056 – Der Zusammenhang zwischen der Temperatur eines Gases und seinem Volumen

Erwärmt man ein Gas, so dehnt es sich aus. Allein diese Tatsache hält einen Heißluftballon in der Luft, treibt die Konvektion an, die die Luft in einem Raum zirkulieren lässt, lässt Brot aufgehen und ist der Grund dafür, dass beim ersten kalten Wintermorgen die Reifendruckwarnleuchte eines Autos aufleuchtet. Quantitativ ausgedrückt ist dies das Gesetz von Gay-Lussac: Für eine feste Menge Gas bei konstantem Druck ist das Volumen direkt proportional zur absolut Temperatur, V / T = konstant. Das Wort absolut leistet hier die ganze Arbeit – die Proportionalität gilt nur dann, wenn die Temperatur von dem Punkt an gezählt wird, an dem die Molekularbewegung aufhören würde, und nicht ab dem Gefrierpunkt von Wasser.

Der Grund ist dasselbe kinetische Bild, das das Boyle-Mariotte-Gesetz erklärt, nur umgekehrt. Die Temperatur bestimmt, wie schnell sich die Moleküle bewegen. Erwärmt man das Gas, trifft jedes Molekül härter und öfter auf die Wand, sodass der Druck steigen würde, wenn es eingeschlossen wäre. Hier ist es nicht eingeschlossen: Das Gas kann seinen Stopfen so lange im Rohr verschieben, bis es sich so weit ausgebreitet hat, dass die Stöße wieder den Druck des Raumes draußen ausgleichen. Das Volumen, bei dem es sich einpendelt, ist proportional zur absoluten Temperatur.

In diesem Labor fangen Sie eine kurze Luftsäule in einer Glaskapillare mit 0,5 mm Innendurchradius ein, die oben durch einen Tropfen Olivenöl verschlossen ist, der frei gleitet und nichts entweichen lässt. Das Rohr wird neben ein Lineal geklemmt und in ein Becherglas mit Eiswasser auf einer gerührten Heizplatte getaucht. Das Erwärmen des Bades in Schritten von etwa zehn Grad und das Ablesen der Höhe der Tropfenunterseite auf jedem Plateau ergibt zehn zusammengehörige Paare von Temperatur und Länge. Da die Bohrung gleichmäßig ist, entspricht die Höhe ist das Volumen bis auf einen konstanten Faktor, sodass eine Auftragung der Höhe gegen die Temperatur eine Darstellung des Gesetzes von Charles ist – und der Punkt, an dem diese Gerade die Höhe Null erreicht, der absolute Nullpunkt ist, bestimmt von einer Bank in einem warmen Raum.

Bildungsziele

Einarbeitung in die Laborumgebung

• Identifizieren Sie die Kapillarröhre, den Wellendichtring, das Wasserbad, den Magnetrührer und das eingespannte Lineal und geben Sie die Funktion der jeweiligen Komponente an.
• Erklären Sie, warum sich die eingeschlossene Säule vollständig unterhalb der Wasserlinie befinden muss und warum weder das Reagenzglas noch das Thermometer die Becherglaswand berühren dürfen.

Vorbereitung einer versiegelten Probe

• Erwärmen Sie die Kapillare gleichmäßig und ziehen Sie beim Abkühlen des Rohrs einen Ölstopfen von 5 mm bis 1 cm in das offene Ende, und erklären Sie, warum die abkühlende Luft das Öl hineinzieht.
• Fassen Sie heiße Glasgeräte mit Thermohandschuhen an und schalten Sie den Bunsenbrenner aus, bevor Sie zu Teil B übergehen.

Messung und Datenaufzeichnung

• Lesen Sie die Wassertemperatur und die Höhe des Bodens des Öltropfens erst ab, nachdem sich der Messwert stabilisiert hat, und erklären Sie, warum der Rührer wichtig ist.
• Zeichnen Sie zehn Wertepaare über den vom Bad zugelassenen breitesten Temperaturbereich auf, anstatt zwei Punkte an den Extremen.

