054 – Der Zusammenhang zwischen Volumen und Druck eines Gases 1

Ein Gas hat keine feste Größe. Drückt man es zusammen, nimmt es weniger Raum ein; lässt man es los, dehnt es sich wieder aus. Ingenieure verlassen sich jedes Mal auf dieses Verhalten, wenn sie eine Fahrradpumpe, den Verdichtungstakt eines Motors, einen Atemregler, eine pneumatische Bremse oder eine Spritze konstruieren, und genauso funktioniert die Atmung: Die Brusthöhle vergrößert sich, der Druck in der Lunge fällt unter den Raumdruck, und Luft strömt ein. Die quantitative Aussage hinter alledem ist das Boyle-Mariotte-Gesetz – bei konstanter Temperatur erfüllt eine feste Gasmenge P × V = konstant, sodass Druck und Volumen umgekehrt proportional sind.

Der mikroskopische Grund ist, dass Druck nichts anderes als die angesammelte Kraft von Molekülen ist, die gegen die Wände ihres Behälters prallen. Das Komprimieren eines Gases macht seine Moleküle nicht schneller; das würde erfordern, sie zu erhitzen. Es packt dieselbe Anzahl von Molekülen in einen kleineren Raum, sodass mehr von ihnen jede Sekunde die Wand erreichen und die Kraft pro Flächeneinheit genau proportional zur Verdichtung steigt. Halbiert man das Volumen, verdoppelt sich der Druck; verdoppelt man das Volumen, halbiert er sich.

In diesem Labor verschließen Sie genau 50 mL Raumluft in einer Messspritze, verbinden diese über ein luftdichtes Fitting mit einem Zeigermanometer und verändern dann das Volumen in kleinen Schritten – indem Sie den Kolben zuerst in Richtung 100 mL herausziehen und dann in Richtung 20 mL hineindrücken – wobei Sie bei jedem Schritt den Druck ablesen. Wenn man den Druck gegen das Volumen aufträgt, erhält man eine Hyperbel; trägt man ihn gegen den Kehrwert des Volumen auf, wird diese Hyperbel zu einer Ursprungsgeraden gestreckt, deren Steigung die Konstante P ist₁V₁. Das Zurückziehen des Kolbens auf 50 mL am Ende jedes Teilstücks und die Überprüfung, ob der Anfangsdruck wieder erreicht wird, ist der Dichtigkeitstest, der entscheidet, ob dem Messlauf überhaupt vertraut werden kann.

Bildungsziele

Einarbeitung in die Laborumgebung

• Identifizieren Sie die graduierte Spritze, das Federdruckmessgerät (Manometer) und die luftdichte Armatur und geben Sie an, welchen Beitrag jedes dieser Teile zu einer Gasmessung im geschlossenen System leistet.
• Erklären Sie, warum die Baugruppe luftdicht sein muss, bevor es sich lohnt, auch nur einen einzigen Messwert aufzuzeichnen.

Handhabung eines geschlossenen Gassystems

• Stellen Sie den Kolben vor dem Schließen des Systems auf ein exaktes Startvolumen ein und erklären Sie, warum dieses Abdichtungsvolumen die Konstante für den gesamten Durchlauf festlegt.
• Bewegen Sie den Kolben in kontrollierten Schritten über den Controller, mit einer Hand oder per Hand-Tracking-Methode, ohne dabei das Siegel zu beschädigen.

Messung und Datenaufzeichnung

• Lies eine analoge Skala auf den nächsten Skalenstrich ab und schätze auf einen halben Skalenteil.
• Erfassen Sie Volumen und Druck als zusammengehörige Wertepaare über den gesamten Bereich von 20–100 ml, anstatt nur an einigen wenigen verstreuten Punkten.

Quantitative Behandlung des Boyle-Mariotte-Gesetzes

• Berechnen Sie das Produkt P × V in jedem Punkt und prüfen Sie, ob es konstant bleibt.
• Volumen in 1/V umrechnen und den Druck dagegen auftragen, wobei eine Gerade durch den Ursprung als Kennzeichen einer umgekehrten Proportionalität erkannt wird.
• Den Druck bei einem nicht gemessenen Volumen aus P vorhersagen₁V₁ = P₂V₂, prüfen Sie dann die Vorhersage anhand eines Messwerts.

