056 – Zależność między temperaturą a objętością gazu

Podgrzej gaz, a on się rozszerzy. Ten jeden fakt utrzymuje balon na ogrzane powietrze w powietrzu, napędza konwekcję cyrkulującą powietrze w pokoju, sprawia, że chleb rośnie, i jest powodem, dla którego lampka ostrzegawcza ciśnienia w oponach samochodu włącza się podczas pierwszego zimowego poranka. Wyrażając to ilościowo, jest to prawo Charlesa: dla stałej ilości gazu utrzymywanej pod stałym ciśnieniem objętość jest wprost proporcjonalna do absolutny temperatura, V / T = stała. Słowo „bezwzględna” wykonuje tutaj całą pracę – proporcjonalność zachodzi tylko wtedy, gdy temperaturę liczy się od punktu, w którym ustałby ruch cząsteczkowy, a nie od temperatury krzepnięcia wody.

Przyczyną jest ten sam obraz kinetyczny, który wyjaśnia prawo Boyle’a, tyle że odwrócony. Temperatura określa, jak szybko poruszają się cząsteczki. Ogrzej gaz, a każda cząsteczka uderza w ściankę mocniej i częściej, więc gdyby gaz był zamknięty, ciśnienie by wzrosło. Tutaj nie jest zamknięty: gaz może swobodnie przesuwać swoje zamknięcie wzdłuż rurki, dopóki nie rozprzestrzeni się na tyle, że zderzenia ponownie zrównoważą ciśnienie otaczającego pokoju. Objętość, przy której się ustala, jest proporcjonalna do temperatury bezwzględnej.

W tym laboratorium uwięzisz krótką kolumnę powietrza w szklanej rurce kapilarnej o promieniu wewnętrznym 0,5 mm, uszczelnionej od góry kroplą oliwy z oliwek, która przesuwa się swobodnie i nic nie przepuszcza. Rurka jest zamocowana obok linijki i zanurzona w zlewce z lodowatą wodą na mieszadle z grzejnikiem. Ogrzewanie łaźni w krokach co około dziesięć stopni i odczytywanie wysokości dolnej części kropli na każdym plateau daje dziesięć dopasowanych par temperatury i długości. Ponieważ przekrój jest jednorodny, wysokość jest objętość z dokładnością do stałego czynnika, więc wykres wysokości w funkcji temperatury jest wykresem prawa Charlesa — a punkt, w którym ta prosta osiąga zerową wysokość, to zero absolutne, wyznaczone z ławki w ciepłym pokoju.

Cele edukacyjne

Zapoznanie się ze środowiskiem laboratoryjnym

• Zidentyfikuj rurkę kapilarną, uszczelnienie olejowe, łaźnię wodną, mieszadło magnetyczne i zamocowaną linijkę oraz określ rolę każdego z nich.
• Wyjaśnij, dlaczego uwięziona kolumna musi znajdować się całkowicie poniżej linii wody oraz dlaczego ani rurka, ani termometr nie mogą dotykać ścianki zlewki.

Przygotowanie zapieczętowanej próbki

• Podgrzej równomiernie kapilarę i podczas stygnięcia rurki zaciągnij do otwartego końca korek olejowy o długości od 5 mm do 1 cm, a następnie wyjaśnij, dlaczego stygnące powietrze wciąga olej.
• Przed przystąpieniem do części B należy używać rękawic termicznych podczas obchodzenia się z gorącymi naczyniami szklanymi oraz wyłączyć palnik Bunsena.

Pomiary i rejestracja danych

• Odczytaj temperaturę wody oraz wysokość dolnej krawędzi kropli oleju dopiero po ustabilizowaniu się odczytu i wyjaśnij, dlaczego mieszadło ma znaczenie.
• Zarejestruj dziesięć par zgodnych w najszerszym zakresie temperatur, jaki pozwala uzyskać łaźnia, zamiast dwóch punktów w skrajnych wartościach.

Ilościowe ujęcie prawa Karla

• Przelicz każdą wartość w stopniach Celsjusza na kelwiny i sprawdź, czy stosunek h / T jest stały.
• Przelicz wysokość na objętość, stosując wzór V = πr²h oraz wykazać, że wybór jednostek miary nie ma wpływu na wynik badania.
• Należy wykreślić wykres zależności wysokości od temperatury w stopniach Celsjusza, dopasować do niego linię prostą i ekstrapolować ją do wysokości zerowej, aby określić położenie zera absolutnego.

Krytyczna ocena pomiaru

• Oszacuj ciśnienie, jakie dodaje sam korek oleju, i pokaż, że jest ono pomijalne w porównaniu z ciśnieniem atmosferycznym.
• Wyjaśnij, dlaczego do ekstrapolacji należy wykorzystać cały zakres temperatur.

