo después de que la lectura se haya estabilizado, y di por qué importa el agitador.
• Registre diez pares coincidentes en el rango de temperatura más amplio que permita el baño, en lugar de dos puntos en los extremos.

Tratamiento cuantitativo de la ley de Charles

• Convierte cada lectura de Celsius a kelvin y comprueba si h / T es constante.
• Convertir una altura en un volumen con V = πr²h y demuestra que la elección de unidades no afecta a la prueba.
• Represente la altura frente a la temperatura en Celsius, ajuste una línea recta y extrópolela a altura cero para localizar el cero absoluto.

Evaluación crítica de la medición

• Estima la presión que el propio tapón de aceite añade y demuestra que es insignificante en comparación con la presión atmosférica.
• Explique por qué se debe utilizar todo el rango de temperatura para la extrapolación.

Protocolo

PARTE A: La preparación del tubo capilar

1. Encima de la placa de calentamiento; sujeta una pinza universal a cada uno de los dos soportes.
2. Con el cuentagotas, toma un poco de aceite de oliva y pon dos gotas de aceite sobre el cristal de reloj.
3. Enciende el mechero Bunsen.
4. Usando guantes térmicos, caliente el tubo capilar a lo largo de toda su longitud exponiéndolo a la llama mientras realiza movimientos de vaivén durante unos 20 segundos.
5. Coloca el extremo abierto (el extremo transparente) del tubo muy caliente sobre las gotas de aceite preparadas en el paso 1. El aceite debería subir por sí solo hacia el tubo capilar.
6. Devuelva el tubo a una posición vertical (con el extremo abierto hacia arriba) y espere unos segundos a que se enfríe.
7. Fija el tubo capilar a la pinza universal del soporte derecho, colocando el extremo abierto (transparente) hacia arriba.
8. Apaga el mechero Bunsen.

• La gota de aceite en el tubo capilar debe tener un grosor de entre 5 mm y 1 cm.

PARTE B: Medición de la relación entre volumen y temperatura

9. Coloca el vaso de precipitados de 250 ml sobre la placa calefactora (no enciendas la placa calefactora).
10. Coloca el agitador magnético en el vaso de precipitados.
11. Fije el termómetro a la pinza universal del soporte izquierdo y colóquelo verticalmente en el vaso de precipitados de 250 ml. El tubo capilar ni el termómetro deben tocar las paredes del vaso de precipitados.
12. Asegure la regla detrás del capilar para medir la altura de la gota de aceite.
13. Tome el vaso de precipitados que contiene hielo y añada 250 mL de agua fría del grifo.
14. Luego vierta el agua fría y el hielo en el vaso de precipitados que contiene el tubo capilar. El nivel del agua debe superar el de la gota de aceite.
15. Observe la temperatura del agua y la altura de la parte inferior de la gota de aceite una vez que la temperatura se haya estabilizado.
16. Inicie el agitador en la placa calefactora.
17. Pon en marcha el cronómetro.
18. Enciende la placa calefactora a baja intensidad (20°C) y espera a que la temperatura suba unos diez grados.
19. En la tabla de resultados; observe la temperatura del agua y la altura del fondo de la gota de aceite una vez que la temperatura se haya estabilizado. Notará el cambio en la altura de la gota en función de los cambios en la temperatura del agua.
20. Repetir los pasos 18 y 19 mientras se aumenta la temperatura de la placa en 10 grados adicionales.
21. Apaga la placa de cocción y espera a que todo se enfríe.

• Nota: El interior del tubo capilar tiene un radio de 0.5 mm.

Resultados esperados

Resultados esperados

El calibre del capilar es uniforme, por lo que el aire atrapado ocupa un cilindro de sección transversal πr² = π × (0.5 mm)² = 0,785 mm². Su volumen es por tanto V = 0,785 × h, con h en milímetros y V en mm³, y desde 1 mm³ = 1 µL la altura en milímetros se convierte a un volumen en microlitros por ese único factor: 47,3 mm → 37,1 µL, 62,1 mm → 48,8 µL. Como el factor es el mismo a cualquier temperatura, probar V ∝ T y probar h ∝ T son la misma prueba, y la regla por sí sola es suficiente.

