056 – Relația dintre temperatura unui gaz și volumul său

Încălzește un gaz și acesta se va răspândi. Acest singur fapt menține un balon cu aer cald pe cer, pune în mișcare convecția care circulă aerul într-o cameră, face pâinea să crească și este motivul pentru care se aprinde ledul de avertizare pentru presiunea din pneurile unei mașini în prima dimineață rece de iarnă. Exprimat cantitativ, este legea lui Charles: pentru o cantitate fixă de gaz menținută la presiune constantă, volumul este direct proporțional cu absolut temperatură, V / T = constant. Cuvântul absolut face toată treaba — proporționalitatea este valabilă doar atunci când temperatura este măsurată începând din punctul în care mișcarea moleculară ar înceta, nu de la punctul de îngheț al apei.

Motivul este aceeași imagine cinetică ce explică legea lui Boyle, privită în sens invers. Temperatura determină cât de repede se mișcă moleculele. Încălziți gazul și fiecare moleculă lovește peretele mai puternic și mai des, așa că, dacă ar fi închis, presiunea ar crește. Aici nu este închis: gazul este liber să își împingă elementul de etanșare de-a lungul tubului până când s-a răspândit suficient încât ciocnirile să echilibreze din nou presiunea camerei din exterior. Volumul la care se stabilizează este proporțional cu temperatura absolută.

În acest laborator veți captura o coloană scurtă de aer într-un tub capilar de sticlă cu o rază internă de 0,5 mm, sigilat la partea superioară de către o picătură de ulei de măsline care alunecă liber și nu pierde nimic. Tubul este fixat cu o clemă lângă o riglă și imersat într-un pahar cu apă cu gheață aflat pe o placă de încălzire cu agitator. Încălzirea băii în trepte de aproximativ zece grade și citirea înălțimii bazei picăturii la fiecare platou oferă zece perechi corespondente de temperatură și lungime. Deoarece secțiunea este uniformă, înălțimea este volumul până la un factor constant, astfel încât un grafic al înălțimii în funcție de temperatură este un grafic al legii lui Charles — iar punctul în care acea linie dreaptă ajunge la înălțime zero este zero absolut, localizat de pe o bancă dintr-o cameră caldă.

Obiective educaționale

Familiarizarea cu mediul de laborator

• Identificați tubul capilar, garnitura de etanșare pentru ulei, baia de apă, agitatorul magnetic și rigla fixată cu clemă și precizați rolul fiecăruia.
• Explicați de ce coloana prinsă trebuie să fie complet sub linia apei și de ce nici tubul, nici termometrul nu trebuie să atingă peretele paharului.

Pregătirea unei probe sigilate

• Încălziți capilarul uniform și trageți un dop de ulei de 5 mm până la 1 cm în capătul deschis pe măsură ce tubul se răcește, și explicați de ce aerul care se răcește trage uleiul în interior.
• Manipulați obiectele din sticlă fierbinți folosind mănuși termice și stingeți arzătorul Bunsen înainte de a trece la partea B.

Măsurarea și înregistrarea datelor

• Citește temperatura apei și înălțimea fundului picăturii de ulei numai după ce citirea s-a stabilizat și explică de ce este important agitatorul.
• Înregistrați zece perechi potrivite pe cel mai larg interval de temperatură permis de baie, în loc de două puncte la extreme.

Tratarea cantitativă a legii lui Charles

• Convertește fiecare valoare în grade Celsius în kelvin și testează dacă h / T este constant.
• Conversia unei înălțimi într-un volum cu V = πr²h și să arătăm că alegerea unităților de măsură nu afectează testul.
• Reprezentați grafic înălțimea în funcție de temperatura în grade Celsius, ajustați o linie dreaptă și extrapolați-o la înălțime zero pentru a localiza zero absolut.

Evaluarea critică a măsurătorii

• Estimați presiunea pe care o adaugă însuși bușonul de ulei și arătați că aceasta este neglijabilă pe lângă presiunea atmosferică.
• Explicați de ce trebuie utilizat întregul interval de temperatură pentru extrapolare.

