기체를 가열하면 부피가 팽창한다. 이 단순한 사실 하나 덕분에 열기구가 하늘에 떠 있을 수 있고, 방 안의 공기를 순환시키는 대류 현상이 일어나며, 빵이 부풀어 오르고, 겨울철 첫 추운 아침에 자동차 타이어 공기압 경고등이 켜지게 된다. 정량적으로 표현하면 이는 샤를의 법칙이다. 일정한 압력에서 일정량의 기체의 부피는 다음과 비례한다. 절대적인 온도, V / T = 일정. '절대'라는 단어가 핵심 역할을 합니다. 즉, 이 비례 관계는 물의 빙점이 아니라 분자 운동이 멈추는 지점부터 온도를 측정할 때만 성립합니다.
그 이유는 보일의 법칙을 설명하는 것과 같은 운동학적 그림을 반대로 적용한 것이다. 온도는 분자들이 얼마나 빠르게 움직이는지를 결정한다. 기체를 가열하면 각 분자가 벽에 더 강하게 그리고 더 자주 부딪히므로, 만약 갇혀 있다면 압력이 상승할 것이다. 여기서는 갇혀 있지 않다. 기체는 외부 방의 압력과 충돌이 다시 균형을 이룰 때까지 충분히 퍼질 때까지 관을 따라 밀폐 마개를 자유롭게 밀어낸다. 기체가 안착하는 부피는 절대 온도에 비례한다.
이 실험에서 여러분은 내부 반지름이 0.5 mm인 유리 모세관 속에 짧은 공기 기둥을 가두게 되며, 이 기둥은 자유롭게 미끄러지고 새지 않는 올리브 오일 방울에 의해 상단이 밀봉됩니다. 관은 자의 옆에 고정되고 교반 가열판 위의 얼음물이 담긴 비커에 담잠깁니다. 목욕물을 약 10도 간격으로 데우고 각 단계에서 물방울 아랫부분의 높이를 읽으면 열 개의 온도와 길이 쌍을 얻게 됩니다. 내경이 균일하기 때문에 높이는 이다 부피가 상수 배만큼 비례하므로, 높이를 온도에 대해 그린 그래프는 샤를의 법칙을 나타내는 그래프가 되며, 그 직선이 높이 영(0)에 도달하는 지점은 따뜻한 방 안의 벤치에서 찾아낸 절대영도입니다.
교육 목표
실험실 환경 익숙해지기
- 모세관, 오일 실, 항온 수조, 마그네틱 스티어러 및 고정된 자를 식별하고 각각의 역할을 설명하시오.
- 갇힌 기체 컬럼이 수면보다 완전히 아래에 있어야 하는 이유는 전체 기체 부피가 물의 온도에 균일하게 노출되도록 하기 위함이며, 튜브나 온도계가 비커 벽에 닿지 않아야 하는 이유는 비커 벽은 물보다 온도가 높거나 낮을 수 있어 정확한 수온 측정과 기체 부피에 영향을 주기 때문입니다.
밀봉된 샘플 준비 중
- 모세관을 균일하게 가열한 후 튜브가 식으면서 열린 끝부분으로 5mm에서 1cm 길이의 오일 플러그를 끌어들이고, 냉각되는 공기가 어떻게 오일을 안으로 당기게 되는지 설명하시오.
- 뜨거운 유리 기구는 단열 장갑을 사용하여 다루고, 파트 B로 넘어가기 전에 분센 버너를 끄십시오.
측정 및 데이터 기록
- 수온과 기름방울 바닥의 높이는 판독값이 안정된 후에만 읽고, 교반기가 왜 중요한지 설명하시오.
- 항온조가 허용하는 가장 넓은 온도 범위에 걸쳐 양 끝단의 두 점 대신 열 개의 대응되는 쌍을 기록하십시오.
샤를의 법칙의 정량적 처리
- 각 섭씨 온도를 켈빈 온도로 변환하고 h / T가 일정한지 테스트하시오.
- V = πr을 사용하여 높이를 부피로 변환하세요.2h를 보이고 단위의 선택이 검정에 영향을 미치지 않음을 보여라.
- 높이를 섭씨 온도에 대해 그리고, 직선을 피팅한 뒤 이를 제로 높이로 외삽하여 절대영도를 찾으십시오.
측정값의 비판적 평가
- 오일 플러그 자체가 가하는 압력을 추정하고 그것이 대기압에 비해 무시할 수 있음을 보여라.
- 외삽을 위해 전체 온도 범위를 사용해야 하는 이유를 설명하세요.
프로토콜
PART A: 모세관 준비
- 가열판 위에; 두 지지대 각각에 범용 클램프를 부착하십시오.
