054 – Relația dintre volum și presiunea unui gaz 1

Un gaz nu are o dimensiune fixă. Strânge-l și va ocupa mai puțin spațiu; eliberează-l și se va extinde din nou. Inginerii se bazează pe acest comportament de fiecare dată când proiectează o pompă de bicicletă, cursa de compresie a unui motor, un regulator de scufundări, o frână pneumatică sau o seringă, și tot așa funcționează respirația: cavitatea toracică se mărește, presiunea din interiorul plămânilor scade sub presiunea camerei, iar aerul intră. Declarația cantitativă din spatele tuturor acestor lucruri este legea lui Boyle — la temperatură constantă, o cantitate fixă de gaz satisface P × V = constant, astfel încât presiunea și volumul sunt invers proporționale.

Motivul microscopic este că presiunea nu este altceva decât forța cumulată a moleculelor care lovesc pereții recipientului lor. Comprimarea unui gaz nu face ca moleculele sale să fie mai rapide; acest lucru ar necesita încălzirea lor. Aceasta ambalează același număr de molecule într-un spațiu mai mic, astfel încât mai multe dintre ele ajung la perete în fiecare secundă, iar forța pe unitatea de suprafață crește în proporție exactă cu înghesuirea. Înjumătățiți volumul și presiunea se dublează; dublați volumul și se înjumătățește.

În acest laborator veți sigila exact 50 mL de aer ambiental într-o seringă gradată, o veți conecta la un manometru cu cadran printr-un fiting etanș, iar apoi veți modifica volumul în pași mici — mai întâi trăgând pistonul spre 100 mL, apoi împingându-l spre 20 mL — citind presiunea la fiecare pas. Reprezentarea grafică a presiunii în funcție de volum oferă o hiperbolă; reprezentarea ei în funcție de inversul volumului îndreaptă acea hiperbolă într-o linie care trece prin origine, a cărei pantă este constanta P₁V₁. Readucerea pistonului la 50 mL la sfârșitul fiecărei etape și verificarea faptului că presiunea de pornire revine la valoarea inițială reprezintă testul de etanșeitate care decide dacă se poate avea încredere în rezultatul măsurătorii.

Obiective educaționale

Familiarizarea cu mediul de laborator

• Identificați seringa gradată, manometrul cu cadran și fitingul etanș și menționați ce contribuie fiecare la o măsurătoare cu gaz etanș.
• Explicați de ce ansamblul trebuie să fie etanș înainte ca o singură citire să merite înregistrată.

Manipularea unui sistem cu gaz etanș

• Reglați pistonul la un volum de pornire exact înainte ca sistemul să fie închis și explicați de ce acel volum de etanșare fixează constanta pentru întreaga rulare.
• Mutați pistonul în pași controlați, folosind controlerul, metoda cu o singură mână sau urmărirea mâinilor, fără a rupe etanșarea.

Măsurarea și înregistrarea datelor

• Citiți indicatorul analogic până la cea mai apropiată diviziune și estimați cu o precizie de jumătate de diviziune.
• Înregistrați volumul și presiunea ca perechi corespunzătoare pe întregul interval de 20–100 mL, nu doar la câteva puncte izolate.

Tratarea cantitativă a legii lui Boyle

• Calculați produsul P × V în fiecare punct și verificați dacă acesta rămâne constant.
• Se transformă volumul în 1/V și se reprezintă grafic presiunea în funcție de acesta, recunoscând o dreaptă care trece prin origine ca semn al unei proporționalități inverse.
• Se calculează presiunea la un volum care nu a fost măsurat, pornind de la P₁V₁ = P₂V₂, apoi verifică predicția în raport cu o lectură.

Controlul experimental și validitatea

• Efectuați verificarea de revenire la 50 mL și interpretați o neconcordanță ca fiind o scurgere, mai degraba decât o nerespectare a legii.
• Explicați de ce trebuie lăsat gazul să revină la temperatura camerei înainte de fiecare citire și ce efect are o determinare făcută în grabă asupra datelor.