Experimentelle Kontrolle und Validität

• Führen Sie die Rückgabe-an-50-ml-Prüfung durch und interpretieren Sie eine Abweichung als Leckage und nicht als Versagen des Gesetzes.
• Erläutern Sie, warum das Gas vor jeder Messung wieder auf Raumtemperatur gebracht werden muss und welche Auswirkungen ein überstürzt durchgeführter Versuch auf die Daten hat.

Protokoll

In diesem Labor verwenden Sie die Spritze. Hier ist, wie Sie vorgehen:

• Die Kolbenstange mit einem der Controller greifen. Um die Richtung zu wählen, in die Sie den Kolben bewegen möchten, drücken Sie die X- Y-Tasten (linker Controller) oder die A- B-Tasten (rechter Controller), um zwischen Drücken und Ziehen umzuschalten. Klicken Sie dann einfach auf die Auslöser-Taste, um den Kolben in der gewählten Richtung zu bewegen (sehen Sie sich gegebenenfalls das Video-Tutorial an).
• Einhandmodus: Greifen Sie die Spritze. Um die Richtung auszuwählen, in die Sie den Kolben bewegen möchten, drücken Sie die Zurück-Taste, um zwischen Druck- und Ziehbewegungen zu wechseln. Klicken Sie dann einfach auf die Touchpad-Taste, um den Kolben in die gewählte Richtung zu bewegen.
• Mit den Händen: Greifen Sie die Spritze mit einer Hand und drücken Sie mit der anderen Hand auf den Pfeil, in dessen Richtung Sie den Kolben bewegen möchten. Während Sie die Hand geschlossen auf der Spritze halten, müssen Sie nur noch Zeigefinger und Daumen öffnen und zusammendrücken, um den Kolben in die gewählte Richtung zu bewegen (siehe Video-Tutorial bei Bedarf).

Messen Sie den Druck eines Gases

1. Ziehen Sie den Spritzenkolben so, dass er genau 50 ml Luft enthält.
2. Verbinden Sie die Spritze mit dem Manometer mittels der geeigneten Anschlüsse. Die Montage muss absolut dicht sein und einem erheblichen Druck standhalten.
3. Ziehen Sie am Kolben, um das Volumen um 10 ml zu erhöhen. Lesen Sie die Druckmessung ab.
4. Wiederholen Sie Schritt 3 mehrmals (in 5-ml-Schritten), bis Sie ein Volumen von 100 ml erreicht haben.

• Halten Sie die Interaktionstaste der Spritze gedrückt, um den Druckunterschied für einige Sekunden auszugleichen, und lassen Sie dann das Volumen in der Spritze abnehmen.

5. Warten Sie, bis die Spritze ein Volumen von 50 ml erreicht hat und stellen Sie sicher, dass der Druck mit dem in Schritt 3 gemessenen übereinstimmt. Ist dies nicht der Fall, muss das Experiment neu gestartet werden.
6. Drücken Sie auf den Kolben, um das Volumen um 5 ml zu verringern. Lesen Sie den Druckmesswert ab und tragen Sie die Messwerte in die Ergebnistabelle ein.
7. Wiederholen Sie Schritt 7 mehrmals (in 5-ml-Intervallen), bis ein Volumen von 20 ml erreicht ist.

• Halte den Interaktionstaste der Spritze gedrückt, um den Druckunterschied für einige Sekunden auszugleichen, und lass dann das Volumen wieder in die Spritze aufsteigen.

8. Warten Sie, bis die Spritze ein Volumen von 50 ml erreicht hat und stellen Sie sicher, dass der Druck mit dem in Schritt 3 gemessenen übereinstimmt. Ist dies nicht der Fall, muss das Experiment neu gestartet werden.

Erwartete Ergebnisse

Erwartete Ergebnisse. Die Spritze enthält eine feste Menge Luft bei Raumtemperatur. Das Bewegen des Kolbens verändert das Volumen; das Messgerät zeigt den Druck des eingeschlossenen Gases an. Die siebzehn Volumina unten sind die im Protokoll geforderten, aufgelistet vom größten zum kleinsten.