Lo que dicen los números

La ley de Charles establece que V₁ / T₁ = V₂ / T₂ para una cantidad fija de gas a presión constante, siendo T la temperatura en kelvin. Tomando los dos extremos de la serie: 47,3 mm / 277,2 K = 0,1706 mm/K y 62,1 mm / 364,2 K = 0,1705 mm/K. Cada lectura intermedia da la misma cifra con una precisión de 0,03 %. Dicho de otro modo, la temperatura aumenta en un factor de 364,2 / 277,2 = 1,314 a lo largo del tramo y la columna se alarga en una proporción de 62,1 / 47,3 = 1,313; ambas relaciones coinciden con una precisión de una parte por mil, lo cual constituye el contenido íntegro de la ley.

Encontrando el cero absoluto sin acercarse a él

Esta es la razón por la que el experimento ha sobrevivido durante dos siglos. Representa la altura de caída frente al Celsius la temperatura y los puntos caen en una línea recta, h = 0.1705 t + 46.6, donde la pendiente está en mm por °C y la intersección es la altura que la columna tendría a 0 °C. Extienda esa línea hacia atrás hasta h = 0 y llega a t = −46.6 / 0.1705 = −273 °C. Nada en el aparato baja de 4 °C; el cero de la escala absoluta se encuentra mediante extrapolación a partir de un vaso de precipitados con agua tibia, y el hecho de que resulte la misma intersección sin importar qué gas se use es lo que hace que sea una propiedad de la temperatura en lugar de la del aire.

Por qué la presión realmente es constante

La gota de aceite es libre de deslizarse, por lo que el aire atrapado está siempre a la presión de la sala más dos pequeñas correcciones. El peso del propio tapón contribuye en ρgL: para el aceite de oliva a unos 910 kg/m³ y un tapón de 7 mm que es de 910 × 9,81 × 0,007 = 62 Pa, seis centésimas del uno por ciento de la presión atmosférica. La tensión superficial aporta 2γ/r en cada menisco, unos 2 × 0,032 / 0,0005 = 128 Pa, pero los dos meniscos se curvan en sentidos opuestos y se cancelan casi por completo; solo sobrevive su diferencia. Ambas correcciones están muy por debajo de lo que una regla milimétrica podría revelar, razón por la cual la condición de presión constante puede considerarse cumplida exactamente.

La cantidad de gas y la imagen cinética

A partir de n = PV / RT en la primera lectura, n = (101 325 Pa × 3.71 × 10⁻⁸ m³) / (8,314 J·mol⁻¹·K⁻¹ × 277,2 K) = 1,63 × 10⁻⁶ mol — aproximadamente 47 µg de aire, más o menos 9,8 × 10¹⁷ moléculas. Ese número viene determinado por el retén de aceite y no varía. Al calentar la muestra de 277 K a 364 K, la velocidad molecular media cuadrática aumenta solo en √(364/277) = 1,15, es decir, un quince por ciento, mientras que el volumen crece en un 31 %: las moléculas aceleran al ritmo de la raíz cuadrada de la temperatura, pero el gas debe expandirse en proporción directa a ella, ya que la presión depende tanto de la fuerza como de la frecuencia con la que chocan las moléculas, y el gas se expande precisamente para que la tasa de llegada por unidad de superficie se mantenga en equilibrio con la de la sala exterior.

Resumen de la asignación por rango de calificación

Grados 9–10

Concentración. Observación y vocabulario. Los estudiantes ven que calentar un gas hace que ocupe más espacio y aprenden que el sello debe deslizarse libremente para que la presión permanezca constante.

• Prepara el capilar, captura la gota de aceite y describe qué le sucede a medida que el baño se calienta.
• Registra cinco lecturas correspondientes de la temperatura del agua y la altura de caída e introdúcelas en una tabla.
• Representa la altura frente a la temperatura a mano y describe el resultado como una línea recta en lugar de una curva.
• Responde en palabras por qué la gota se mueve hacia arriba en lugar de que aumente la presión.

