054 – La relazione tra volume e pressione di un gas 1

Un gas non ha una dimensione fissa. Comprimilo e occupa meno spazio; rilascialo e si espande di nuovo. Gli ingegneri fanno affidamento su questo comportamento ogni volta che progettano una pompa per bicicletta, la fase di compressione di un motore, un erogatore per immersioni, un freno pneumatico o una siringa, ed è così che funziona la respirazione: la cavità toracica si allarga, la pressione all'interno dei polmoni scende al di sotto della pressione dell'ambiente e l'aria fluisce all'interno. La formulazione quantitativa alla base di tutto ciò è la legge di Boyle: a temperatura costante, una quantità fissa di gas soddisfa P × V = costante, per cui pressione e volume sono inversamente proporzionali.

Il motivo microscopico è che la pressione non è altro che la forza accumulata delle molecole che urtano contro le pareti del loro contenitore. Comprimere un gas non rende le sue molecole più veloci; ciò richiederebbe di riscaldarle. Si impacchetta lo stesso numero di molecole in uno spazio più piccolo, cosicché un numero maggiore di esse raggiunge la parete ogni secondo e la forza per unità di area aumenta in proporzione esatta all'affollamento. Dimezzate il volume e la pressione raddoppia; raddoppiate il volume e si dimezza.

In questo laboratorio sigillerete esattamente 50 mL di aria ambiente all'interno di una siringa graduata, la collegherete a un manometro a quadrante tramite un raccordo ermetico e quindi varierete il volume a piccoli passi — prima tirando lo stantuffo verso i 100 mL, poi spingendolo verso i 20 mL — leggendo la pressione a ogni passo. Riportando in grafico la pressione in funzione del volume si ottiene un'iperbole; riportandola in funzione del reciproco del volume si raddrizza quell'iperbole trasformandola in una retta passante per l'origine la cui pendenza è la costante P₁V₁. Il ritorno dello stantuffo a 50 mL alla fine di ogni frazione e la verifica che la pressione iniziale venga ripristinata costituiscono il test di tenuta che determina se l'intera analisi è affidabile.

Obiettivi Educativi

Familiarizzazione con l'ambiente di laboratorio

• Identificare la siringa graduata, il manometro a quadrante e il raccordo ermetico, e spiegare cosa contribuisce ciascuno a una misurazione di gas sigillato.
• Spiega perché il gruppo deve essere a tenuta stagna prima che valga la pena registrare una singola lettura.

Gestione di un impianto a gas sigillato

• Imposta il pistoncino su un volume iniziale esatto prima che il sistema venga chiuso e spiega perché quel volume di tenuta fissa la costante per l'intera esecuzione.
• Sposta lo stantuffo a passi controllati, utilizzando il controller, con una mano o con il metodo di tracciamento delle mani, senza rompere il sigillo.

Misurazione e registrazione dei dati

• Leggere un quadrante analogico alla tacca più vicina e stimare fino alla metà di una divisione.
• Registrare volume e pressione come coppie corrispondenti nell'intera gamma 20–100 mL anziché in pochi punti sparsi.

Trattamento quantitativo della legge di Boyle

• Calcola il prodotto P × V in ogni punto e verifica se rimane costante.
• Convertire il volume in 1/V e tracciare la pressione in funzione di esso, riconoscendo una linea retta passante per l'origine come la firma di una proporzionalità inversa.
• Prevedi la pressione a un volume non misurato da P₁V₁ = P₂V₂, quindi confrontare la previsione con una lettura.

Controllo sperimentale e validità

• Eseguire il controllo di ritorno a 50 mL e interpretare un'eventuale discrepanza come una perdita anziché come un fallimento della legge.
• Spiegare perché è necessario lasciare che il gas torni a temperatura ambiente prima di ogni lettura e cosa comporta una misurazione affrettata sui dati.