Protocol

PARTEA A: Pregătirea tubului capilar

1. Deasupra plăcii de încălzire; atașați o clemă universală la fiecare dintre cele două suporturi.
2. Folosind picurătorul; luați puțin ulei de măsline și puneți două picături de ulei pe ceasul de sticlă.
3. Aprinde arzătorul Bunsen.
4. Folosind mănuși termice; încălziți tubul capilar pe toată lungimea sa, expunându-l flăcării în timp ce efectuați mișcări înainte și înapoi timp de aproximativ 20 de secunde.
5. Plasați capătul deschis (capătul transparent) al tubului fierbinte peste picăturile de ulei pregătite la pasul 1. Uleiul ar trebui să urce de la sine în tubul capilar.
6. Pune tubul într-o poziție verticală (cu capătul deschis în sus) și așteaptă câteva secunde pentru ca acesta să se răcească.
7. Atașează tubul capilar la clema universală a suportului din dreapta; poziționând capătul deschis (transparent) în sus.
8. Oprește arzătorul Bunsen.

• Picătura de ulei din tubul capilar trebuie să aibă o grosime între 5 mm și 1 cm.

PARTEA B: Măsurarea relației volum-temperatură

9. Pune paharul Berzelius de 250 mL pe plita fierbinte (nu porni plita).
10. Pune agitatorul magnetic în paharul Berzelius.
11. Atașați termometrul la clema universală a stativului din stânga și așezați-l vertical în paharul Berzelius de 250 mL. Nici tubul capilar, nici termometrul nu trebuie să atingă pereții paharului.
12. Securizați rigla în spatele tubului capilar pentru a măsura înălțimea picăturii de ulei.
13. Luați paharul de laborator care conține gheață și adăugați în el 250 ml de apă rece de la robinet.
14. Apoi turnați apa rece și gheața în vasul de laborator care conține tubul capilar. Nivelul apei trebuie să depășească nivelul picăturii de ulei.
15. Observați temperatura apei și înălțimea fundului picăturii de ulei odată ce temperatura s-a stabilizat.
16. Porniți agitatorul pe plita fierbinte.
17. Porniți cronometrul.
18. Pornește plita la intensitate scăzută (20°C) și așteaptă ca temperatura să crească cu aproximativ zece grade.
19. În tabelul de rezultate; observați temperatura apei și înălțimea fundului picăturii de ulei odată ce temperatura s-a stabilizat. Veți observa schimbarea înălțimii picăturii în funcție de modificările temperaturii apei.
20. Repetați pașii 18 și 19, mărind temperatura plăcii cu încă 10 grade.
21. Oprește plita și așteaptă să se răcească totul.

• Notă: Interiorul tubului capilar are o rază de 0,5 mm.

Rezultate anticipate

Rezultate preconizate

Diametrul interior al capilarului este uniform, astfel încât aerul captat ocupă un cilindru cu secțiunea transversală πr² = π × (0,5 mm)² = 0,785 mm². Volumul său este, prin urmare, V = 0,785 × h, cu h în milimetri și V în mm³, iar având în vedere că 1 mm³ = 1 µL; înălțimea exprimată în milimetri se convertește în volum exprimat în microlitri prin acest factor: 47,3 mm → 37,1 µL, 62,1 mm → 48,8 µL. Deoarece factorul este același la orice temperatură, testarea relației V ∝ T și testarea relației h ∝ T reprezintă același test, iar rigla este suficientă.

Ce arată cifrele

Legea lui Charles prevede că V₁ / T₁ = V₂ / T₂ pentru o cantitate fixă de gaz la presiune constantă, cu T exprimată în kelvini. Luând cele două extremități ale seriei: 47,3 mm / 277,2 K = 0,1706 mm/K și 62,1 mm / 364,2 K = 0,1705 mm/K. Fiecare valoare intermediară dă același rezultat, cu o abatere de 0,03 %. Spus invers, temperatura crește cu un factor de 364,2 / 277,2 = 1,314 pe parcursul experimentului, iar coloana se alungește cu 62,1 / 47,3 = 1,313 — cele două rapoarte coincid cu o precizie de o miime, ceea ce constituie întregul conținut al legii.

