056 – La relation entre la température et le volume d'un gaz

Chauffez un gaz et il se dilate. Ce seul fait maintient une montgolfière dans le ciel, entraîne la convection qui fait circuler l'air dans une pièce, fait lever le pain, et est la raison pour laquelle le témoin de pression des pneus d'une voiture s'allume lors de la première matinée froide de l'hiver. Exprimé quantitativement, c'est la loi de Charles : pour une quantité fixe de gaz maintenue à pression constante, le volume est directement proportionnel à la absolu température, V / T = constante. Le mot absolue fait tout le travail — la proportionnalité ne vaut que lorsque la température est comptée à partir du point où le mouvement moléculaire cesserait, et non à partir du point de congélation de l'eau.

La raison est la même image cinétique qui explique la loi de Boyle, prise à l'envers. La température détermine la vitesse à laquelle les molécules se déplacent. Réchauffez le gaz et chaque molécule frappe la paroi plus violemment et plus souvent, de sorte que si le gaz était confiné, la pression augmenterait. Ici, il n'est pas confiné : le gaz est libre de pousser son joint le long du tube jusqu'à ce qu'il se soit suffisamment détendu pour que les collisions équilibrent à nouveau la pression de la pièce extérieure. Le volume auquel il se stabilise est proportionnel à la température absolue.

Dans ce laboratoire, vous piégerez une courte colonne d'air dans un tube capillaire en verre de 0,5 mm de rayon interne, scellé au sommet par une goutte d'huile d'olive qui coulisse librement et ne fuit pas. Le tube est fixé à côté d'une règle et immergé dans un bécher d'eau glacée sur une plaque chauffante agitative. En réchauffant le bain par paliers d'environ dix degrés et en lisant la hauteur du bas de la goutte à chaque palier, on obtient dix paires correspondantes de température et de longueur. Comme le calibre est uniforme, la hauteur est le volume à un facteur multiplicatif près, de sorte qu'un graphique de la hauteur en fonction de la température est un graphique de la loi de Charles — et le point où cette ligne droite atteint une hauteur nulle est le zéro absolu, déterminé à partir d'un banc dans une pièce chauffée.

Objectifs Éducatifs

Familiarisation avec l'environnement du laboratoire

• Identifiez le tube capillaire, le joint d'étanchéité, le bain-marie, l'agitateur magnétique et la règle fixée, et indiquez le rôle de chacun.
• Expliquez pourquoi la colonne piégée doit être entièrement sous la ligne d'eau et pourquoi ni le tube ni le thermomètre ne doivent toucher la paroi du bécher.

Préparation d'un échantillon scellé

• Chauffer uniformément le capillaire et aspirer un bouchon d'huile de 5 mm à 1 cm dans l'extrémité ouverte lors du refroidissement du tube, et expliquer pourquoi l'air en refroidissement aspire l'huile.
• Manipulez la verrerie chaude avec des gants thermiques et éteignez le bec Bunsen avant de passer à la partie B.

Mesure et enregistrement des données

• Relevez la température de l'eau et la hauteur du fond de la goutte d'huile uniquement après que la lecture s'est stabilisée, et expliquez pourquoi l'agitateur a de l'importance.
• Enregistrez dix paires concordantes sur la plage de températures la plus large que le bain permet, plutôt que deux points aux extrêmes.

Traitement quantitatif de la loi de Charles

• Convertissez chaque lecture Celsius en kelvin et vérifiez si h / T est constant.
• Convertir une hauteur en volume avec V = πr²et montrer que le choix des unités n'affecte pas le test.
• Tracez la hauteur en fonction de la température en degrés Celsius, ajustez une ligne droite et extrapolez-la à une hauteur nulle pour localiser le zéro absolu.

Évaluation critique de la mesure

• Estimez la pression que le bouchon de vidange lui-même ajoute et montrez qu'elle est négligeable par rapport à la pression atmosphérique.
• Expliquez pourquoi il faut utiliser toute la plage de températures pour l'extrapolation.

Protocole

PARTIE A : La préparation du tube capillaire

1. Au-dessus de la plaque chauffante ; fixez une pince universelle à chacun des deux supports.
2. À l'aide de la pipette, prélevez un peu d'huile d'olive et déposez deux gouttes d'huile sur le verre de montre.
3. Allume le bec Bunsen.
4. À l'aide de gants thermiques; chauffer le tube capillaire sur toute sa longueur en l'exposant à la flamme tout en effectuant des mouvements d'avant en arrière pendant environ 20 secondes.
5. Placez l'extrémité ouverte (l'extrémité transparente) du tube très chaud sur les gouttes d'huile préparées à l'étape 1. L'huile devrait monter d'elle-même dans le tube capillaire.
6. Remettez le tube en position verticale (l'extrémité ouverte vers le haut) et attendez quelques secondes qu'il refroidisse.
7. Fixez le tube capillaire à la pince universelle du support droit, en positionnant l'extrémité ouverte (transparente) vers le haut.
8. Éteignez le bec Bunsen.