Protocollo

In questo laboratorio, userai la siringa. Ecco come procedere:

• Utilizzando i controller: Afferra la siringa con uno qualsiasi dei controller. Per selezionare la direzione in cui desideri muovere lo stantuffo, premi i pulsanti X – Y (controller sinistro) o A – B (controller destro) per passare tra le azioni di spinta e tiro. Quindi, fai semplicemente clic sul pulsante del grilletto per muovere lo stantuffo nella direzione scelta (fai riferimento al video tutorial, se necessario).
• Modalità a una mano: afferra la siringa. Per selezionare la direzione in cui desideri spostare lo stantuffo, premi il pulsante Indietro per passare tra le azioni di spinta e trazione. Quindi, fai semplicemente clic sul pulsante del touchpad per spostare lo stantuffo nella direzione scelta.
• Con le mani: Afferra la siringa con una mano e, con l’altra, premi la freccia che indica la direzione in cui vuoi far muovere lo stantuffo. Mantenendo la mano chiusa sulla siringa, ti basterà poi aprire e stringere pollice e indice per muovere lo stantuffo nella direzione scelta (se necessario, fai riferimento al video tutorial).

Misurare la pressione di un gas

1. Tira lo stantuffo della siringa in modo che contenga esattamente 50 mL di aria.
2. Collegare la siringa al manometro ad alta pressione utilizzando i raccordi appropriati. L'assemblaggio deve essere perfettamente a tenuta stagna e deve essere in grado di sopportare pressioni elevate.
3. Tira lo stantuffo per aumentare il volume di 10 mL. Leggi la misurazione della pressione.
4. Ripeti il passaggio 3 più volte (a intervalli di 5 mL) fino a raggiungere un volume di 100 mL.

• Tieni premuto il pulsante di interazione della siringa per contrastare la differenza di pressione per alcuni secondi e poi consenti la diminuzione del volume nella siringa.

5. Attendere che la siringa ritorni a un volume di 50 mL e assicurarsi che la pressione corrisponda a quella misurata nel passaggio 3. Se ciò non si verifica, l'esperimento deve essere ripetuto.
6. Spingi sul pistone per ridurre il volume di 5 mL. Leggi la misurazione della pressione e registra le misurazioni nella tabella dei risultati.
7. Ripetere il passaggio 7 più volte (a intervalli di 5 ml) fino a raggiungere un volume di 20 ml.

• Tieni premuto il pulsante di interazione della siringa per contrastare la differenza di pressione per alcuni secondi e poi permetti al volume di risalire nella siringa.

8. Attendere che la siringa ritorni a un volume di 50 mL e assicurarsi che la pressione corrisponda a quella misurata nel passaggio 3. Se ciò non si verifica, l'esperimento deve essere ripetuto.

Risultati Previsti

Risultati attesi. La siringa contiene una quantità fissa di aria a temperatura ambiente. Muovendo lo stantuffo se ne modifica il volume; il manometro indica la pressione del gas intrappolato. I diciassette volumi sottostanti sono quelli previsti dal protocollo, elencati dal maggiore al minore.

L'unico risultato da portare a casa. La media dei diciassettesimi prodotti nell'ultima colonna è 5.08 × 10³ kPa·mL, e ognuno di essi rientra nell’intervallo compreso tra 5035 e 5110 — con una dispersione di ±0,7 % rispetto alla media. Nel frattempo, il volume varia di un fattore cinque e la pressione dello stesso fattore nella direzione opposta. Una grandezza che rimane costante entro l’uno per cento mentre i suoi due componenti variano ciascuno di 500 % non rimane costante per caso. Questa è la legge di Boyle:

P × V = costante (a temperatura e quantità di gas costanti)

o, confrontando due qualsiasi stati dello stesso campione, P₁V₁ = P₂V₂. Considerando la prima e l'ultima riga come controllo: 51 × 100 = 5100 e 254 × 20 = 5080. I due valori coincidono con una tolleranza di 0,4 %, alla massima distanza consentita dall'apparecchio.

I due grafici, e perché il secondo è importante. Tracciando la pressione in funzione del volume si ottiene una curva che scende ripidamente a piccoli volumi e si appiattisce verso quelli grandi: un'iperbole. Ha la forma giusta, ma una curva è una prova debole: molte funzioni decrescenti appaiono così a occhio, e nessuna di esse può essere distinta dalle altre senza una grande cura.

Tracciare la pressione rispetto al reciproco del volume converte il reclamo in una linea retta. Se P = costante / V, allora P tracciato contro 1/V è una linea retta con pendenza pari a quella costante, passante per l'origine. Entrambe le condizioni sono importanti e ciascuna ha il proprio significato:

• Il pendenza è la costante stessa. Leggendo questi dati si tratta di circa 5,08 × 10³ kPa·mL — lo stesso numero della media della quarta colonna, ottenuto indipendentemente.
• Il intercettare dovrebbe essere zero. Un volume infinito significherebbe pressione zero. Una linea che non passa per l'origine punta all'apparato — vedi la nota sul volume morto qui sotto — non a un fallimento della legge.