Protokół

CZĘŚĆ A: Przygotowanie rurki kapilarnej

1. Nad płytą grzewczą; zamocuj zacisk uniwersalny do każdego z dwóch podpór.
2. Używając zakraplacza, weź trochę oliwy z oliwek i umieść dwie krople oliwy na płytce zegarkowej.
3. Zapalić palnik Bunsena.
4. Używając rękawic termicznych, podgrzej probówkę kapilarną na całej jej długości, wystawiając ją na płomień, wykonując ruchy posuwisto-zwrotne przez około 20 sekund.
5. Umieść otwarty koniec (przezroczysty koniec) bardzo gorącej probówki na kroplach oleju przygotowanych w kroku 1. Olej powinien samowolnie podnieść się do probówki kapilarnej.
6. Postaw tubkę pionowo (otwartym końcem do góry) i odczekaj kilka sekund, aż ostygnie.
7. Przymocuj rurkę kapilarną do uniwersalnego zacisku prawego statywu, ustawiając otwarty (przezroczysty) koniec do góry.
8. Wyłącz palnik Bunsena.

• Kropla oleju w kapilarze powinna mieć grubość między 5 mm a 1 cm.

CZĘŚĆ B: Pomiar zależności objętości od temperatury

9. Postaw zlewkę o pojemności 250 ml na płycie grzewczej (nie włączaj płyty).
10. Umieść mieszadło magnetyczne w zlewce.
11. Termometr przymocuj do zacisku uniwersalnego lewego statywu i umieść pionowo w zlewce o objętości 250 mL. Ani rurka kapilarna, ani termometr nie mogą dotykać ścianek zlewki.
12. Zabezpiecz linijkę za kapilarą, aby zmierzyć wysokość kropli oleju.
13. Weź zlewkę zawierającą lód i dodaj do niej 250 ml zimnej wody z kranu.
14. Następnie wlej zimną wodę i lód do zlewki zawierającej rurkę kapilarną. Poziom wody musi przekraczać poziom kropli oleju.
15. Obserwuj temperaturę wody i wysokość dna kropli oleju, gdy temperatura się ustabilizuje.
16. Włącz mieszadło na płycie grzewczej.
17. Uruchom stoper.
18. Włącz płytę grzewczą na niskim poziomie intensywności (20°C) i poczekaj, aż temperatura wzrośnie o około dziesięć stopni.
19. W tabeli wyników; zaobserwuj temperaturę wody i wysokość dna kropli oleju po ustabilizowaniu się temperatury. Zauważysz zmianę wysokości kropli w zależności od zmian temperatury wody.
20. Powtórz kroki 18 i 19, zwiększając temperaturę płyty o dodatkowe 10 stopni.
21. Wyłącz płytę grzewczą i poczekaj, aż wszystko ostygnie.

• Uwaga: Wnętrze kapilary ma promień 0,5 mm.

Przewidywane wyniki

Oczekiwane wyniki

Średnica wewnętrzna kapilary jest stała, więc uwięzione powietrze zajmuje przestrzeń w kształcie walca o przekroju poprzecznym πr² = π × (0,5 mm)² = 0,785 mm². Jego objętość wynosi zatem V = 0,785 × h, gdzie h jest wyrażone w milimetrach, a V w mm³, a ponieważ 1 mm³ = 1 µl – wysokość w milimetrach przelicza się na objętość w mikrolitrach przy użyciu tego jednego współczynnika: 47,3 mm → 37,1 µl, 62,1 mm → 48,8 µl. Ponieważ współczynnik ten jest taki sam dla każdej temperatury, badanie zależności V ∝ T i badanie zależności h ∝ T są tym samym badaniem, a wystarczy sama linijka.

Co mówią liczby

Zgodnie z prawem Charlesa V₁ / T₁ = V₂ / T₂ dla stałej ilości gazu przy stałym ciśnieniu, gdzie T wyrażone jest w kelwinach. Biorąc dwa skrajne punkty szeregu: 47,3 mm / 277,2 K = 0,1706 mm/K oraz 62,1 mm / 364,2 K = 0,1705 mm/K. Każdy odczyt pośredni daje tę samą wartość z dokładnością do 0,03 %. Innymi słowy, temperatura wzrasta o współczynnik 364,2 / 277,2 = 1,314, a kolumna wydłuża się o 62,1 / 47,3 = 1,313 — oba stosunki zgadzają się z dokładnością do jednej tysięcznej, co stanowi całą treść tego prawa.