Das wichtigste Ergebnis, das man mitnehmen sollte. Die siebzehn Produkte in der letzten Spalte ergeben im Durchschnitt 5.08 × 10³ kPa·mL, und jeder einzelne davon liegt zwischen 5035 und 5110 – eine Streuung von ±0,7 % um den Mittelwert. Gleichzeitig ändert sich das Volumen um den Faktor fünf und der Druck um denselben Faktor in entgegengesetzter Richtung. Eine Größe, die innerhalb von einem Prozent konstant bleibt, während sich ihre beiden Bestandteile jeweils um 500 % verändern, bleibt nicht zufällig konstant. Das ist das Boyle’sche Gesetz:

P × V = konstant (bei fester Temperatur und konstanter Gasmenge)

oder beim Vergleich zweier beliebiger Zustände derselben Probe, P₁V₁ = P₂V₂. Zur Überprüfung nehmen wir die erste und die letzte Zeile: 51 × 100 = 5100 und 254 × 20 = 5080. Die beiden Werte stimmen bis auf 0,4 % überein, bei dem größtmöglichen Abstand, den das Gerät zulässt.

Die beiden Diagramme und warum das zweite wichtig ist. Stellt man den Druck gegen das Volumen auf, erhält man eine Kurve, die bei kleinen Volumina steil abfällt und sich bei großen Volumina abflacht – eine Hyperbel. Die Form stimmt zwar, doch eine Kurve allein ist ein schwacher Beweis: Viele abnehmende Funktionen sehen auf den ersten Blick so aus, und keine davon lässt sich ohne große Sorgfalt von den anderen unterscheiden.

Auftragung des Drucks gegen die gegenseitig des Volumens wandelt die Behauptung in eine gerade Linie um. Wenn P = konstant / V, dann P aufgetragen gegen 1/V ist eine Gerade mit einer Steigung gleich dieser Konstanten, die durch den Ursprung verläuft. Beide Bedingungen sind wichtig, und jede hat ihre eigene Bedeutung:

• Der Steigung ist die Konstante selbst. Aus diesen Daten lässt sich ein Wert von etwa 5,08 × 10 ablesen³ kPa·mL — dieselbe Zahl wie der Durchschnitt der vierten Spalte, unabhängig erhalten.
• Der abfangen sollte null sein. Ein unendliches Volumen würde einen Druck von null bedeuten. Eine Linie, die den Ursprung verfehlt, verweist auf die Apparatur – siehe den Hinweis zum Totvolumen weiter unten – und nicht auf ein Versagen des Gesetzes.

Eine Gerade lässt sich viel leichter einschätzen als eine Kurve, und daraus lässt sich folgende allgemeine Erkenntnis ableiten: Wenn man einen Zusammenhang vermutet, sollte man die Variable ermitteln, die diesen linear macht, und stattdessen diese auftragen. Die Physik bietet zahlreiche Beispiele dafür – beispielsweise die Schwingungsdauer im Verhältnis zur Quadratwurzel der Länge bei einem Pendel oder die Stromstärke im Verhältnis zur Spannung bei einem Widerstand.

Warum das Produkt konstant bleibt. Druck ist die kumulierte Wirkung der Stöße von Gasmolekülen gegen die Wände: Jeder Stoß liefert einen kleinen Impuls, und der Druck ist der Gesamtimpuls pro Sekunde pro Flächeneinheit. Halbiert man das Volumen, so ist die gleiche Anzahl von Molekülen auf die Hälfte des Raums beschränkt, sodass jedes Molekül doppelt so oft auf eine Wand trifft. An den einzelnen Zusammenstößen ändert sich nichts – die Moleküle sind nicht schneller, da sich die Temperatur nicht verändert hat und ihre Durchschnittsgeschwindigkeit allein durch die Temperatur bestimmt wird. Nur die Häufigkeit der Zusammenstöße ändert sich, und zwar genau proportional zur Belegungsdichte. Doppelte Anzahldichte, doppelter Druck.

Dies zeigt auch, warum das Gesetz diese beiden Voraussetzungen benötigt. Konstante Temperatur, denn durch die Erwärmung des Gases würden die Moleküle schneller und die einzelnen Stöße heftiger, wodurch der Druck ohne Volumenänderung ansteigen würde. Konstante Gasmenge, da durch ein Leck Moleküle entweichen und die Kollisionsrate sinkt. Eine langsam undichte Spritze liefert ein Ergebnis, das im Verlauf der Messung nach unten abdriftet, anstatt zufällig um einen Mittelwert zu schwanken – daran lässt sich ein Leck von einem gewöhnlichen Messfehler unterscheiden.