Una linea retta è molto più facile da giudicare rispetto a una curva, e questa è la lezione generale: quando si sospetta una relazione, si trovi la variabile che la rende lineare e si tracci quella invece. La fisica è piena di esempi: il periodo contro la radice quadrata della lunghezza per un pendolo, la corrente contro la tensione per un resistore.

Perché il prodotto rimane costante. La pressione è l'effetto accumulato delle molecole di gas che urtano contro le pareti: ogni impatto produce un piccolo impulso e la pressione è l'impulso totale al secondo per unità di area. Dimezzate il volume e lo stesso numero di molecole è confinato in metà dello spazio, cosicché ciascuna di esse incontra una parete due volte più spesso. Nulla cambia riguardo ai singoli urti: le molecole non sono più veloci, poiché la temperatura non è cambiata e la loro velocità media è determinata unicamente dalla temperatura. Cambia solo la frequenza degli urti, e questa varia in esatta proporzione all'affollamento. Il doppio della densità numerica, il doppio della pressione.

Ciò dimostra anche perché la legge ha bisogno delle sue due condizioni. Temperatura costante, poiché il riscaldamento del gas renderebbe le molecole più veloci e ogni impatto più forte, aumentando la pressione senza alcuna variazione di volume. Quantità costante di gas, perché una perdita rimuove molecole e riduce la frequenza delle collisioni. Una siringa che perde lentamente produce un prodotto che si sposta verso il basso durante la corsa anziché disperdersi casualmente attorno a una media, che è il modo in cui una perdita viene distinta dal normale errore di lettura.

Andata e ritorno: la corsa è reversibile. Il protocollo non spazza il volume una sola volta. Si sposta da 50 mL a 100 mL, ritorna a 50, si comprime fino a 20 mL, quindi ritorna nuovamente a 50. Ciascun volume viene quindi visitato almeno due volte, e in ognuno di essi la pressione letta è la stessa sia all'andata che al ritorno — 85 kPa a 60 mL in entrambe le direzioni, 127 kPa a 40 mL in entrambe le direzioni, 102 kPa a 50 mL in tutte e quattro le visite.

Vale la pena far notare questa ripetibilità agli studenti, perché sta svolgendo un lavoro reale. Dimostra che il gas ritorna esattamente al suo stato precedente, quindi nulla è andato perduto e nulla è cambiato permanentemente: la tenuta ha retto e qualsiasi calore generato dalla compressione ha avuto il tempo di fuoriuscire. Una traccia che ha non percorrere a ritroso — pressioni più elevate durante la compressione che durante l'espansione allo stesso volume — indicherebbe o una perdita o un gas che non era tornato a temperatura ambiente. Nessuna delle due cose si verifica qui, il che è ciò che autorizza a trattare l'intera prova come un unico set di dati isotermi anziché come due esperimenti separati.

Quanto gas c'è nella siringa. La costante non è semplicemente un numero che si trova a rimanere fermo; è nRT. Dalla legge dei gas ideali PV = nRT, e 5,08 × 10³ kPa·mL è pari a 5,08 J, quindi a 20 °C:

n = PV / RT = 5,08 / (8,314 × 293) = 2,1 × 10^{meno tre} molo

circa 2,1 millimol, o più o meno 60 mg di aria — circa 1,3 × 10²¹ molecole. Uno studente che raggiunge questo numero ha fatto qualcosa di più che confermare una proporzionalità: ha contato le molecole in una siringa a partire da due letture del quadrante, che è una bella dimostrazione di a cosa serve una legge fisica.

Pressione relativa e pressione assoluta. Lo strumento in questo laboratorio riporta assoluto pressione — pressione misurata rispetto a un vuoto perfetto — e la legge di Boyle non richiede di meno. La lettura di 102 kPa a 50 mL è la conferma: lo stantuffo è a riposo, quindi il gas intrappolato si trova alla pressione atmosferica, e 102 kPa è la pressione atmosferica. Uno strumento che misurasse a partire dalla pressione atmosferica avrebbe indicato 0 kPa in quel punto, e le sue letture non soddisferebbero alcuna semplice legge. Se uno studente si trova a lavorare con uno strumento a lettura manometrica, la pressione atmosferica deve essere aggiunta a ogni lettura prima di calcolare il prodotto.