Odkrycie zera absolutnego bez zbliżania się do niego

To właśnie dlatego eksperyment ten przetrwał dwa stulecia. Należy wykreślić wykres zależności wysokości upadku od Celsjusza temperaturę, a punkty leżą na prostej o równaniu h = 0,1705 t + 46,6, gdzie nachylenie wyrażone jest w mm na °C, a punkt przecięcia z osią O-osi to wysokość, jaką kolumna miałaby w temperaturze 0 °C. Przedłużając tę prostą wstecz do h = 0, dochodzi ona do punktu t = −46,6 / 0,1705 = −273 °C. Żadna część aparatury nie schodzi poniżej 4 °C; zero skali bezwzględnej ustala się poprzez ekstrapolację na podstawie zlewki z ciepłą wodą, a fakt, że niezależnie od użytego gazu uzyskuje się ten sam punkt przecięcia z osią O, sprawia, że jest to właściwość temperatury, a nie powietrza.

Dlaczego ciśnienie jest naprawdę stałe

Kropla oleju może swobodnie się przesuwać, więc ciśnienie uwięzionego powietrza jest zawsze równe ciśnieniu w pomieszczeniu powiększonemu o dwie niewielkie poprawki. Ciężar samego korka wynosi ρgL: w przypadku oliwy z oliwek około 910 kg/m³ oraz wtyczka o średnicy 7 mm, której ciśnienie wynosi 910 × 9,81 × 0,007 = 62 Pa, czyli sześć setnych procenta ciśnienia atmosferycznego. Napięcie powierzchniowe wnosi wkład 2γ/r przy każdym menisku, czyli około 2 × 0,032 / 0,0005 = 128 Pa, ale oba meniski wyginają się w przeciwnych kierunkach i niemal całkowicie się znoszą; pozostaje jedynie ich różnica. Obie poprawki są znacznie mniejsze niż cokolwiek, co mogłaby wykazać linijka milimetrowa, dlatego warunek stałego ciśnienia można uznać za dokładnie spełniony.

Ilość gazu i obraz kinetyczny

Z n = PV / RT przy pierwszym odczycie, n = (101 325 Pa × 3.71 × 10⁻⁸ m³) / (8,314 J·mol⁻¹·K⁻¹ × 277,2 K) = 1,63 × 10⁻⁶ mol — około 47 µg powietrza, z grubsza 9,8 × 10¹⁷ cząsteczek. Liczba ta jest ustalona przez uszczelkę olejową i nie ulega zmianie. Podgrzanie próbki z 277 K do 364 K powoduje wzrost średniej kwadratowej prędkości cząsteczkowej jedynie o √(364/277) = 1,15, czyli o piętnaście procent, podczas gdy objętość wzrasta aż o 31 %: cząsteczki przyspieszają proporcjonalnie do pierwiastka kwadratowego z temperatury, ale gaz musi się rozszerzać wprost proporcjonalnie do tego wzrostu, ponieważ ciśnienie zależy zarówno od siły, jak i częstotliwości zderzeń cząsteczek, a gaz rozprzestrzenia się dokładnie tak, aby natężenie napływu na jednostkę powierzchni pozostawało zgodne z natężeniem napływu z otaczającej przestrzeni.

Podsumowanie zadania według zakresu ocen

Klasy 9–10

Skup się. Obserwacja i słownictwo. Uczniowie zauważają, że ogrzanie gazu sprawia, że zajmuje on więcej miejsca, i dowiadują się, że uszczelnienie musi swobodnie się przesuwać, aby ciśnienie pozostało stałe.

• Przygotuj kapilarę, uchwyć kroplę oleju i opisz, co się z nią dzieje w miarę nagrzewania się kąpieli.
• Zarejestruj pięć dopasowanych odczytów temperatury wody i wysokości upuszczenia, a następnie wpisz je do tabeli.
• Narysuj ręcznie wykres wysokości w funkcji temperatury i opisana wynik jako linię prostą, a nie krzywą.
• Odpowiedz słownie, dlaczego kropla porusza się w górę, a nie rośnie ciśnienie.

Klasa 11

Skup się. Traktowanie ilościowe. Uczniowie przeliczają na kelwiny, sprawdzają proporcjonalność numerycznie i dokonują ekstrapolacji, która daje zera absolutne.

• Weź wszystkich dziesięć odczytów, przekonwertuj każdy na kelwiny i dodaj kolumnę h / T; podaj jej średnią oraz rozrzut.
• Przelicz dwie wysokości na objętości za pomocą wzoru V = πr²i potwierdzić, że V / T daje taką samą stałość jak h / T.
• Narysuj wysokość w funkcji temperatury w skali Celsjusza, dopasuj prostą i odczytaj zarówno nachylenie, jak i punkt przecięcia.
• Ekstrapoluj prostą do zerowej wysokości i podaj temperaturę, jaką osiąga, wraz z komentarzem na temat tego, jak daleko poza danymi znajduje się ten punkt.

Klasa 12 / Poziom akademicki

Skup się. Wyprowadzenie, analiza błędów i niezależna interpretacja.