Quantitative Behandlung des Charles-Gesetzes

• Wandeln Sie jeden Celsius-Messwert in Kelvin um und prüfen Sie, ob h / T konstant ist.
• Konvertieren Sie eine Höhe in ein Volumen mit V = πr²und zeige, dass die Wahl der Einheiten den Test nicht beeinflusst.
• Tragen Sie die Höhe gegen die Celsius-Temperatur auf, passen Sie eine Gerade an und extrapolieren Sie diese auf die Höhe null, um den absoluten Nullpunkt zu bestimmen.

Kritische Bewertung der Messung

• Schätzen Sie den Druck ab, den der Ölstopfen selbst hinzufügt, und zeigen Sie, dass er gegenüber dem Luftdruck vernachlässigbar ist.
• Erklären Sie, warum der gesamte Temperaturbereich für die Extrapolation verwendet werden muss.

Protokoll

TEIL A: Die Vorbereitung des Kapillarröhrchens

1. Befestigen Sie über der Heizplatte an beiden Stützen eine Universalhalterung.
2. Nehmen Sie mit der Pipette etwas Olivenöl und geben Sie zwei Tropfen Öl auf die Uhrglasschale.
3. Zünde den Bunsenbrenner an.
4. Erhitzen Sie die Kapillarröhre mit Thermohandschuhen, indem Sie sie unter Vorwärts- und Rückwärtsbewegungen etwa 20 Sekunden lang der Flamme aussetzen.
5. Setzen Sie das offene Ende (das transparente Ende) des sehr heißen Röhrchens auf die in Schritt 1 vorbereiteten Öltröpfchen. Das Öl sollte sich von selbst in das Kapillarröhrchen hochziehen.
6. Bringen Sie die Tube in eine aufrechte Position (mit der offenen Seite nach oben) und warten Sie einige Sekunden, bis sie abgekühlt ist.
7. Befestigen Sie das Kapillarrohr an der Universalhalterung des rechten Ständers; positionieren Sie das offene (transparente) Ende nach oben.
8. Schalte den Bunsenbrenner aus.

• Der Öltröpfchen in der Kapillarröhre sollte eine Dicke zwischen 5 mm und 1 cm haben.

TEIL B: Messung des Volumen-Temperatur-Zusammenhangs

9. Stellen Sie den 250-mL-Becher auf die Heizplatte (schalten Sie die Heizplatte nicht ein).
10. Stellen Sie den Magnetrührer in den Becher.
11. Befestigen Sie das Thermometer an der Universal-Klemme des linken Stativs und platzieren Sie es vertikal im 250-ml-Becherglas. Weder das Kapillarrohr noch das Thermometer dürfen die Wände des Becherglases berühren.
12. Sichern Sie das Lineal hinter der Kapillarröhre, um die Höhe des Öltröpfchens zu messen.
13. Nehmen Sie den Becherglas mit Eis und fügen Sie 250 ml kaltes Leitungswasser hinzu.
14. Gießen Sie dann das kalte Wasser und das Eis in den Becher mit der Kapillarröhre. Der Wasserspiegel muss den der Öltröpfchen übersteigen.
15. Beobachten Sie die Wassertemperatur und die Höhe des Öltropfenbodens, sobald sich die Temperatur stabilisiert hat.
16. Starten Sie den Rührer auf der Heizplatte.
17. Die Stoppuhr starten.
18. Schalte die Heizplatte auf niedriger Stufe ein (20°C) und warte, bis die Temperatur um etwa zehn Grad gestiegen ist.
19. In der Ergebnistabelle; beobachten Sie die Wassertemperatur und die Höhe des Bodens des Öltröpfchens, sobald sich die Temperatur stabilisiert hat. Sie werden die Veränderung der Höhe des Tröpfchens aufgrund von Änderungen der Wassertemperatur bemerken.
20. Wiederholen Sie die Schritte 18 und 19 und erhöhen Sie dabei die Temperatur der Platte um weitere 10 Grad.
21. Schalten Sie die Kochplatte aus und warten Sie, bis alles abgekühlt ist.

• Hinweis: Die Innenseite des Kapillarröhrchens hat einen Radius von 0,5 mm.