Hin und zurück: Der Lauf ist umkehrbar. Das Protokoll durchläuft das Volumen nicht nur einmal. Es bewegt sich von 50 ml auf 100 ml, kehrt zu 50 ml zurück, komprimiert auf 20 ml und kehrt dann wieder zu 50 ml zurück. Jedes Volumen wird daher mindestens zweimal durchlaufen, und bei jedem Volumen ist der Druck auf dem Hin- und Rückweg gleich – 85 kPa bei 60 ml in beide Richtungen, 127 kPa bei 40 ml in beide Richtungen, 102 kPa bei 50 ml bei allen vier Durchläufen.

Auf diese Wiederholbarkeit sollte man die Studierenden besonders hinweisen, denn dabei wird echte Arbeit geleistet. Sie zeigt, dass das Gas genau in seinen ursprünglichen Zustand zurückkehrt, sodass nichts verloren ging und nichts dauerhaft verändert wurde: Die Dichtung hielt, und die durch die Kompression erzeugte Wärme hatte Zeit, sich abzuleiten. Eine Spur, die nicht Eine Umkehrung dieses Verlaufs – also höhere Drücke während der Kompression als während der Expansion bei gleichem Volumen – würde entweder auf ein Leck oder auf ein Gas hindeuten, das noch nicht auf Raumtemperatur zurückgekehrt ist. Beides ist hier nicht der Fall, weshalb es zulässig ist, den gesamten Durchlauf als einen einzigen isothermen Datensatz und nicht als zwei separate Experimente zu betrachten.

Wie viel Gas ist in der Spritze?. Die Konstante ist nicht bloß eine Zahl, die zufällig stehen bleibt; sie ist nRT. Aus dem idealen Gasgesetz PV = nRT, und 5,08 × 10³ kPa·mL sind 5,08 J, also bei 20 °C:

n = PV / RT = 5,08 / (8,314 × 293) = 2,1 × 10⁻³ Mol

etwa 2,1 Millimoll oder rund 60 mg Luft – etwa 1,3 × 10²¹ Moleküle. Ein Schüler, der diese Zahl erreicht, hat mehr getan als nur eine Proportionalität zu bestätigen: Er hat die Moleküle in einer Spritze anhand von zwei Skalenablesungen gezählt, was eine gelungene Demonstration dafür ist, wofür ein physikalisches Gesetz da ist.

Überdruck und Absolutdruck. Das Instrument in diesem Labor meldet absolut Druck — der von einem absoluten Vakuum aus gemessene Druck — und das Boyle-Mariotte-Gesetz verlangen nichts Geringeres. Der Messwert von 102 kPa bei 50 ml ist die Bestätigung: Der Kolben befindet sich in Ruhe, das eingeschlossene Gas steht also unter Atmosphärendruck, und 102 kPa sind der Atmosphärendruck. Ein Manometer, das stattdessen ab dem Atmosphärendruck gemessen hätte, würde dort 0 kPa anzeigen, und seine Messwerte würden überhaupt keinem einfachen Gesetz genügen. Wenn ein Schüler jemals mit einem Manometer arbeitet, muss vor der Bildung des Produkts zu jedem Messwert der Atmosphärendruck addiert werden.

Warum man die Lesungen nicht überstürzen darf. Das Komprimieren eines Gases verrichtet Arbeit an ihm und erwärmt es; lässt man es expandieren, kühlt es ab. Drückt man den Kolben schnell von 50 ml auf 20 ml, liegt die Temperatur des Gases kurzzeitig deutlich über der Raumtemperatur, weshalb der Druck hoch anzeigt; der Wert sinkt dann über mehrere Sekunden hinweg ab, während Wärme durch die Spritzenwand entgegengenommen wird. Das Gesetz setzt eine konstante Temperatur voraus, daher muss jeder Messwert abgelesen werden, nachdem sich das Gas beruhigt hat. Ein überstürztes Durchführen der Kompressionshübe bei gleichzeitiger Vernachlässigung der Expansionshübe führt zu einem scheinbaren Unterschied zwischen den beiden Richtungen, wo keiner existiert.

