054 – La relation entre le volume et la pression d'un gaz 1

Un gaz n'a pas de taille fixe. Comprimez-le et il occupe moins d'espace ; relâchez-le et il se détend à nouveau. Les ingénieurs comptent sur ce comportement chaque fois qu'ils conçoivent une pompe à vélo, le temps de compression d'un moteur, un détendeur de plongée, un frein pneumatique ou une seringue, et c'est ainsi que fonctionne la respiration : la cage thoracique s'élargit, la pression à l'intérieur des poumons chute en dessous de la pression ambiante, et l'air entre. L'énoncé quantitatif qui sous-tend tout cela est la loi de Boyle : à température constante, une quantité fixe de gaz satisfait P × V = constante, de sorte que la pression et le volume sont inversement proportionnels.

La raison microscopique est que la pression n'est rien de plus que la force cumulée des molécules frappant les parois de leur récipient. Comprimer un gaz ne rend pas ses molécules plus rapides ; cela nécessiterait de les chauffer. Cela tasse le même nombre de molécules dans un espace plus restreint, de sorte qu'un plus grand nombre d'entre elles atteignent la paroi chaque seconde et que la force par unité de surface augmente en proportion exacte de l'entassement. Réduisez le volume de moitié et la pression double ; doublez le volume et elle est divisée par deux.

Dans ce laboratoire, vous allez enfermer exactement 50 mL d'air ambiant dans une seringue graduée, la raccorder à un manomètre à cadran par un raccord étanche à l'air, puis modifier le volume par petits paliers — en tirant d'abord le piston vers 100 mL, puis en l'poussant vers 20 mL — en lisant la pression à chaque palier. Le tracé de la pression en fonction du volume donne une hyperbole ; son tracé en fonction de l'inverse du volume redresse cette hyperbole en une droite passant par l'origine dont la pente est la constante P₁V₁. Remettre le piston à 50 mL à la fin de chaque étape et vérifier que la pression initiale revient est le test d'étanchéité qui détermine si l'on peut ou non se fier à la mesure.

Objectifs Éducatifs

Familiarisation avec l'environnement du laboratoire

• Identifiez la seringue graduée, le manomètre à cadran et le raccord étanche, et indiquez la contribution de chacun à une mesure de gaz étanche.
• Expliquez pourquoi l'ensemble doit être étanche avant qu'une seule lecture ne vaille la peine d'être enregistrée.

Manipulation d'un système de gaz étanche

• Réglez le piston sur un volume de départ exact avant que le système ne soit fermé, et expliquez pourquoi ce volume de scellement fixe la constante pour toute la durée de l'essai.
• Déplacez le piston par incréments contrôlés, à l'aide de la manette, d'une seule main ou par suivi de la main, sans rompre le sceau.

Mesure et enregistrement des données

• Lire un cadran analogique à la graduation la plus proche et estimer à une demi-division.
• Enregistrez le volume et la pression sous forme de paires assorties sur toute la plage de 20 à 100 mL plutôt qu'à quelques points dispersés.

Traitement quantitatif de la loi de Boyle

• Calculez le produit P × V en chaque point et vérifiez s'il reste constant.
• Convertir le volume en 1/V et tracer la pression en fonction de celle-ci, en reconnaissant qu'une ligne droite passant par l'origine est la signature d'une proportionnalité inverse.
• Prédire la pression à un volume qui n'a pas été mesuré à partir de P₁V₁ = P₂V₂, puis vérifiez la prédiction par rapport à une lecture.

Contrôle expérimental et validité

• Effectuez la vérification du retour à 50 mL et interprétez un écart comme une fuite plutôt que comme un échec de la loi.
• Expliquez pourquoi le gaz doit revenir à température ambiante avant chaque lecture, et ce qu'une manipulation précipitée fait aux données.