• La goutte d'huile dans le tube capillaire doit avoir une épaisseur comprise entre 5 mm et 1 cm.

PARTIE B : Mesure de la relation volume-température

9. Placez le bécher de 250 mL sur la plaque chauffante (n'allumez pas la plaque chauffante).
10. Placez l'agitateur magnétique dans le bécher.
11. Fixez le thermomètre sur la pince universelle du support gauche et placez-le verticalement dans un bécher de 250 mL. Ni le tube capillaire ni le thermomètre ne doivent toucher les parois du bécher.
12. Sécurisez la règle derrière le tube capillaire pour mesurer la hauteur de la goutte d'huile.
13. Prenez le bécher contenant de la glace et ajoutez-y 250 mL d'eau du robinet froide.
14. Puis verser l'eau froide et les glaçons dans le bécher contenant le tube capillaire. Le niveau de l'eau doit dépasser celui de la goutte d'huile.
15. Observez la température de l'eau et la hauteur du fond de la goutte d'huile une fois que la température s'est stabilisée.
16. Démarrez l'agitateur sur la plaque chauffante.
17. Démarrez le chronomètre.
18. Allume la plaque chauffante à basse intensité (20°C) et attends que la température monte d'une dizaine de degrés.
19. Dans le tableau des résultats; observez la température de l'eau et la hauteur du bas de la gouttelette d'huile une fois que la température s'est stabilisée. Vous remarquerez le changement de hauteur de la gouttelette en fonction des variations de la température de l'eau.
20. Répétez les étapes 18 et 19 tout en augmentant la température de la plaque de 10 degrés supplémentaires.
21. Éteins la plaque chauffante et attends que tout refroidisse.

• Note : L'intérieur du tube capillaire a un rayon de 0,5 mm.

Résultats attendus

Résultats attendus

Le calibre du capillaire est uniforme, de sorte que l'air piégé occupe un cylindre de section transversale πr² = π × (0,5 mm)² = 0,785 mm². Son volume est donc V = 0,785 × h, avec h en millimètres et V en mm³³, et depuis 1 mm³ = 1 µL : la hauteur en millimètres se convertit en volume en microlitres à l'aide de ce facteur unique : 47,3 mm → 37,1 µL, 62,1 mm → 48,8 µL. Comme ce facteur est le même à toutes les températures, vérifier que V ∝ T revient à vérifier que h ∝ T, et la règle suffit à elle seule.

Ce que révèlent les chiffres

La loi de Charles stipule que V₁ / T₁ = V₂ / T₂ pour une quantité fixe de gaz à pression constante, T étant exprimé en kelvins. En prenant les deux extrémités de la série : 47,3 mm / 277,2 K = 0,1706 mm/K et 62,1 mm / 364,2 K = 0,1705 mm/K. Chaque mesure intermédiaire donne le même chiffre à 0,03 % près. Autrement dit, la température augmente d’un facteur de 364,2 / 277,2 = 1,314 sur toute la longueur de la série et la colonne s'allonge de 62,1 / 47,3 = 1,313 — les deux rapports concordent à un millième près, ce qui résume l'essence même de la loi.

Atteindre le zéro absolu sans s'en approcher

C'est la raison pour laquelle l'expérience a survécu pendant deux siècles. Tracez la hauteur de chute en fonction de Celsius la température et les points s'alignent sur une droite, h = 0,1705 t + 46,6, où la pente est en mm par °C et l'ordonnée à l'origine est la hauteur qu'aurait la colonne à 0 °C. Prolongez cette droite vers l'arrière jusqu'à h = 0 et elle atteint t = −46,6 / 0,1705 = −273 °C. Rien dans l'appareil ne descend en dessous de 4 °C ; le zéro de l'échelle absolue est trouvé par extrapolation à partir d'un bécher d'eau tiède, et le fait que la même ordonnée à l'origine soit obtenue quel que soit le gaz utilisé est ce qui en fait une propriété de la température plutôt que de l'air.