Protocol

În cadrul acestui exercițiu practic, veți folosi seringa. Iată cum trebuie să procedați:

• Folosind controllerele: Apăsați pe seringă cu oricare dintre controllere. Pentru a selecta direcția în care doriți să mișcați pistonul, apăsați butoanele X – Y (controller stânga) sau butoanele A – B (controller dreapta) pentru a comuta între acțiuni de împingere și tragere. Apoi, pur și simplu apăsați butonul de declanșare pentru a mișca pistonul în direcția aleasă (consultați tutorialul video dacă este necesar).
• Modul cu o singură mână: Apucați seringa. Pentru a selecta direcția în care doriți să mișcați pistonul, apăsați butonul Înapoi pentru a comuta între acțiunile de împingere și tragere. Apoi, pur și simplu faceți clic pe butonul touchpad pentru a mișca pistonul în direcția aleasă.
• Cu mâinile dumneavoastră: Apucați seringa cu o mână și, cu cealaltă mână, apăsați pe săgeata care indică direcția în care doriți să mișcați pistonul. Menținând mâna închisă pe seringă, va fi suficient să deschideți și să strângeți degetul arătător și degetul mare pentru a mișca pistonul în direcția aleasă (consultați tutorialul video dacă este necesar).

Măsurați presiunea unui gaz

1. Trage pistonul seringii astfel încât să conțină exact 50 mL de aer.
2. Conectați seringa la manometrul cu cadran folosind fitingurile corespunzătoare. Ansamblul trebuie să fie perfect etanș și să poată rezista la presiuni semnificative.
3. Trage pistonul pentru a crește volumul cu 10 mL. Citește măsurarea presiunii.
4. Repetați pasul 3 de mai multe ori (cu intervale de 5 ml) până la atingerea unui volum de 100 ml.

• Țineți apăsat butonul de interacțiune al seringii pentru a contracara diferența de presiune timp de câteva secunde, apoi permiteți volumului să scadă în seringă.

5. Așteptați ca seringa să revină la un volum de 50 mL și asigurați-vă că presiunea corespunde cu cea măsurată la pasul 3. Dacă nu este cazul, experimentul trebuie reluat.
6. Apăsați pe piston pentru a reduce volumul cu 5 ml. Citiți valoarea presiunii și notați măsurătorile în tabelul de rezultate.
7. Repetați pasul 7 de mai multe ori (cu intervale de 5 ml) până la atingerea unui volum de 20 ml.

• Ține apăsat butonul de interacțiune al seringii pentru a contracara diferența de presiune timp de câteva secunde, apoi permite volumului să revină în seringă.

8. Așteptați ca seringa să revină la un volum de 50 mL și asigurați-vă că presiunea corespunde cu cea măsurată la pasul 3. Dacă nu este cazul, experimentul trebuie reluat.

Rezultate anticipate

Rezultate așteptate. Seringa conține o cantitate fixă de aer la temperatura camerei. Deplasarea pistonului modifică volumul; manometrul indică presiunea gazului captat. Cele șaptesprezece volume de mai jos sunt cele prevăzute de protocol, enumerate de la cel mai mare la cel mai mic.

Concluzia principală pe care trebuie să o rețineți. Media celor șaptesprezece produse din ultima coloană 5.08 × 10³ kPa·mL, iar fiecare dintre ele se încadrează între 5035 și 5110 — o variație de ±0,7 % în jurul mediei. În același timp, volumul se modifică cu un factor de cinci, iar presiunea cu același factor, dar în direcția opusă. O mărime care rămâne constantă cu o abatere de cel mult un procent, în timp ce cele două componente ale sale se modifică fiecare cu 500 %, nu rămâne constantă întâmplător. Aceasta este legea lui Boyle:

P × V = constantă (la o temperatură fixă și o cantitate fixă de gaz)

sau, comparând două stări oarecare ale aceluiași eșantion, P₁V₁ = P₂V₂. Luând în calcul primul și ultimul rând ca referință: 51 × 100 = 5100 și 254 × 20 = 5080. Cele două valori coincid cu o precizie de 0,4 %, la cea mai mare distanță permisă de aparat.

Cele două grafice și motivul pentru care al doilea contează. Reprezentarea grafică a presiunii în funcție de volum dă naștere unei curbe care scade abrupt la volume mici și se aplatizează pe măsură ce volumul crește — o hiperbolă. Forma este corectă, dar o curbă reprezintă o dovadă slabă: multe funcții descrescătoare arată astfel la prima vedere, iar niciuna dintre ele nu poate fi distinsă de celelalte fără o atenție deosebită.

Reprezentarea grafică a presiunii în funcție de reciproc de volum transformă curba într-o linie dreaptă. Dacă P = constant / V, apoi P reprezentat grafic în funcție de 1/V este o dreaptă cu panta egală cu acea constantă, care trece prin origine. Ambele condiții sunt importante, iar fiecare are propria semnificație:

• Acest pantă este chiar constanta. Citiți aceste date, este vorba despre 5,08 × 10³ kPa·mL — aceeași valoare ca media din coloana a patra, obținută în mod independent.
• Acest interceptează ar trebui să fie zero. Un volum infinit ar însemna o presiune egală cu zero. O linie care nu trece prin origine indică aparatul — a se vedea nota privind volumul mort de mai jos — și nu o încălcare a legii.