Protocole

Dans ce laboratoire, vous allez utiliser la seringue. Voici comment procéder :

• À l'aide des manettes : Saisissez la seringue avec l'une ou l'autre des manettes. Pour sélectionner la direction dans laquelle vous souhaitez déplacer le piston, appuyez sur les boutons X – Y (manette gauche) ou A – B (manette droite) pour passer des actions de poussée à celles de traction. Ensuite, cliquez simplement sur le bouton du déclencheur pour déplacer le piston dans la direction choisie (reportez-vous au tutoriel vidéo si nécessaire).
• Mode à une main : Prenez la seringue. Pour sélectionner la direction dans laquelle vous souhaitez déplacer le piston, appuyez sur le bouton Retour pour basculer entre les actions de poussée et de traction. Ensuite, cliquez simplement sur le bouton du pavé tactile pour déplacer le piston dans la direction choisie.
• Avec vos mains : Saisissez la seringue d'une main et, de l'autre, appuyez sur la flèche dans la direction où vous souhaitez faire avancer le piston. Tout en gardant votre main fermée sur la seringue, vous n'aurez alors plus qu'à écarter et pincer votre index et votre pouce pour déplacer le piston dans la direction choisie (reportez-vous au tutoriel vidéo si besoin).

Mesurer la pression d'un gaz

1. Tirez le piston de la seringue pour qu'elle contienne exactement 50 mL d'air.
2. Connectez la seringue au manomètre à cadran à l'aide des raccords appropriés. L'ensemble doit être parfaitement étanche et pouvoir supporter une pression importante.
3. Tirez sur le piston pour augmenter le volume de 10 mL. Lisez la mesure de pression.
4. Répétez l'étape 3 plusieurs fois (par intervalles de 5 mL) jusqu'à atteindre un volume de 100 mL.

• Maintenez le bouton d'interaction de la seringue enfoncé pour neutraliser la différence de pression pendant quelques secondes, puis laissez le volume diminuer dans la seringue.

5. Attendez que la seringue revienne à un volume de 50 mL et assurez-vous que la pression correspond à celle mesurée à l'étape 3. Si tel n'est pas le cas, l'expérience doit être recommencée.
6. Appuyez sur le piston pour réduire le volume de 5 mL. Lisez la mesure de la pression et consignez les mesures dans le tableau des résultats.
7. Répétez l'étape 7 plusieurs fois (par intervalles de 5 mL) jusqu'à atteindre un volume de 20 mL.

• Maintenez le bouton d'interaction de la seringue enfoncé pour contrebalancer la différence de pression pendant quelques secondes, puis laissez le volume remonter dans la seringue.

8. Attendez que la seringue revienne à un volume de 50 mL et assurez-vous que la pression correspond à celle mesurée à l'étape 3. Si tel n'est pas le cas, l'expérience doit être recommencée.

Résultats attendus

Résultats attendus. La seringue contient une quantité fixe d'air à température ambiante. Le déplacement du piston modifie le volume ; le manomètre indique la pression du gaz piégé. Les dix-sept volumes ci-dessous sont ceux requis par le protocole, classés du plus grand au plus petit.

Le seul résultat à retenir. La moyenne des dix-sept produits de la dernière colonne 5.08 × 10³ kPa·mL, et chacune d'entre elles se situe entre 5 035 et 5 110 — soit un écart de ±0,7 % par rapport à la moyenne. Dans le même temps, le volume varie d’un facteur cinq et la pression du même facteur, mais dans le sens inverse. Une grandeur qui reste stable à moins de 1 % près alors que ses deux composantes varient chacune de 500 % ne reste pas stable par hasard. C’est la loi de Boyle :

P × V = constante (à température constante et quantité de gaz fixe)

ou, en comparant deux états quelconques du même échantillon, P₁V₁ = P₂V₂. En prenant la première et la dernière ligne comme référence : 51 × 100 = 5 100, et 254 × 20 = 5 080. Les deux valeurs concordent à 0,4 % près, compte tenu de l'écart maximal autorisé par l'appareil.

Les deux graphiques, et pourquoi le second est important. Le tracé de la pression en fonction du volume donne une courbe qui chute brusquement aux petits volumes et s'aplatit vers les grands — une hyperbole. C'est la bonne forme, mais une courbe constitue une preuve fragile : de nombreuses fonctions décroisssantes ont cet aspect à l'œil nu, et aucune d'elles ne peut être distinguée des autres sans beaucoup de minutie.

Tracer la pression en fonction de réciproque du volume transforme la réclamation en ligne droite. Si P = constante / V, puis P tracé en fonction de 1/V est une droite de pente égale à cette constante, passant par l'origine. Les deux conditions comptent, et chacune a sa propre signification :

• Le pente est la constante elle-même. Lisez ces données, il s'agit d'environ 5,08 × 10³ kPa·mL — le même nombre que la moyenne de la quatrième colonne, obtenu indépendamment.
• Le intercepter devrait être nul. Un volume infini signifierait une pression nulle. Une droite qui ne passe pas par l'origine pointe vers l'appareil — voir la note sur le volume mort ci-dessous — et non vers un échec de la loi.

