056 – La relació entre la temperatura i el volum d'un gas

Escalfeu un gas i s'expandirà. Aquest sol fet manté un globus aerostàtic al cel, impulsa la convecció que fa circular l'aire d'una habitació, fa pujar el pa i és el motiu pel qual el llum d'advertència de la pressió dels pneumàtics d'un cotxe s'encén durant el primer matí fred de l'hivern. Dit quantitativament, és la llei de Charles: per a una quantitat fixa de gas mantinguda a pressió constant, el volumen és directament proporcional a la absolut temperatura, V / T = constant. La paraula "absoluta" fa tota la feina — la proporcionalitat només es compleix quan la temperatura es compta des del punt on el moviment molecular cessaria, no des del punt de congelació de l'aigua.

La raó és la mateixa imatge cinètica que explica la llei de Boyle, però a la inversa. La temperatura determina com de ràpid es mouen les molècules. Si s'escalfa el gas, cada molècula arriba a la paret amb més força i més sovint, de manera que, si estigués confinat, la pressió augmentaria. Aquí no està confinat: el gas té llibertat per empènyer el seu èmbol al llarg del tub fins a estendre' riure prou perquè les col·lisions tornin a equilibrar la pressió de l'exterior de la sala. El volum en què s'estabilitza és proporcional a la temperatura absoluta.

En aquest laboratori atraparàs una columna curta d'aire en un tub capil·lar de vidre de 0,5 mm de radi intern, segellat a la part superior per una gota d'oli d'oliva que llisca lliurement i no fuig gens. El tub es subjecta al costat d'un regle i es submergix en un vas de precipitats amb aigua gelada damunt d'una placa calenta agitada. En escalfar el bany en passos d'uns deu graus i llegir l'altura de la part inferior de la gota a cada altiplà s'obtenen deu parells emparellats de temperatura i longitud. Com que el calibre és uniforme, l'altura és el volum tret d'una constant multiplicativa, de manera que un diagrama d'alçada en funció de la temperatura és un diagrama de la llei de Charles, i el punt on aquesta línia recta arriba a una alçada zero és el zero absolut, determinat des d'un banc en una habitació temperada.

Objectius educatius

Familiarització amb l'entorn del laboratori

• Identifiqueu el tub capil·lar, el retén d'oli, el bany d'aigua, l'agitador magnètic i el regle subjectat amb pinces, i indiqueu la funció de cadascun.
• Expliqueu per què la columna atrapada ha d'estar completament per sota de la línia d'aigua i per què ni el tub ni el termòmetre no poden tocar la paret del vas de precipits.

Preparant una mostra segellada

• Escalfeu el capil·lar de manera uniforme i introduïu un tap d'oli de 5 mm a 1 cm a l'extrem obert a mesura que el tub es refreda, i expliqueu per què l'aire que es refreda aspira l'oli cap endins.
• Manipula els vidres calents amb guants tèrmics i apaga el cremor de Bunsen abans de passar a la Part B.

Mesura i enregistrament de dades

• Llegeix la temperatura de l'aigua i l'alçada de la part inferior de la gota d'oli només després que la lectura s'hagi estabilitzat, i explica per què el remenador és important.
• Anoteu deu parells aparellats en el rang de temperatures més ampli que permet el bany, en lloc de dos punts als extrems.

Tractament quantitatiu de la llei de Charles

• Converteix cada mesura en graus Celsius a kelvins i comprova si h/T és constant.
• Converteix una alçada en un volum amb V = πr²h i demostrar que l'elecció de les unitats no afecta la prova.
• Grafica l'altura en funció de la temperatura en graus Celsius, ajusta-hi una recta i extrapola-la fins a l'altura zero per localitzar el zero absolut.

Avaluació crítica de la mesura

• Estima la pressió que afegeix el tap de petroli i demostra que és negligible en comparació amb la pressió atmosfèrica.
• Explica per què cal utilitzar tot l'interval de temperatures per a l'extrapolació.

Protocol

PART A: La preparació del tub capil·lar

1. A sobre de la placa de calefacció; fixeu una pinça universal a cadascun dels dos suports.
2. Utilitzant el comptagotes; agafa una mica d'oli d'oliva i posa dues gotes d'oli al vidre de rellotge.
3. Encén el bec Bunsen.
4. Utilitzant guants tèrmics; escalfeu el tub capil·lar per tota la seva longitud exposant-lo a la flama mentre feu moviments d'anada i tornada durant uns 20 segons.
5. Col·loca l'extrem obert (l'extrem transparent) del tub molt calent sobre els degotalls d'oli preparats al pas 1. L'oli hauria de pujar sol al tub capil·lar.
6. Torna el tub a una posició vertical (amb l'extrem obert cap amunt) i espera uns segons perquè es refredi.
7. Fixeu el tub capil·lar a la pinça universal del suport dret, col·locant l'extrem obert (transparent) cap amunt.
8. Apaga el bec Bunsen.