Undécimo grado

Concentración. Tratamiento cuantitativo. Los estudiantes convierten a kelvin, comprueban la proporcionalidad numéricamente y realizan la extrapolación que da el cero absoluto.

• Toma las diez lecturas, convierte cada una a kelvin y añade una columna de h / T; indica su media y su dispersión.
• Convertir dos alturas a volúmenes con V = πr²h y confirmar que V / T da la misma constancia que h / T.
• Representa la altura frente a la temperatura en Celsius, ajusta una línea recta y lee tanto la pendiente como la ordenada al origen.
• Extrapole la línea a una altura cero y cite la temperatura que alcanza, con un comentario sobre qué tan fuera de los datos se encuentra ese punto.

12.º curso / Nivel universitario

Concentración. Derivación, análisis de errores e interpretación independiente.

• Deriva V ∝ T a partir de PV = nRT e identifica exactamente qué cantidades mantiene fijas el aparato y mediante qué mecanismo.
• Calcule la cantidad de aire atrapado en moles, microgramos y moléculas, y demuestre que no cambia a lo largo de la ejecución.
• Calcula las contribuciones hidrostáticas y debidas a la tensión superficial del tapón de aceite y demuestra que la hipótesis de presión constante se cumple con una precisión superior a 0,1 %.
• Explicación de por qué la velocidad molecular cuadrática media aumenta como $\sqrt{T}$ mientras que el volumen aumenta como $T$, y reconciliación de ambos usando $P = (1/3)(N/V)m\langle v^2 \rangle$. La velocidad molecular cuadrática media ($v_{\text{rms}} = \sqrt{\langle v^2 \rangle}$) es proporcional a la raíz cuadrada de la temperatura absoluta ($\sqrt{T}$) porque la energía cinética translacional promedio de una molécula de gas ideal es directamente proporcional a la temperatura ($\frac{1}{2}m\langle v^2 \rangle = \frac{3}{2}k_B T$). Al despejar la velocidad, se obtiene que esta depende de la raíz cuadrada de $T$. Por otro lado, según la ley de Charles, el volumen ($V$) de una masa de gas dada a presión constante es directamente proporcional a la temperatura absoluta ($T$). Esto ocurre porque a mayor temperatura, las moléculas se mueven más rápido y chocan con mayor fuerza y frecuencia contra las paredes del recipiente, requiriendo un volumen mayor para mantener una presión constante. Para reconciliar estos dos comportamientos, partimos de la ecuación cinética de la presión: $$P = \frac{1}{3}\frac{N}{V}m\langle v^2 \rangle$$ Podemos reorganizar esta ecuación para relacionar el volumen, la temperatura y la velocidad: $$V = \frac{1}{3P} N m \langle v^2 \rangle$$ Dado que $\langle v^2 \rangle$ es proporcional a $T$ (ya que $v_{\text{rms}} \propto \sqrt{T}$), podemos sustituir $\langle v^2 \rangle$ por un término proporcional a $T$: $$V \propto \frac{1}{P} N m T$$ Si el gas se encuentra a presión constante ($P$) y el número de partículas ($N$) es constante, la ecuación muestra que el volumen ($V$) debe ser directamente proporcional a la temperatura ($T$), es decir, $V \propto T$. Por lo tanto, aunque la velocidad aumente solo con la raíz cuadrada de la temperatura ($\sqrt{T}$), su cuadrado ($\langle v^2 \rangle$) aumenta linealmente con $T$. Al introducir este incremento lineal en la ecuación de presión, se cancela la dependencia inversa y se explica perfectamente por qué el volumen final aumenta directamente con $T$.²〉.
• Analice lo que el experimento puede y no puede decir sobre el cero absoluto, dado que el aire se licúa cerca de los 80 K.

Esenciales de laboratorio

Instrumentos

• Vaso de precipitados (250 mL)
• Mechero de Bunsen
• Tubo capilar
• Gotero
• Plancha eléctrica
• Soporte de laboratorio y pinzas
• agitador magnético
• Regla
• Termómetros
• Temporizador
• Cristal de reloj
• Guantes térmicos

Productos

• Aceite de oliva
• Hielo
• Agua fría del grifo