Une droite est beaucoup plus facile à évaluer qu'une courbe, et c'l'enseignement général : lorsqu'on suspecte une relation, il faut trouver la variable qui la rend linéaire et tracer celle-ci à la place. La physique en regorge d'exemples — la période en fonction de la racine carrée de la longueur pour un pendule, le courant en fonction de la tension pour une résistance.

Pourquoi le produit reste constant. La pression est l'effet cumulé des molécules de gaz frappant les parois : chaque impact transmet une petite impulsion, et la pression est l'impulsion totale par seconde et par unité de surface. Réduisez le volume de moitié et le même nombre de molécules se retrouve confiné dans un espace moitié moindre, de sorte que chacune d'elles heurte une paroi deux fois plus souvent. Rien ne change dans les collisions individuelles — les molécules ne sont pas plus rapides, car la température n'a pas changé, et leur vitesse moyenne est déterminée par la température seule. Seule la fréquence des collisions change, et elle change en proportion exacte de l'encombrement. Deux fois plus de densité moléculaire, deux fois plus de pression.

Cela montre également pourquoi la loi a besoin de ses deux conditions. Température constante, car le réchauffement du gaz rendrait les molécules plus rapides et chaque impact plus violent, augmentant la pression sans aucun changement de volume. Quantité constante de gaz, car une fuite élimine des molécules et réduit le taux de collisions. Une seringue qui fuit lentement produit un produit qui dérive vers le bas au cours de l'essai au lieu de se disperser aléatoirement autour d'une moyenne — ce qui permet de distinguer une fuite d'une erreur de lecture ordinaire.

Aller-retour : la course est réversible. Le protocole ne balaie pas le volume une seule fois. Il s'étend de 50 mL à 100 mL, revient à 50, se compresse jusqu'à 20 mL, puis revient à 50 à nouveau. Chaque volume est par conséquent visité au moins deux fois, et à chacun d'eux la pression est la même à l'aller qu'au retour — 85 kPa à 60 mL dans les deux directions, 127 kPa à 40 mL dans les deux directions, 102 kPa à 50 mL lors des quatre visites.

Il vaut la peine de souligner cette répétabilité aux étudiants, car elle accomplit un véritable travail. Elle montre que le gaz revient précisément à son état antérieur, de sorte que rien n'a été perdu et que rien n'a été modifié de façon permanente : le joint a tenu, et toute chaleur générée par la compression a eu le temps de s'échapper. Une trace qui pas se recouper — des pressions plus élevées pendant la compression que pendant l'expansion pour un même volume — indiquerait soit une fuite, soit un gaz qui n'est pas revenu à la température ambiante. Rien de tout cela ne se produit ici, ce qui autorise à traiter l'ensemble de la série de mesures comme un unique ensemble de données isothermes plutôt que comme deux expériences distinctes.

Quelle quantité de gaz y a-t-il dans la seringue. La constante n'est pas simplement un nombre qui se trouve rester en place ; c'est nRT. D'après la loi des gaz parfaits PV = nRT, et 5,08 × 10³ kPa·mL équivaut à 5,08 J, donc à 20 °C :

n = PV / RT = 5,08 / (8,314 × 293) = 2,1 × 10⁻³ mol

environ 2,1 millimoles, soit à peu près 60 mg d'air — quelque 1,3 × 10²¹ molécules. Un élève qui atteint ce nombre a fait bien plus que confirmer une proportionnalité : il a compté les molécules dans une seringue à partir de deux lectures de cadran, ce qui constitue une belle démonstration de l'utilité d'une loi physique.

Pression relative et pression absolue. L'instrument de ce laboratoire indique absolu pression — pression mesurée à partir d'un vide absolu — et la loi de Boyle n'exige rien de moins. La lecture de 102 kPa à 50 mL en est la confirmation : le piston est au repos, de sorte que le gaz piégé est à la pression atmosphérique, et 102 kPa est la pression atmosphérique. Un manomètre qui mesurerait à partir de l'atmosphère aurait affiché 0 kPa à cet endroit, et ses lectures ne satisferaient à aucune loi simple. Si un élève travaille un jour avec un instrument manométrique, la pression atmosphérique doit être ajoutée à chaque lecture avant que le produit ne soit formé.