• Wyprowadź zależność V ∝ T z równania PV = nRT i wskaż dokładnie, które wielkości aparat utrzymuje na stałym poziomie oraz za pomocą jakiego mechanizmu.
• Oblicz ilość uwięzionego powietrza w molach, mikrogramach i cząsteczkach oraz wykaż, że pozostaje ona niezmieniona w trakcie całego przebiegu.
• Oszacuj wkład ciśnienia hydrostatycznego i napięcia powierzchniowego w tworzeniu się zatoru olejowego oraz wykaż, że założenie stałego ciśnienia sprawdza się z dokładnością lepszą niż 0,1 %.
• Wyjaśnienie, dlaczego średnia kwadratowa prędkość cząsteczek rośnie jako $\sqrt{T}$, podczas gdy objętość rośnie jako $T$, oraz ich pogodzenie za pomocą równania $P = \frac{1}{3}\left(\frac{N}{V}\right)m\langle v^2 \rangle$. 1. Średnia kwadratowa prędkość ($\langle v^2 \rangle^{1/2}$ lub $v_{\text{rms}}$): Z kinetycznej teorii gazów wynika, że średnia kinetyczna energia translacyjna cząsteczki gazu jest wprost proporcjonalna do temperatury bezwzględnej $T$: $\frac{1}{2}m\langle v^2 \rangle = \frac{3}{2}k_B T$ Po przekształceniu wzoru na prędkość otrzymujemy: $v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3k_B T}{m}}$ Wynika stąd, że $v_{\text{rms}}$ jest proporcjonalne do pierwiastka kwadratowego z temperatury ($\sqrt{T}$). 2. Objętość ($V$): Zgodnie z prawem Charlesa dla gazu doskonałego przy stałym ciśnieniu, objętość $V$ jest wprost proporcjonalna do temperatury bezwzględnej $T$ ($V \propto T$). Oznacza to, że podwojenie temperatury podwaja objętość. 3. Pogodzenie obu zjawisk za pomocą równania ciśnienia: Wyjściowe równanie ma postać: $P = \frac{1}{3}\left(\frac{N}{V}\right)m\langle v^2 \rangle$ Przekształćmy je tak, aby powiązać objętość $V$ z temperaturą $T$: $PV = \frac{1}{3}N m\langle v^2 \rangle$ Wiemy już, że $m\langle v^2 \rangle$ jest proporcjonalne do $T$ (z dokładnością do stałej): $m\langle v^2 \rangle = 3k_B T$ Podstawiając tę zależność do równania ciśnienia, otrzymujemy: $PV = \frac{1}{3}N (3k_B T) = N k_B T$ co jest oczywiście równaniem stanu gazu doskonale $PV = N k_B T$ (lub $nRT$). Rozpatrzmy teraz, co dzieje się przy **stałym ciśnieniu** ($P = \text{const}$): 1. Temperatura $T$ rośnie. 2. Zgodnie z $v_{\text{rms}} \propto \sqrt{T}$, prędkość cząsteczek rośnie jako $\sqrt{T}$, co oznacza, że rośnie energia kinetyczna uderzeń cząsteczek o ścianki naczynia. 3. Aby ciśnienie ($P$ – czyli siła uderzeń na jednostkę powierzchni) pozostało stałe pomimo wyższej energii uderzeń cząsteczek, powierzchnia ścianek musi wzrosnąć. Cząsteczki muszą pokonywać większą przestrzeń, co oznacza, że objętość $V$ musi rosnąć szybciej niż sama prędkość. 4. Równanie pokazuje, że ponieważ $\langle v^2 \rangle$ rośnie liniowo z $T$ (ponieważ $\langle v^2 \rangle \propto T$), to aby iloczyn $P \cdot V$ równał się stałej razy $T$, przy stałym $ciśnieniu$ ($P$), objętość $V$ musi rosnąć wprost proporcjonalnie do $T$. Podsumowując: chociaż prędkość rośnie jako $\sqrt{T}$, to kwadrat prędkości ($\langle v^2 \rangle$) rośnie liniowo z $T$. To liniowy wzrost $\langle v^2 \rangle$ wraz z $T$ – w połączeniu ze stałością ciśnienia – wymusza, aby objętość $V$ rosła liniowo z $T$.²〉.
• Omów, co eksperyment może, a czego nie może powiedzieć o zera absolutnym, biorąc pod uwagę, że powietrze skrapla się w temperaturze około 80 K.

Podstawowe wyposażenie laboratorium

Instrumenty

• Zlewka (250 mL)
• palnik Bunsena
• Kapilara
• Spuszczacz
• Płyta grzewcza
• Stojak laboratoryjny i zaciski
• Mieszadło magnetyczne
• Linijka
• Termometry
• Minutnik
• Szkiełko zegarka
• Rękawice termiczne

Produkty

• Oliwa z oliwek
• Lód
• Zimna woda z kranu