- 스포이드를 사용하여 올리브 오일을 조금 덜어내 시계 접시에 오일 두 방울을 떨어뜨리세요.
- 분젠 버너에 불을 붙이세요.
- 열 장갑을 사용하여 약 20초 동안 모세관을 앞뒤로 움직이며 불꽃에 노출시켜 전체 길이를 따라 가열합니다.
- 뜨거운 관의 열린 쪽(투명한 쪽)을 1단계에서 준비한 기름 방울에 댑니다. 그러면 기름이 모세관 안으로 저절로 올라갈 것입니다.
- 튜브를 똑바로 세우고 (열린 끝이 위를 향하도록) 몇 초간 식혀주세요.
- 모세관을 오른쪽 지지대의 유니버설 클램프에 부착하고, 열린 (투명한) 끝이 위로 향하도록 위치시킵니다.
- 분젠 버너를 꺼주세요.
- 모세관 속 기름 방울의 두께는 5mm에서 1cm 사이여야 합니다.
PART B: 부피-온도 관계 측정
- 250mL 비커를 핫플레이트 위에 놓으십시오 (핫플레이트는 켜지 마십시오).
- 비커에 교반기를 넣으세요.
- 온도계를 왼쪽 스탠드의 유니버설 클램프에 고정하고 250ml 비커에 수직으로 세운다. 모세관이나 온도계가 비커 벽에 닿지 않도록 한다.
- 모세관 뒤에 눈금을 고정하여 기름 방울의 높이를 측정하십시오.
- 얼음이 들어 있는 비커를 가져와서 차가운 수돗물 250 mL를 넣으세요.
- 그런 다음, 모세관이 담긴 비커에 찬물과 얼음을 붓습니다. 물의 수위는 기름 방울의 수위보다 높아야 합니다.
- 수온을 관찰하고 온도가 안정된 후 오일 방울의 가장자리 높이를 측정하십시오.
- 핫플레이트에서 교반기를 작동시키세요.
- 스톱워치를 시작하세요.
- 난방판을 약하게 (20°C) 켜고 온도가 10도 정도 오를 때까지 기다리세요.
- 결과 표에서 수온이 안정된 후의 유적(oil drop) 바닥의 높이와 수온을 관찰하십시오. 수온 변화에 따른 유적 높이의 변화를 알 수 있을 것입니다.
- 판의 온도를 10도씩 더 높이면서 18단계와 19단계를 반복하세요.
- 핫플레이트를 끄고 모든 것이 식을 때까지 기다리세요.
- 참고: 모세관 내부의 반경은 0.5mm입니다.
예상 결과
예상 결과
모세관의 내경이 균일하므로, 갇힌 공기는 단면적이 πr인 실린더를 차지합니다.2 = π × (0.5 mm)2 = 0.785 mm2. 따라서 그 부피는 V = 0.785 × h이며, 여기서 h는 밀리미터 단위이고 V는 mm³입니다.3, 그리고 1mm부터는3 = 1 µL 높이(밀리미터)는 그 하나의 계수에 의해 마이크로리터 단위의 부피로 환산됩니다: 47.3 mm → 37.1 µL, 62.1 mm → 48.8 µL. 모든 온도에서 계수가 동일하기 때문에, V ∝ T를 테스트하는 것과 h ∝ T를 테스트하는 것은 동일한 테스트이며, 자 하나만으로도 충분합니다.
| 수온 (°C) | 절대온도 (K) | 낙하 높이 (mm) | 공기 부피 (µL) | h / T (mm/K) |
|---|---|---|---|---|
| 4.0 | 277.2 | 47.3 | 37.1 | 0.1706 |
| 11.5 | 284.7 | 48.6 | 38.2 | 0.1707 |
| 20.5 | 293.7 | 50.0 | 39.3 | 0.1702 |
| 29.0 | 302.2 | 51.5 | 40.4 | 0.1704 |
| 41.5 | 314.7 | 53.7 | 42.2 | 0.1706 |
| 50.0 | 323.2 | 55.1 | 43.3 | 0.1705 |
| 62.0 | 335.2 | 57.2 | 44.9 | 0.1706 |
| 72.5 | 345.7 | 59.0 | 46.3 | 0.1707 |
| 80.5 | 353.7 | 60.3 | 47.4 | 0.1705 |
| 91.0 | 364.2 | 62.1 | 48.8 | 0.1705 |
숫자가 말해주는 것
샤를의 법칙은 V1 / T1 = V2 / T2 일정한 압력 하에서 일정량의 기체에 대해, T는 켈빈 단위이다. 이 수열의 양 끝값을 살펴보면: 47.3 mm / 277.2 K = 0.1706 mm/K, 62.1 mm / 364.2 K = 0.1705 mm/K이다. 모든 중간 측정값은 0.03 % 이내에서 동일한 수치를 나타냅니다. 반대로 말하면, 온도는 전체 구간에서 364.2 / 277.2 = 1.314 배 상승하고, 기둥 길이는 62.1 / 47.3 = 1.313 배 늘어납니다. 이 두 비율은 천 분의 일의 오차 범위 내에서 일치하며, 이것이 바로 이 법칙의 핵심입니다.