• El pegot d'oli al tub capil·lar ha de tenir un gruix entre 5 mm i 1 cm.

PART B: Mesurament de la relació volum-temperatura

9. Poseu el vas de precipitats de 250 ml sobre la placa calefactora (no engegueu la placa calefactora).
10. Poseu l'agitador magnètic dins del vas de precipitats.
11. Fixeu el termòmetre a la pinça universal del peu esquerre i col·loqueu-lo verticalment al vas de precipitació de 250 ml. Ni el tub capil·lar ni el termòmetre han de tocar les parets del vas de precipitació.
12. Assegureu el regle darrere del tub capil·lar per mesurar l'alçada de la gota d'oli.
13. Agafa el bequer que conté gel i afegeix-hi 250 mL d'aigua freda de l'aixeta.
14. A continuació, aboqueu l'aigua freda i el gel al vas de precipitats que conté el tub capil·lar. El nivell de l'aigua ha de superar el del got d'oli.
15. Observeu la temperatura de l'aigua i l'alçada de la part inferior de la gota d'oli un cop la temperatura s'hagi estabilitzat.
16. Engegueu l'agitador a la placa calefactora.
17. Inicia el cronòmetre.
18. Encén la placa calefactora a baixa intensitat (20°C) i espera que la temperatura pugi uns deu graus.
19. A la taula de resultats, observeu la temperatura de l'aigua i l'alçada de la part inferior de la gota d'oli un cop la temperatura s'hagi estabilitzat. Notareu el canvi en l'alçada de la gota en funció dels canvis en la temperatura de l'aigua.
20. Repetiu els passos 18 i 19 augmentant la temperatura de la placa en 10 graus addicionals.
21. Apaga la placa vitroceràmica i espera que tot es refredi.

• Nota: L'interior del tub capil·lar té un radi de 0,5 mm.

Resultats previstos

Resultats esperats

El diàmetre interior del capil·lar és uniforme, de manera que l'aire atrapat ocupa un cilindre de secció transversal πr² = π × (0,5 mm)² = 0,785 mm². El seu volum és, per tant, V = 0,785 × h, amb h en mil·límetres i V en mm³, i des de 1 mm³ = 1 µL l'alçada en mil·límetres es converteix en un volum en microlitres per aquest únic factor: 47,3 mm → 37,1 µL, 62,1 mm → 48,8 µL. Com que el factor és el mateix a totes les temperatures, provar V ∝ T i provar h ∝ T és la mateixa prova, i només cal la regla.

El que diuen els números

La llei de Charles afirma que V₁ / T₁ = V₂ / T₂ per a una quantitat fixa de gas a pressió constant, amb T en kelvins. Prenent els dos extrems de la sèrie: 47,3 mm / 277,2 K = 0,1706 mm/K i 62,1 mm / 364,2 K = 0,1705 mm/K. Cada lectura intermèdia dona la mateixa xifra amb un marge d'error de 0,03 %. Posant-ho a l'inrevés, la temperatura augmenta en un factor de 364,2 / 277.2 = 1.314 al llarg de tot el recorregut i la columna s'allarga 62.1 / 47.3 = 1.313 — les dues relacions coincideixen en una part per mil, que és tot el contingut de la llei.

Trobar el zero absolut sense acostar-s'hi gens

Aquesta és la raó per la qual l'experiment ha sobreviscut durant dos segles. Gràfica l'alçada de la caiguda en funció del Celsius temperatura i els punts cauen sobre una recta, h = 0,1705 t + 46,6, on la pendent és en mm per °C i la intersecció és l'alçada que tindria la columna a 0 °C. Allarga aquesta recta cap enrere fins a h = 0 i arriba a t = −46,6 / 0,1705 = −273 °C. Res de l'aparell no baixa de 4 °C; el zero de l'escala absoluta es troba per extrapolació a partir d'un bequerel de l'aigua tèbia, i el fet que surti la mateixa intersecció independentment del gas que s'utilitzi és el que fa que sigui una propietat de la temperatura i no de l'aire.