O linie dreaptă este mult mai ușor de interpretat decât o curbă, iar aceasta este concluzia generală: atunci când se bănuiește existența unei relații, trebuie să se identifice variabila care o face liniară și să se reprezinte grafic aceasta. Fizica este plină de exemple — perioada în funcție de rădăcina pătrată a lungimii pentru un pendul, curentul în funcție de tensiune pentru un rezistor.

De ce produsul rămâne constant. Presiunea reprezintă efectul cumulativ al ciocnirilor moleculelor de gaz cu pereții: fiecare ciocnire generează un impuls mic, iar presiunea este impulsul total pe secundă pe unitate de suprafață. Dacă se reduce volumul la jumătate, același număr de molecule este înghesuit într-un spațiu de două ori mai mic, astfel încât fiecare moleculă se ciocnește cu un perete de două ori mai des. Nimic nu se schimbă în ceea ce privește coliziunile individuale — moleculele nu sunt mai rapide, deoarece temperatura nu s-a modificat, iar viteza lor medie este determinată exclusiv de temperatură. Se modifică doar frecvența coliziunilor, iar aceasta variază exact proporțional cu aglomerarea. Densitate numerică dublă, presiune dublă.

Acest lucru arată, de asemenea, de ce legea are nevoie de cele două condiții ale sale. Temperatură constantă, deoarece încălzirea gazului ar accelera mișcarea moleculelor și ar spori intensitatea fiecărei ciocniri, crescând presiunea fără ca volumul să se modifice. Cantitate constantă de gaz, deoarece o scurgere elimină molecule și reduce rata de coliziune. O seringă care prezintă o scurgere lentă generează un produs care tinde să se deplaseze în jos pe parcursul măsurătorii, în loc să se împrăștie aleatoriu în jurul unei valori medii — acesta fiind modul în care se face distincția între o scurgere și o eroare obișnuită de citire.

Dus-întors: alergarea este reversibilă. Protocolul nu măsoară volumul printr-o singură baleiere. El se extinde de la 50 mL la 100 mL, revine la 50, se comprimă la 20 mL, apoi revine din nou la 50. Prin urmare, fiecare volum este vizitat de cel puțin două ori, iar în fiecare dintre ele presiunea are aceeași valoare la ducere ca și la întors — 85 kPa la 60 mL în ambele direcții, 127 kPa la 40 mL în ambele direcții, 102 kPa la 50 mL la toate cele patru vizite.

Este important să le atragem atenția studenților asupra acestei repetabilități, deoarece ea reflectă un proces real. Aceasta demonstrează că gazul revine exact la starea sa inițială, deci nimic nu s-a pierdut și nimic nu s-a modificat definitiv: etanșarea a rezistat, iar căldura generată de compresie a avut timp să se disipeze. O urmă care a nu o inversare a curbei — presiuni mai mari în timpul compresiei decât în timpul expansiunii, la același volum — ar indica fie o scurgere, fie un gaz care nu a revenit la temperatura camerei. Niciuna dintre aceste situații nu se produce în cazul de față, ceea ce ne permite să tratăm întreaga serie de măsurători ca pe un singur set de date izotermice, și nu ca pe două experimente separate.

Cât gaz este în seringă?. Constanta nu este doar un număr care se întâmplă să rămână pe loc; ea este nRT. Din legea gazului ideal PV = nRT, și 5,08 × 10³ kPa·mL este 5,08 J, deci la 20 °C:

n = PV / RT = 5,08 / (8,314 × 293) = 2,1 × 10⁻³ mol

aproximativ 2,1 milimoli sau în jur de 60 mg de aer — cam 1,3 × 10²¹ molecule. Un student care ajunge la acest număr a făcut ceva mai mult decât să confirme o proporționalitate: a numărat moleculele dintr-o seringă pornind de la două citiri ale cadranului, ceea ce este o demonstrație corectă a scopului unei legi fizice.

Presiunea manometrică și presiunea absolută. Aparatul din acest laborator raportează absolut presiune — presiune măsurată față de un vid absolut — și legea lui Boyle nu cere nimic mai puțin. Citirea de 102 kPa la 50 mL este confirmarea: pistonul stă în repaus, deci gazul prins se află la presiunea atmosferică, iar 102 kPa este presiunea atmosferică. Un manometru care ar fi măsurat începând de la presiunea atmosferică ar fi indicat 0 kPa acolo, iar citirile sale nu ar respecta nicio lege simplă. Dacă un elev lucrează vreodată cu un instrument de măsură manometric, presiunea atmosferică trebuie adăugată la fiecare citire înainte ca produsul să fie calculat.