절대영처에 전혀 가까이 가지 않고 절대영도 찾기
이것이 실험이 2세기 동안 살아남은 이유입니다. 낙하 높이를 ~에 대해 그래프로 그리세요. 섭씨 온도와 점들은 직선 상에 떨어지며, h = 0.1705 t + 46.6이다. 여기서 기울기는 °C당 mm이고 절편은 0 °C에서 기체 기둥이 가질 높이이다. 그 선을 뒤로 연장하여 h = 0이 되게 하면 t = −46.6 / 0.1705 = −273 °C에 도달한다. 장치 중 어떤 것도 4 °C 아래로 내려가지 않으며, 절대온도 영점은 따뜻한 물이 담긴 비커로부터의 외삽에 의해 구해지고, 어떤 기체를 사용하든 동일한 절편이 나온다는 사실이 바로 그것을 공기의 성질이 아닌 온도의 성질로 만든다.
압력이 정말로 일정한 이유
기름 방울이 자유롭게 미끄러지므로, 갇힌 공기는 항상 방의 압력에 두 가지 작은 보정값을 더한 압력 상태에 있습니다. 마개 자체의 무게는 ρgL만큼 기여합니다: 약 910 kg/m인 올리브 오일의 경우3 그리고 7mm 플러그는 910 × 9.81 × 0.007 = 62 Pa로 대기압의 1만분의 6에 불과합니다. 표면 장력은 각 메니스쿠스에서 2γ/r, 즉 약 2 × 0.032 / 0.0005 = 128 Pa를 기여하지만, 두 메니스쿠스는 반대 방향으로 곡률을 가지며 거의 상쇄되어 그 차이만 남게 됩니다. 두 보정값 모두 밀리미터 자로는 전혀 감지할 수 없는 수준이므로, 정압 조건이 정확히 충족되는 것으로 간주할 수 있습니다.
가스의 양과 운동학적 그림
첫 번째 측정값에서 n = PV / RT로부터, n = (101 325 Pa × 3.71 × 10−8 m3) / (8.314 J·mol-1·K-1 × 277.2 K) = 1.63 × 10-6 mol — 공기 약 47 µg, 대략 9.8 × 1017 분자. 이 수치는 오일 씰에 의해 고정되어 있으며 변하지 않습니다. 시료를 277 K에서 364 K로 가열하면 분자의 제곱평균제곱근 속도는 √(364/277) = 1.15, 즉 15%만 증가하는 반면, 부피는 31 %만큼 완전히 증가합니다: 분자의 속도는 온도의 제곱근에 비례하여 증가하지만, 기체는 이에 정비례하여 팽창해야 합니다. 압력은 분자가 부딪히는 강도와 빈도 모두에 달려 있으며, 기체는 단위 면적당 유입 속도가 외부 공간과 일치하도록 정확히 팽창하기 때문입니다.
학년별 과제 요약
9~10학년
집중하세요. 관찰과 어휘. 학생들은 기체를 가열하면 부피가 더 커진다는 것을 보고, 압력이 일정하게 유지되려면 밀봉 장치가 자유롭게 움직여야 한다는 것을 배운다.
- 모세관을 준비하고, 유적을 포획한 후, 배양이 따뜻해짐에 따라 그것에 무슨 일이 일어나는지 서술하시오.
- 수온과 낙하 높이의 측정값을 5회 대응시켜 기록하고 표에 입력하십시오.
- 높이를 온도에 대해 손으로 그래프로 그리고 그 결과를 곡선이 아니라 직선으로 설명하세요.
- 압력이 상승하는 대신 물방울이 위로 이동하는 이유는 표면장력 때문입니다.
11학년
집중하세요. 정량적 처리. 학생들은 켈빈 온도로 단위 환산하고, 수치적으로 비례 관계를 테스트하며, 절대영도를 도출해내는 외삽법을 수행한다.
- 모든 10개의 측정값을 가져와서 각각을 켈빈(kelvin)으로 변환하고, h / T 열을 추가한 뒤, 그 평균과 산포도를 명시하세요.