A ajunge la zero absolut fără a te apropia deloc de el

Acesta este motivul pentru care experimentul a rezistat timp de două secole. Reprezentați grafic înălțimea de cădere în funcție de Celsius temperatura, iar punctele se află pe o dreaptă, h = 0,1705 t + 46,6, unde panta este exprimată în mm pe °C, iar ordonata la origine reprezintă înălțimea pe care ar avea-o coloana la 0 °C. Extindem acea dreaptă înapoi până la h = 0 și ajungem la t = −46,6 / 0,1705 = −273 °C. Nimic din aparat nu coboară sub 4 °C; zero-ul scalei absolute se determină prin extrapolare pornind de la un pahar cu apă caldă, iar faptul că se obține aceeași ordonată la origine indiferent de gazul utilizat este ceea ce face ca aceasta să fie o proprietate a temperaturii și nu a aerului.

De ce presiunea este, de fapt, constantă

Picătură de ulei se poate deplasa liber, astfel încât aerul captat se află întotdeauna la presiunea din încăpere, plus două mici corecții. Greutatea dopului în sine contribuie cu ρgL: pentru uleiul de măsline, la aproximativ 910 kg/m³ și un dop de 7 mm, care are o presiune de 910 × 9,81 × 0,007 = 62 Pa, adică șase sutimi de procent din presiunea atmosferică. Tensiunea superficială contribuie cu 2γ/r la fiecare menisc, aproximativ 2 × 0,032 / 0,0005 = 128 Pa, dar cei doi meniscuri se curbează în sensuri opuse și aproape se anulează reciproc; rămâne doar diferența dintre ei. Ambele corecții sunt cu mult sub orice ar putea revela o riglă de un milimetru, motiv pentru care condiția de presiune constantă poate fi considerată îndeplinită exact.

Cantitatea de gaz și imaginea cinetică

Din n = PV / RT la prima măsurătoare, n = (101 325 Pa × 3,71 × 10⁻⁸ m³) / (8.314 J·mol⁻¹·K⁻¹ × 277,2 K) = 1,63 × 10⁻⁶ mol — aproximativ 47 µg de aer, adică aproximativ 9,8 × 10¹⁷ molecule. Acest număr este determinat de garnitura de etanșare și nu se modifică. Încălzirea probei de la 277 K la 364 K crește viteza moleculară medie pătratică cu doar √(364/277) = 1,15, adică cu cincisprezece la sută, în timp ce volumul crește cu 31 %: moleculele accelerează proporțional cu rădăcina pătrată a temperaturii, dar gazul trebuie să se extindă direct proporțional cu aceasta, deoarece presiunea depinde atât de intensitatea, cât și de frecvența loviturilor moleculelor, iar gazul se răspândește tocmai pentru ca rata de sosire pe unitate de suprafață să rămână egală cu cea din camera exterioară.

Rezumatul temei pe intervale de note

Clasele a IX-a și a X-a

Concentrare. Observație și vocabular. Elevii observă că încălzirea unui gaz îl face să ocupe mai mult spațiu și învață că etanșarea trebuie să alunece liber pentru ca presiunea să rămână constantă.

• Pregătiți capilarul, capturați picătura de ulei și descrieți ce se întâmplă cu aceasta pe măsură ce baia se încălzește.
• Înregistrați cinci citiri corelate ale temperaturii apei și înălțimii de cădere și introduceți-le într-un tabel.
• Reprezentați manual înălțimea în funcție de temperatură și descrieți rezultatul ca pe o linie dreaptă, mai degrabă decât ca pe o curbă.
• Răspundeți în cuvinte de ce picătura se deplasează în sus în loc ca presiunea să crească.

Clasa a XI-a

Concentrare. Tratament cantitativ. Studenții convertesc în kelvin, testează proporționalitatea numerică și fac extrapolarea care dă zero absolut.