Pourquoi la pression est réellement constante

La goutte d'huile est libre de glisser, de sorte que l'air piégé est toujours à la pression de la pièce plus deux petites corrections. Le poids du bouchon lui-même contribue à hauteur de ρgL : pour l'huile d'olive à environ 910 kg/m³ et un bouchon de 7 mm dont la pression est de 910 × 9,81 × 0,007 = 62 Pa, soit six centièmes de pour cent de la pression atmosphérique. La tension superficielle apporte une contribution de 2γ/r à chaque ménisque, soit environ 2 × 0,032 / 0,0005 = 128 Pa, mais les deux ménisques s’incurvent dans des sens opposés et s’annulent presque entièrement ; seule leur différence subsiste. Ces deux corrections sont bien inférieures à tout ce qu’une règle millimétrique pourrait révéler, c’est pourquoi la condition de pression constante peut être considérée comme exactement respectée.

La quantité de gaz et l'image cinétique

De n = PV / RT à la première lecture, n = (101 325 Pa × 3,71 × 10⁻⁸ m³) / (8,314 J·mol⁻¹·K⁻¹ × 277,2 K) = 1,63 × 10⁻⁶ mol — environ 47 µg d'air, soit environ 9,8 × 10¹⁷ molécules. Ce nombre est déterminé par le joint d'étanchéité et ne varie pas. Le réchauffement de l'échantillon de 277 K à 364 K n'augmente la vitesse moléculaire quadratique moyenne que de √(364/277) = 1,15, soit quinze pour cent, tandis que le volume augmente de 31 % : les molécules accélèrent proportionnellement à la racine carrée de la température, mais le gaz doit se dilater proportionnellement à celle-ci, car la pression dépend à la fois de la force et de la fréquence des collisions entre les molécules, et le gaz se dilate précisément de manière à ce que le taux d’arrivée par unité de surface reste identique à celui de la pièce extérieure.

Résumé du devoir par tranche d'âge

Classe de 3e à la 2de

Concentration. Observation et vocabulaire. Les élèves constatent que le réchauffement d'un gaz le fait prendre plus de place, et apprennent que le joint doit coulisser librement pour que la pression reste constante.

• Préparez le capillaire, capturez la goutte d'huile et décrivez ce qui lui arrive lorsque le bain se réchauffe.
• Enregistrez cinq lectures corrélées de la température de l'eau et de la hauteur de chute, puis saisissez-les dans un tableau.
• Tracez la hauteur en fonction de la température à la main et décrivez le résultat comme une droite plutôt que comme une courbe.
• Répondez en toutes lettres pourquoi la goutte se déplace vers le haut plutôt que la pression n'augmente.

11e année

Concentration. Traitement quantitatif. Les étudiants convertissent en kelvins, testent la proportionnalité numériquement et effectuent l'extrapolation qui donne le zéro absolu.

• Prenez les dix mesures, convertissez chacune en kelvins, et ajoutez une colonne de h / T ; indiquez sa moyenne et sa dispersion.
• Convertir deux hauteurs en volumes avec V = πr²h et confirmez que V / T donne la même constance que h / T.
• Porter la hauteur en fonction de la température en Celsius, ajuster une droite et lire à la fois la pente et l'ordonnée à l'origine.
• Extrapolez la droite à une hauteur nulle et citez la température qu'elle atteint, avec un commentaire sur la distance à laquelle ce point se trouve en dehors des données.

12e année / Niveau universitaire

Concentration. Dérivation, analyse des erreurs et interprétation indépendante.

• Dérivez V ∝ T à partir de PV = nRT et identifiez exactement quelles quantités l'appareil maintient fixes et par quel mécanisme.
• Calculez la quantité d'air piégé en moles, en microgrammes et en molécules, et montrez qu'elle reste inchangée tout au long de l'expérience.
• Estimez les contributions hydrostatiques et liées à la tension superficielle du bouchon d'huile et montrez que l'hypothèse de pression constante est valable avec une précision supérieure à 0,1 %.
• Expliquez pourquoi la vitesse moléculaire quadratique moyenne augmente en fonction de √T tandis que le volume augmente en fonction de T, et réconciliez les deux en utilisant P = (1/3)(N/V)m〈v²〉²〉.
• Discutez de ce que l'expérience peut et ne peut pas dire sur le zéro absolu, étant donné que l'air se liquéfie près de 80 K.

Essentiels de laboratoire

Instruments

• Bécher (250 mL)
• Bec Bunsen
• Tube capillaire
• Goutte
• Plaque chauffante
• Support de laboratoire et pinces
• Agitateur magnétique
• Règle
• Thermomètres
• Minuteur
• Verre de montre
• Gants thermiques

Produits

• Huile d'olive
• Glace
• Eau froide du robinet