- V = πr을 사용하여 두 높이를 부피로 변환2h를 확인하고 V / T가 h / T와 같은 일정성을 제공하는지 확인하십시오.
- 섭씨 온도에 대한 높이를 plotting하고, 직선을 피팅한 뒤, 기울기와 y절편을 모두 읽어내세요.
- 그 선을 높이가 0이 되는 지점까지 외삽하여 그때 도달하는 온도를 적고, 그 지점이 데이터 범위를 얼마나 벗어나는지에 대한 코멘트를 덧붙이시오.
12학년 / 대학교 수준
집중하세요. 유도, 오차 분석 및 독자적 해석.
- PV = nRT에서 V ∝ T를 유도하고, 장치가 정확히 어떤 양을 고정하며 어떤 메커니즘으로 고정하는지 식별하시오.
- 갇힌 공기의 양을 몰(mol), 마이크로그램(microgram), 그리고 분자 수(number of molecules) 단위로 계산하고, 이것이 실험(또는 구동) 전반에 걸쳐 일정하게 유지됨을 보이시오.
- 유막이 미치는 정수압 및 표면장력의 기여도를 추정하고, 정압 가정이 0.1 %보다 더 정확한 수준에서 성립함을 보여라.
- 루트평균제곱(RMS) 분자 속도가 $\sqrt{T}$에 비례하여 증가하는 반면, 부피가 $T$에 비례하여 증가하는 이유는 기체 분자의 운동 에너지 정의와 이상기체 법칙에서 비롯되며, 이는 압력 방정식 $P = \frac{1}{3}\left(\frac{N}{V}\right)m\langle v^2 \rangle$을 통해 완벽하게 조화될 수 있습니다. 1. **RMS 속도와 온도($\sqrt{T}$)의 관계:** 기체 분자의 평균 병진 운동 에너지는 절대 온도 $T$에 직접 비례합니다. $$\frac{1}{2}m\langle v^2 \rangle = \frac{3}{2}k_BT$$ 여기서 속도의 제곱 평균 제곱근(RMS 속도, $v_{\text{rms}} = \sqrt{\langle v^2 \rangle}$)을 구하면 다음과 같습니다. $$v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3k_BT}{m}}$$ 즉, $v_{\text{rms}}$는 온도 $T$의 제곱근인 $\sqrt{T}$에 비례합니다. 2. **부피와 온도($T$)의 관계 (샤를의 법칙):** 압력 $P$와 몰 수(또는 분자 수 $N$)가 일정할 때, 이상기체 방정식($PV = Nk_BT$)에 의해 부피 $V$는 절대 온도 $T$에 직접 비례합니다. $$V = \frac{Nk_BT}{P}$$ 따라서 부피는 $T$에 비례합니다. 3. **압력 방정식을 통한 두 현상의 조화:** 기체 분자 운동론에서 유도된 압력 방정식은 다음과 같습니다. $$P = \frac{1}{3}\left(\frac{N}{V}\right)m\langle v^2 \rangle$$ 이 방정식을 부피 $V$에 대해 정리하면 다음과 같습니다. $$V = \frac{1}{3P} N m \langle v^2 \rangle$$ 여기서 $\langle v^2 \rangle$은 $v_{\text{rms}}^2$과 같으며, 이는 온도 $T$에 비례합니다($m\langle v^2 \rangle = 3k_BT$). 이를 대입하면 다음과 같습니다. $$V = \frac{1}{3P} N (3k_BT) = \frac{Nk_BT}{P}$$ **결론:** RMS 속도 자체는 $\sqrt{T}$에 비례하지만, 압력 방정식의 속도 항은 **속도의 제곱($\langle v^2 \rangle$)**이 들어가므로 $v^2$은 $T$에 비례하게 됩니다. 따라서 $V$는 $v^2$ (즉, $T$)과 비례 관계를 가지므로, $\sqrt{T}$로 증가하는 속도와 $T$로 증가하는 부피는 압력 방정식을 통해 모순 없이 정확하게 일치하게 됩니다.2〉.
- 공기가 약 80 K에서 액화된다는 점을 고려할 때, 이 실험이 절대영도에 대해 무엇을 말해줄 수 있고 무엇을 말해줄 수 없는지 논의하시오.
실험실 필수품
악기
- 비커 (250 mL)
- 분젠 버너
- 모세관
- 드롭퍼
- 핫플레이트
- 실험대 및 클램프
- 자석 교반기
- 자
- 온도계
- 타이머
- 시계 유리
- 방한 장갑
제품
- 올리브 오일
- 얼음
- 찬 수돗물