• Ia toate cele zece citiri, convertește-o pe fiecare în kelvin și adaugă o coloană cu h / T; precizează media și dispersia acesteia.
• Convertește două înălțimi în volume cu V = πr²h și confirmați că V / T oferă aceeași constanță ca h / T.
• Reprezentați înălțimea în funcție de temperatura în grade Celsius, ajustați o linie dreaptă și citiți atât panta, cât și ordonata la origine.
• Extrapolați linia la o înălțime de zero și menționați temperatura la care ajunge, cu un comentariu despre cât de în afara datelor se află acel punct.

Clasa a XII-a / Nivel universitar

Concentrare. Derivare, analiză a erorilor și interpretare independentă.

• Derivați V ∝ T din PV = nRT și identificați exact ce mărimi menține aparatul fixe și prin ce mecanism.
• Calculați cantitatea de aer prins în moli, micrograme și molecule și arătați că aceasta rămâne neschimbată pe parcursul rulării.
• Estimați contribuțiile hidrostatice și ale tensiunii superficiale ale dopului de ulei și demonstrați că ipoteza presiunii constante se verifică cu o precizie mai bună de 0,1 %.
• Explicație pentru creșterea vitezei medii pătratice a moleculelor ca $\sqrt{T}$ și a volumului ca $T$, și reconcilierea acestora folosind ecuația $P = \frac{1}{3}\left(\frac{N}{V}\right)m\langle v^2 \rangle$: 1. **Viteza medie pătratică ($\sqrt{\langle v^2 \rangle} \propto \sqrt{T}$):** Conform teoriei cinetico-moleculare, energia cinetică translatională medie a unei molecule este direct proporțională cu temperatura absolută: $\frac{1}{2}m\langle v^2 \rangle = \frac{3}{2}k_B T$. Prin urmare, $\langle v^2 \rangle = \frac{3k_B T}{m}$, ceea ce înseamnă că viteza medie pătratică este proporțională cu rădăcina pătrată a temperaturii ($\sqrt{T}$). 2. **Volumul în expansiunea termică izobară ($V \propto T$):** Conform Legii lui Charles, pentru o masă fixă de gaz la presiune constantă ($P$), volumul ($V$) este direct proporțional cu temperatura absolută ($T$). Pe măsură ce temperatura crește, moleculele se mișcă mai repede și se depărtează unele de altele, mărind volumul ocupat de gaz. 3. **Reconcilierea prin ecuația presiunii:** Ecuația presiunii este $P = \frac{1}{3}\left(\frac{N}{V}\right)m\langle v^2 \rangle$, care poate fi scrisă și ca $PV = \frac{1}{3}Nm\langle v^2 \rangle$. Deoarece $m\langle v^2 \rangle$ este direct proporțional cu $T$ (energia cinetică), membrul drept al ecuației devine proporțional cu $N \cdot T$. Dacă presiunea $P$ este menținută constantă, atunci pentru ca egalitatea să se mențină atunci când temperatura $T$ crește, volumul $V$ trebuie să crească exact în aceeași proporție cu $T$. Creșterea temperaturii determină două efecte: - Creșterea pătratului vitezei $\langle v^2 \rangle$ proporțional cu $T$. - Creșterea proporțională a volumului $V$ cu $T$, ceea ce menține densitatea numerică a moleculelor $\left(\frac{N}{V}\end{dublu-punct}\right)$ în scădere exact cât trebuie pentru ca presiunea macroscopică $P$ să rămână constantă, reconciliind astfel dependența de $\sqrt{T}$ a vitezei cu dependența de $T$ a volumului.²〉.
• Discutați despre ceea ce poate și nu poate spune experimentul despre zero absolut, având în vedere că aerul se lichefiază în jur de 80 K.

Esențiale de laborator

Instrumente

• Pahar Berzelius (250 mL)
• Arzător Bunsen
• Tub capilar
• Picurător
• Plită
• Stand și cleme de laborator
• Agitator magnetic
• Rigla
• Termometre
• Cronometru
• Ceas de sticlă
• Mănuși termice

Produse

• Ulei de măsline
• Gheață
• Apă rece de la robinet