Per què la pressió realment és constant

La gota d'oli es pot lliscar lliurement, de manera que l'aire atrapat està sempre a la pressió de l'habitació més dues petites correccions. El pes del tap mateix aporta ρgL: per a l'oli d'oliva, aproximadament 910 kg/m³ i un tap de 7 mm que és 910 × 9,81 × 0,007 = 62 Pa, sis centèsimes d'un per cent de la pressió atmosfèrica. La tensió superficial hi contribueix amb 2γ/r en cada menisc, aproximadament 2 × 0,032 / 0,0005 = 128 Pa, però els dos meniscs es corben en sentits oposats i gairebé es cancel·len; només sobreviu la seva diferència. Ambdues correccions són molt inferiors a qualsevol cosa que una regla d'un mil·límetre pogués revelar, motiu pel qual la condició de pressió constant es pot considerar exactament complerta.

La quantitat de gas i la imatge cinètica

A partir de n = PV / RT en la primera lectura, n = (101 325 Pa × 3.71 × 10⁻⁸ m³) / (8.314 J·mol)⁻¹·K⁻¹ × 277,2 K) = 1,63 × 10⁻⁶ mol — uns 47 µg d'aire, aproximadament 9,8 × 10¹⁷ molècules. Aquest nombre està fixat pel segell de l'oli i no canvia. Escalfar la mostra de 277 K a 364 K augmenta la velocitat molecular raiz-mitjana quadrada només en √(364/277) = 1,15, un quinze per cent, mentre que el volum creix fins als 31 %: les molècules s'acceleren segons l'arrel quadrada de la temperatura, però el gas s'ha d'expandir en proporció directa, perquè la pressió depèn tant de la força com de la freqüència amb què les molècules xoquen, i el gas s'estén precisament perquè la taxa d'arribada per unitat d'àrea es mantingui igualada a la de l'exterior de l'habitació.

Resum de tasques per rang de qualificació

De 9è a 10è grau

Concentra't. Observació i vocabulari. Els alumnes veuen que en thejar un gas aquest ocupa més espai, i aprenen que el segell ha de lliscar lliurement perquè la pressió es mantingui constant.

• Prepareu el capil·lar, captureu la gota d'oli i descriviu què li passa a mesura que s'escalfa el bany.
• Preneu cinc lectures aparellades de la temperatura de l'aigua i l'alçada de caiguda i introduïu-les en una taula.
• Representeu gràficament l'altura en funció de la temperatura a mà i descriviu el resultat com a línia recta en lloc de com a corba.
• Responeu amb paraules per què la gota puja en lloc de pujar la pressió.

11è curs

Concentra't. Tractament quantitatiu. Els estudiants fan la conversió a kelvin, comproven numèricament la proporcionalitat i fan l'extrapolació que dona el zero absolut.

• Preneu les deu lectures, convertiu cadascuna a kelvin i afegiu una columna de h / T; indiqueu-ne la mitjana i la dispersió.
• Converteix dues altures a volums amb V = πr²h i confirmeu que V / T dóna la mateixa constància que h / T.
• Representeu l'alçada en funció de la temperatura en graus Celsius, ajusteu-hi una línia recta i llegiu tant el pendent com el punt d'intersecció.
• Extrapoleu la línia a una alçada zero i citeu la temperatura a la qual arriba, amb un comentari sobre com de lluny de les dades es troba aquest punt.

12è curs / Nivell universitari

Concentra't. Derivació, anàlisi d'errors i interpretació independent.

• Deduïu V ∝ T a partir de PV = nRT i identifiqueu exactament quines quantitats manté fixes l'aparell i mitjançant quin mecanisme.
• Calculeu la quantitat d'aire atrapat en mols, micrograms i molècules, i mostreu que no varia al llarg de la simulació.
• Estimeu les contribucions hidrostàtiques i de tensió superficial del tap d'oli i mostreu que la suposició de pressió constant es compleix amb una precisió millor de 0,1 %.
• Explica per què la velocitat molecular mitjana quadràtica augmenta com a √T mentre que el volum augmenta com a T, i reconcilia tots dos fets utilitzant P = (1/3)(N/V)m⟨v²⟩²〉.
• Valieu què pot dir i què no pot dir l'experiment sobre el zero absolut, tenint en compte que l'aire es liqua a prop de 80 K.

Equipament de laboratori

Instruments

• Vas de precipitats (250 mL)
• Bec d'en Bunsen
• Tub de capil·lar
• Gotejador
• Plaqueta elèctrica
• Bastidor de laboratori i pinces
• Agitador magnètic
• Regla
• Termòmetres
• Temporitzador
• Plat de rellotge
• Guants tèrmics

Productes

• Oli d'oliva
• Gel
• Aigua de l'aixeta freda