Pourquoi il ne faut pas se précipiter lors des lectures. La compression d'un gaz effectue un travail sur celui-ci et le réchauffe ; le laisser se détendre le refroidit. Poussez le piston rapidement de 50 mL à 20 mL et le gaz se trouve momentanément bien au a-dessus de la température ambiante, de sorte que la pression lue est élevée ; la valeur diminue ensuite en quelques secondes à mesure que la chaleur traverse la paroi de la seringue. La loi suppose une température constante, de sorte que chaque lecture doit être effectuée une fois que le gaz s'est stabilisé. Précipiter les courses de compression et non les courses de détente est ce qui produit une différence apparente entre les deux directions là où il n'en existe aucune.

Volume mort et comment le détecter. Le gaz présent dans l'appareil ne se limite pas à celui situé devant les graduations : une petite quantité se trouve également dans le raccord et dans le manomètre lui-même. Si ce volume mort est V₀, le volume réel est de V + V₀ et la constante devient P(V + V₀Se fier uniquement à la lecture de l'échelle fait alors dériver le produit vers le haut à mesure que le volume diminue, étant donné qu'un volume supplémentaire fixe compte beaucoup plus à 20 mL qu'à 100 mL. Le diagramme réciproque le met clairement en évidence : le volume mort décale la droite par rapport à l'origine. Ces données ne montrent pas un tel détriment — les produits à 20 et 100 mL concordent à la dispersion près — de sorte que tout volume mort est négligeable par rapport au plus petit volume utilisé.

Résumé du devoir par tranche d'âge

Classe de 3e à la 2de

Concentration. Observation et vocabulaire. Les élèves apprennent qu'un gaz peut être comprimé, qu'un système étanche est nécessaire pour que la mesure ait un sens, et que la pression et le volume évoluent dans des directions opposées.

• Fermez hermétiquement un récipient contenant 50 ml d'air, effectuez des mesures à 100, 80, 60, 40 et 20 ml, puis décrivez avec vos propres mots l'évolution de la pression.
• Tracez la pression en fonction du volume à la main et nommez la courbe comme étant décroissante et n'atteignant jamais zéro.
• Répondez à la question qualitative suivante : quelle serait la valeur indiquée à 25 ml — supérieure ou inférieure à celle indiquée à 40 ml, et de combien environ ?
• Utilisez le contrôle de retour à 50 mL et dites ce que signifierait une discordance.

11e année

Concentration. Approche quantitative. Les élèves examinent la série complète, calculent le produit P × V et vérifient l'hypothèse de constance par des calculs numériques plutôt que visuellement.

• Enregistrez les quinze volumes mesurés, présentez $V$, $1/V$, $P$ et $P \times V$ sous forme de tableau, et commentez la dispersion de la dernière colonne.
• Tracez P en fonction de 1/V, tracez la meilleure droite possible et déterminez sa pente ; comparez cette pente à P.₁V₁ = 101,3 kPa × 50 mL.
• Utiliser P₁V₁ = P₂V₂ pour estimer la pression à un volume non mesuré, puis la mesurer.
• Expliquez pourquoi la pression doit être lue en pression absolue, et montrez à quoi ressemble le graphique si ce n'est pas le cas.

12e année / Niveau universitaire

Concentration. Dérivation, analyse des erreurs et interprétation autonome. Les étudiants doivent établir un lien entre la loi macroscopique, la loi des gaz parfaits et la théorie cinétique, et quantifier les facteurs qui limitent l'expérience.

• Dérivez P ∝ 1/V à partir de PV = nRT et de P = (1/3)(N/V)m〈v²〉, et précisez les hypothèses sur lesquelles repose chaque déduction.
• Calculez la valeur de n pour l'échantillon scellé, puis convertissez-la en masse d'air et en nombre de molécules.
• Traitez le volume mort de manière quantitative : tracez une droite de 1/P en fonction de V, déterminez l'ordonnée à l'origine et indiquez la valeur de V._d que cela implique.
• Comparez les résultats obtenus par les modèles isotherme et adiabatique pour une compression de 50 ml à 25 ml et expliquez, en termes d'énergie, pourquoi la pression adiabatique est la plus élevée des deux.

Essentiels de laboratoire

Instruments

• Seringue graduée, 100 mL, graduée par 1 mL
• Manomètre à cadran, 0–1000 kPa, lecture en kPa
• Raccord étanche reliant la seringue au manomètre

Produits

• Air — 50 ml d'air ambiant, prélevé dans la seringue à pression atmosphérique