Erwartete Ergebnisse

Erwartete Ergebnisse

Die Bohrung der Kapillare ist gleichmäßig, sodass die eingeschlossene Luft einen Zylinder mit dem Querschnitt πr einnimmt² = π × (0,5 mm)² = 0,785 mm². Sein Volumen beträgt daher V = 0,785 × h, wobei h in Millimetern und V in mm angegeben ist.³, und da 1 mm³ = 1 µL rechnet sich die Höhe in Millimetern über jenen einen Faktor in ein Volumen in Mikrolitern um: 47,3 mm → 37,1 µL, 62,1 mm → 48,8 µL. Da der Faktor bei jeder Temperatur derselbe ist, ist das Testen von V ∝ T und das Testen von h ∝ T derselbe Test, und das Lineal allein reicht aus.

Was die Zahlen sagen

Das Gesetz von Charles besagt, dass V₁ / T₁ = V₂ / T₂ für eine feste Gasmenge bei konstantem Druck, wobei T in Kelvin angegeben ist. Betrachten wir die beiden Endpunkte der Reihe: 47,3 mm / 277,2 K = 0,1706 mm/K und 62,1 mm / 364,2 K = 0,1705 mm/K. Jeder Zwischenwert ergibt denselben Wert mit einer Abweichung von höchstens 0,03 %. Anders ausgedrückt: Die Temperatur steigt über den gesamten Messbereich um den Faktor 364,2 / 277,2 = 1,314 über den gesamten Messbereich, und die Säule verlängert sich um 62,1 / 47,3 = 1,313 – die beiden Verhältnisse stimmen bis auf einen Tausendstel überein, was den gesamten Inhalt des Gesetzes ausmacht.

Den absoluten Nullpunkt finden, ohne auch nur in seine Nähe zu kommen

Das ist der Grund, warum das Experiment seit zwei Jahrhunderten überlebt hat. Tragen Sie die Fallhöhe gegen das Celsius Temperatur und die Punkte liegen auf einer Geraden, h = 0,1705 t + 46,6, wobei die Steigung in mm pro °C angegeben ist und der Achsenabschnitt die Höhe ist, die die Säule bei 0 °C hätte. Verlängert man diese Gerade rückwärts bis h = 0, erreicht sie t = −46,6 / 0,1705 = −273 °C. Nichts in der Apparatur geht unter 4 °C; der Nullpunkt der absoluten Skala wird durch Extrapolation von einem Becher mit warmem Wasser gefunden, und die Tatsache, dass unabhängig vom verwendeten Gas immer derselbe Achsenabschnitt herauskommt, macht dies zu einer Eigenschaft der Temperatur und nicht der Luft.

Warum der Druck wirklich konstant ist

Der Öltropfen kann sich frei verschieben, sodass die eingeschlossene Luft stets den Druck des Raumes plus zwei kleine Korrekturen aufweist. Das Gewicht des Stopfens selbst trägt ρgL bei: für Olivenöl bei etwa 910 kg/m³ und ein 7-mm-Stopfen, der 910 × 9,81 × 0,007 = 62 Pa ausmacht, sechs Hundertstel Prozent des Luftdrucks. Die Oberflächenspannung trägt an jedem Meniskus 2γ/r bei, etwa 2 × 0,032 / 0,0005 = 128 Pa, aber die beiden Menisken krümmen sich in entgegengesetzter Richtung und heben sich fast vollständig auf; nur ihre Differenz bleibt erhalten. Beide Korrekturen liegen weit unter allem, was ein Millimetermaßstab offenbaren könnte, weshalb die Bedingung des konstanten Drucks als exakt erfüllt betrachtet werden kann.