Perché le letture non devono essere affrettate. La compressione di un gas compie un lavoro su di esso e lo riscalda; lasciarlo espandere lo raffredda. Spingendo rapidamente lo stantuffo da 50 mL a 20 mL, il gas si trova momentaneamente ben al di sopra della temperatura ambiente, per cui la pressione risulta elevata; il valore decade poi in diversi secondi man mano che il calore attraversa la parete della siringa. La legge presuppone una temperatura costante, quindi ogni lettura deve essere effettuata dopo che il gas si è stabilizzato. Affrettare le fasi di compressione e non quelle di espansione è ciò che produce una differenza apparente tra le due direzioni laddove non esiste.

Volume morto e come rilevarlo. Il gas nell'apparecchio non è solo quello davanti alle graduazioni: un poco si trova nel raccordo e nel manometro stesso. Se quel volume morto è V₀, il volume effettivo è V + V₀ e la costante diventa P(V + V₀Usare la lettura della scala da sola fa quindi derivare il prodotto verso l'alto man mano che il volume viene ridotto, poiché un volume extra fisso conta molto di più a 20 mL che a 100 mL. Il grafico reciproco lo evidenzia chiaramente: il volume morto sposta la linea retta rispetto all'origine. Questi dati non mostrano tale deriva — i prodotti a 20 e 100 mL concordano entro i limiti della dispersione — quindi qualsiasi volume morto è piccolo rispetto al volume più piccolo utilizzato.

Riepilogo del compito per intervallo di voti

Classe 9-10

Concentrati. Osservazione e vocabolario. Gli studenti imparano che un gas può essere compresso, che è necessario un sistema sigillato affinché la misurazione abbia un significato e che pressione e volume si muovono in direzioni opposte.

• Isola 50 mL di aria, prendi le letture a 100, 80, 60, 40 e 20 mL e descrivi a parole cosa succede alla pressione.
• Disegna la pressione contro il volume a mano e nomina la curva come discendente che non raggiunge mai lo zero.
• Rispondi alla domanda qualitativa: quale sarebbe la lettura a 25 mL — maggiore o minore rispetto a 40 mL, e circa di quanto?
• Usa il controllo del ritorno a 50 mL e di' cosa significherebbe una discrepanza.

Undicesimo anno

Concentrati. Trattamento quantitativo. Gli studenti seguono l'intera serie, calcolano il prodotto P × V e verificano l'affermazione di costanza numericamente anziché a occhio.

• Registrare tutti i quindici volumi misurati, tabulare V, 1/V, P e P × V, e commentare la dispersione dell'ultima colonna.
• Tracciare P in funzione di 1/V, tracciare la linea retta migliore e prenderne la pendenza; confrontare la pendenza con P₁V₁ = 101,3 kPa × 50 mL.
• Usa P₁V₁ = P₂V₂ predire la pressione a un volume non misurato, quindi misurarla.
• Spiega perché il manometro deve essere letto in pressione assoluta e mostra come appare il grafico se non lo è.

12ª classe / Livello universitario

Concentrati. Derivazione, analisi degli errori e interpretazione indipendente. Gli studenti sono tenuti a collegare la legge macroscopica alla legge dei gas ideali e alla teoria cinetica, e a quantificare ciò che limita l'esperimento.

• Derivare P ∝ 1/V da PV = nRT e da P = (1/3)(N/V)m〈v²〉²〉, indicando quali presupposti sono alla base di ciascuna derivazione.
• Calcola $n$ per il campione sigillato e convertilo in una massa d'aria e in un numero di molecole.
• Trattare quantitativamente il volume morto: interpolare 1/P rispetto a V, estrarre l'intercetta e indicare il valore di V_d implica.
• Confronta le previsioni isoterma e adiabatica per una compressione da 50 mL a 25 mL e spiega, in termini di energia, perché la pressione adiabatica è la più alta delle due.

Materiale essenziale di laboratorio

Strumenti

• Siringa graduata, 100 mL, graduata a 1 mL
• Manometro a quadrante, 0–1000 kPa, lettura in kPa
• Raccordo ermetico che collega la siringa al manometro

Prodotti

• Aria — 50 mL di aria ambiente, sigillata nella siringa a pressione atmosferica