De ce citirile nu trebuie grăbite. Comprimarea unui gaz efectuează lucru mecanic asupra acestuia și îl încălzește; lăsarea lui să se expandeze îl răcește. Împingeți pistonul rapid de la 50 mL la 20 mL, iar gazul se află pentru o clipă mult peste temperatura camerei, astfel încât presiunea indicată este ridicată; valoarea scade apoi treptat în câteva secunde, pe măsură ce căldura trece prin peretele seringii. Legea presupune o temperatură constantă, așa că fiecare citire trebuie luată după ce gazul s-a stabilizat. Grăbirea curselor de compresie și nu a celor de expansiune este ceea ce produce o diferență aparentă între cele două direcții, deși aceasta nu există.

Volumul mort și cum să îl detectezi. Gazul din aparat nu este doar gazul din fața gradațiilor: o mică parte se află în conector și în manometru. Dacă acel volum mort este V₀, volumul real este V + V₀ iar constanta devine P(V + V₀Utilizarea exclusivă a citirii de pe scală face apoi ca produsul să derive în sus pe măsură ce volumul este redus, deoarece un volum suplimentar fix contează mult mai mult la 20 mL decât la 100 mL. Reprezentarea reciprocă o scoate clar în evidență: volumul mort deplasează linia dreaptă din origine. Aceste date nu arată o astfel de derivă — produsele la 20 și 100 mL concordă în limitele dispersiei — așa că orice volum mort este mic în comparație cu cel mai mic volum utilizat.

Rezumatul temei pe intervale de note

Clasele a IX-a și a X-a

Concentrare. Observație și vocabular. Elevii învață că un gaz poate fi comprimat, că este necesar un sistem etanș pentru ca măsurătoarea să aibă vreo relevanță și că presiunea și volumul se mișcă în direcții opuse.

• Sigilați 50 mL de aer, luați citiri la 100, 80, 60, 40 și 20 mL și descrieți în cuvinte ce se întâmplă cu presiunea.
• Schițează presiunea în funcție de volum de mână și denumește curba ca fiind una descendentă care nu ajunge niciodată la zero.
• Răspundeți la întrebarea calitativă: care ar fi citirea la 25 mL — mai mare sau mai mică decât la 40 mL și aproximativ cu cât mai mare?
• Folosiți verificarea de revizuire la 50 mL și spuneți ce ar însemna o neconcordanță.

Clasa a XI-a

Concentrare. Tratare cantitativă. Studenții parcurg seria completă, calculează produsul P × V și testează afirmația privind constanța numeric, mai degrabă decât vizual.

• Înregistrați toate cele cincisprezece volume măsurate, orizontalizați $V$, $1/V$, $P$ și $P \times V$ sub formă de tabel și comentați dispersia ultimei coloane.
• Reprezentați grafic P în funcție de 1/V, trasați linia cea mai potrivită și determinați panta acesteia; comparați panta cu P₁V₁ = 101,3 kPa × 50 mL.
• Folosește P₁V₁ = P₂V₂ pentru a prezice presiunea la un volum care nu a fost măsurat, apoi pentru a o măsura.
• Explicați de ce manometrul trebuie citit în presiune absolută și arătați cum arată graficul dacă nu este.

Clasa a XII-a / Nivel universitar

Concentrare. Derivare, analiză a erorilor și interpretare independentă. Se așteaptă ca studenții să conecteze legea macroscopică la legea gazului ideal și la teoria cinetică, și să cuantifice limitele experimentului.

• Dedicați $P \propto 1/V$ din $PV = nRT$ și din $P = (1/3)(N/V)m\langle v^2 \rangle$², și menționează ce presupuneri face fiecare derivare.
• Calculați valoarea n pentru proba sigilată și convertiți-o într-o masă de aer și un număr de molecule.
• Tratați volumul mort cantitativ: ajustați 1/P în funcție de V, extrageți ordonata la origine și precizați valoarea lui V_d Asta implică.
• Comparați predicțiile izoterme și adiabatice pentru o compresie de la 50 mL la 25 mL și explicați, în termeni energetici, de ce presiunea adiabatică este mai mare dintre cele două.

Esențiale de laborator

Instrumente

• Seringă gradată, 100 mL, gradată din 1 în 1 mL
• Manometru cu cadran, 0–1000 kPa, citire în kPa
• Racord etanș care leagă seringa de manometru

Produse

• Aer — 50 mL de aer ambiental, etanșat în seringă la presiune atmosferică