Totvolumen und wie man es nachweist. Das Gas in der Apparatur ist nicht nur das Gas vor den Skalenstrichen: Ein kleiner Teil befindet sich im Anschlussstück und im Messgerät selbst. Wenn dieses Totvolumen V₀, ist das wahre Volumen V + V₀ und die Konstante lautet P(V + V₀Wenn man sich nun allein auf die Skalenablesung verlässt, drückt dies das Produkt bei verringertem Volumen nach oben, da ein festes zusätzliches Volumen bei 20 ml eine viel größere Rolle spielt als bei 100 ml. Das Reziprokdiagramm deckt dies deutlich auf: Das Totvolumen verschiebt die Gerade vom Ursprung weg. Diese Daten zeigen keine solche Verschiebung – die Produkte bei 20 und 100 ml stimmen im Rahmen der Streuung überein –, sodass ein eventuelles Totvolumen im Vergleich zum kleinsten verwendeten Volumen gering ist.

Zusammenfassung der Aufgaben nach Klassenstufen

9. bis 10. Klasse

Konzentration. Beobachtung und Wortschatz. Die Schüler lernen, dass sich ein Gas komprimieren lässt, dass ein geschlossenes System erforderlich ist, damit die Messung aussagekräftig ist, und dass sich Druck und Volumen in entgegengesetzte Richtungen verändern.

• Verschließen Sie 50 mL Luft, nehmen Sie Messwerte bei 100, 80, 60, 40 und 20 mL auf und beschreiben Sie in Worten, was mit dem Druck passiert.
• Skizzieren Sie den Druck gegen das Volumen von Hand und benennen Sie die Kurve als eine fallende, die niemals Null erreicht.
• Beantworten Sie die qualitative Frage: Wie hoch wäre der Messwert bei 25 ml – höher oder niedriger als bei 40 ml, und um wie viel höher ungefähr?
• Führen Sie die 50-ml-Rücklaufprüfung durch und erläutern Sie, was eine Abweichung bedeuten würde.

11. Klasse

Konzentration. Quantitative Herangehensweise. Die Schüler berechnen die gesamte Reihe, ermitteln das Produkt P × V und überprüfen die Konstanzbehauptung numerisch statt nur visuell.

• Notieren Sie alle fünfzehn gemessenen Volumina, tabellieren Sie V, 1/V, P und P × V und kommentieren Sie die Streuung der letzten Spalte.
• Trage P gegen 1/V auf, zeichne die beste Gerade und bestimme deren Steigung; vergleiche die Steigung mit P₁V₁ = 101,3 kPa × 50 ml.
• Verwende P₁V₁ = P₂V₂ den Druck bei einem nicht gemessenen Volumen vorherzusagen und ihn dann zu messen.
• Erklären Sie, warum das Manometer in Absolutdruck abgelesen werden muss und wie das Diagramm aussieht, wenn dies nicht der Fall ist.

12. Klasse / College-Niveau

Konzentration. Herleitung, Fehleranalyse und eigenständige Interpretation. Von den Studierenden wird erwartet, dass sie den Zusammenhang zwischen dem makroskopischen Gesetz, dem idealen Gasgesetz und der kinetischen Theorie herstellen und quantifizieren, welche Faktoren das Experiment einschränken.

• Leiten Sie P ∝ 1/V aus PV = nRT und aus P = (1/3)(N/V)m〈v²〉 ab², und geben Sie an, welche Annahmen jede Ableitung trifft.
• Berechnen Sie n für die versiegelte Probe und rechnen Sie diesen Wert in eine Luftmasse und eine Molekülzahl um.
• Behandeln Sie das Totvolumen quantitativ: Tragen Sie $1/P$ gegen $V$ auf, ermitteln Sie den Achsenabschnitt und geben Sie den Wert von $V$ an_d das bedeutet.
• Vergleichen Sie die isotherm und die adiabatisch vorhergesagten Werte für eine Kompression von 50 mL auf 25 mL und erklären Sie anhand der Energie, warum der adiabatische Druck der höhere der beiden ist.

Labor-Grundausstattung

Instrumente

• Dosierspritze, 100 ml, skaliert in 1 ml
• Manometer mit Skala, 0–1000 kPa, Anzeige in kPa
• Luftdichter Anschluss zur Verbindung der Spritze mit dem Manometer

Produkte

• Luft – 50 ml Raumluft, bei Atmosphärendruck in der Spritze versiegelt