Die Gasmenge und das kinetische Bild

Aus n = PV / RT bei der ersten Messung ergibt sich n = (101 325 Pa × 3,71 × 10⁻⁸ m³) / (8,314 J·mol⁻¹·K⁻¹ × 277,2 K) = 1,63 × 10⁻⁶ Mol — ca. 47 µg Luft, etwa 9,8 × 10¹⁷ Moleküle. Diese Zahl wird durch die Öldichtung festgelegt und ändert sich nicht. Erwärmt man die Probe von 277 K auf 364 K, erhöht sich die quadratische Mittelwertgeschwindigkeit der Moleküle nur um √(364/277) = 1,15, also um fünfzehn Prozent, während das Volumen um volle 31 % zunimmt: Die Moleküle beschleunigen sich proportional zur Quadratwurzel der Temperatur, doch das Gas muss sich direkt proportional dazu ausdehnen, da der Druck sowohl davon abhängt, wie stark als auch wie oft die Moleküle aufprallen, und sich das Gas genau so ausdehnt, dass die Ankunftsrate pro Flächeneinheit mit der des Außenraums übereinstimmt.

Zusammenfassung der Aufgaben nach Klassenstufen

9. bis 10. Klasse

Konzentration. Beobachtung und Wortschatz. Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass sich ein Gas bei Erwärmung ausdehnt, und lernen, dass sich die Dichtung frei bewegen muss, damit der Druck konstant bleibt.

• Präparieren Sie das Kapillar, fangen Sie den Öltropfen ein und beschreiben Sie, was mit ihm passiert, während sich das Bad erwärmt.
• Nehmen Sie fünf Wertepaare von Wertstofftemperatur und Fallhöhe auf und tragen Sie diese in eine Tabelle ein.
• Tragen Sie die Höhe gegen die Temperatur von Hand auf und beschreiben Sie das Ergebnis als Gerade statt als Kurve.
• Erklären Sie in Worten, warum sich der Tropfen nach oben bewegt, anstatt dass der Druck steigt.

11. Klasse

Konzentration. Quantitative Behandlung. Die Schüler rechnen in Kelvin um, überprüfen die Proportionalität numerisch und führen die Extrapolation durch, die den absoluten Nullpunkt ergibt.

• Nimm alle zehn Messwerte, rechne sie jeweils in Kelvin um und füge eine Spalte mit $h / T$ hinzu; gib deren Mittelwert und deren Streuung an.
• Konvertiere zwei Höhen in Volumen mit V = πr²und bestätigen Sie, dass V / T dieselbe Konstanz ergibt wie h / T.
• Tragen Sie die Höhe gegen die Celsius-Temperatur auf, passen Sie eine Gerade an und lesen Sie sowohl die Steigung als auch den Netzabschnitt ab.
• Extrapolieren Sie die Linie auf die Höhe null und nennen Sie die Temperatur, die sie erreicht, mit einem Kommentar dazu, wie weit außerhalb der Daten dieser Punkt liegt.

12. Klasse / College-Niveau

Konzentration. Ableitung, Fehleranalyse und eigenständige Interpretation.

• Leiten Sie V ∝ T aus PV = nRT her und identifizieren Sie genau, welche Größen die Apparatur konstant hält und durch welchen Mechanismus.
• Berechnen Sie die Menge der eingeschlossenen Luft in Mol, Mikrogramm und Molekülen und zeigen Sie, dass sie während des gesamten Versuchs unverändert bleibt.
• Schätzen Sie die Beiträge des Ölpfropfens zur hydrostatischen Kraft und zur Oberflächenspannung und zeigen Sie, dass die Annahme des konstanten Drucks mit einer Genauigkeit von besser als 0,1 % gilt.
• Erläutern Sie, warum die quadratische Mittelwertgeschwindigkeit der Moleküle mit √T zunimmt, während das Volumen mit T zunimmt, und bringen Sie diese beiden Sachverhalte unter Verwendung von P = (1/3)(N/V)m〈v in Einklang.²〉.
• Diskutieren Sie, was das Experiment über den absoluten Nullpunkt aussagen kann und was nicht, unter Berücksichtigung der Tatsache, dass Luft bei etwa 80 K verflüssigt.

Labor-Grundausstattung

Instrumente

• Becherglas (250 mL)
• Bunsenbrenner
• Kapillare
• Tropfen
• Heizplatte
• Laborstativ & Klemmen
• Magnetrührer
• Herrscher
• Thermometer
• Timer
• Uhrglas
• Thermogesichtshandschuhe

Produkte

• Olivenöl
• Eis
• Kaltes Leitungswasser