054 – Vztah mezi objemem a tlakem plynu 1

Plyn nemá pevně daný objem. Stlačte ho a zabere méně místa; uvolněte ho a opět se roztáhne. Inženýři spoléhají na toto chování pokaždé, když navrhují pumpu na kolo, kompresní zdvih motoru, potápěčskou regulaci, pneumatickou brzdu nebo stříkačku, a tak funguje i dýchání: hrudní dutina se zvětší, tlak uvnitř plic klesne pod tlak v místnosti a vzduch proudí dovnitř. Kvantitativním vyjádřením toho všeho je Boylův zákon – za konstantní teploty splňuje pevné množství plynu vztah P × V = konstanta, takže tlak a objem jsou nepřímo úměrné.

Mikroskopickým důvodem je, že tlak není nic jiného než kumulovaná síla molekul narážejících do stěn své nádoby. Stlačování plynu nezpůsobuje, že jeho molekuly jsou rychlejší; to by vyžadovalo jejich zahřátí. Stěsnává stejný počet molekul do menšího prostoru, takže jich stěnu za sekundu zasáhne více a síla na jednotku plochy roste v přesné úměře k tomuto zhuštění. Zmenšete objem na polovinu a tlak se zdvojnásobí; zdvojnásobte objem a sníží se na polovinu.

V této laboratorní úloze uzavřete přesně 50 ml okolního vzduchu do odměrné stříkačky, připojíte ji k ciferníkovému manometru pomocí vzduchotěsné tvarovky a poté budete v malých krocích měnit objem — nejprve vytahováním pístu směrem ke 100 ml, poté jeho zatlačováním směrem k 20 ml — a v každém kroku odečtete tlak. Vynesením tlaku v závislosti na objemu získáte hyperbolu; jejím vynesením v závislosti na převrácené hodnotě objemu se tato hiperbola narovná v přímku procházející počátkem, jejíž směrnicí je konstanta P₁V₁. Vrácení pístu na 50 ml na konci každé fáze a kontrola, zda se počáteční tlak vrátí zpět, je zkouška těsnosti, která rozhoduje o tom, zda lze měření vůbec důvěřovat.

Vzdělávací cíle

Seznámení s laboratorním prostředím

• Identifikujte odměrnou stříkačku, tlakoměr s číselníkem a vzduchotěsnou tvarovku a uveďte, čím každá z nich přispívá k měření v uzavřeném plyném systému.
• Vysvětlete, proč musí být sestava vzduchotěsná dříve, než má smysl zaznamenat jediné měření.

Manipulace s uzavřeným plynovým systémem

• Nastavte píst na přesný počáteční objem před uzavřením systému a vysvětlete, proč tento uzavírací objem fixuje konstantu pro celou sérii měření.
• Pohybujte pístem v kontrolovaných krocích pomocí ovladače, jednoruční metody nebo metody sledování rukou, aniž byste porušili těsnění.

Měření a záznam dat

• Přečtěte analogový číselník s přesností na nejbližší dílek a odhadněte na polovinu dílku.
• Zaznamenejte objem a tlak jako odpovídající páry v celém rozsahu 20–100 ml namísto několika rozptýlených bodů.

Kvantitativní zpracování Boylova zákona

• Vypočítejte součin P × V v každém bodě a otestujte, zda zůstává konstantní.
• Převraťte objem na 1/V a vyneste proti němu tlak, přičemž přímku procházející počátkem uznáte jako znak nepřímo úměrné závislosti.
• Odhadněte tlak při objemu, který nebyl naměřen z P₁V₁ = P₂V₂, a poté porovnejte predikci s naměřenou hodnotou.

Experimentální kontrola a validita

• Proveďte kontrolu návratu na 50 ml a neshodu interpretujte spíše jako únik než jako selhání zákona.
• Vysvětlete, proč je nutné nechat plyn před každým měřením vrátit na pokojovou teplotu a co uspěchaný průběh měření způsobuje s daty.

Protokol

V této laboratoři budete používat injekční stříkačku. Zde je postup:

• Pomocí ovladačů: Uchopte injekční stříkačku kterýmkoli ovladačem. Pro výběr směru, kterým chcete pohybovat pístem, stiskněte tlačítka X – Y (levý ovladač) nebo A – B (pravý ovladač), abyste přepínali mezi akcemi tlačení a tahání. Poté jednoduše stiskněte spoušť pro pohyb pístu zvoleným směrem (v případě potřeby se podívejte na videonávod).
• Režim pro jednu ruku: Uchopte stříkačku. Chcete-li vybrat směr, kterým chcete pohnout pístem, stiskněte tlačítko Zpět pro přepnutí mezi akcemi tlačení a tahání. Poté jednoduše klikněte tlačítkem na touchpadu a pístem pohněte zvoleným směrem.
• Pomocí rukou: Uchopte stříkačku jednou rukou a druhou rukou stiskněte šipku směřující ve směru, kterým chcete pohnout pístem. Zatímco budete mít ruku stále sevřenou na stříkačce, stačí pak už jen rozevřít a stisknout ukazováček a palec k posunutí pístu ve zvoleném směru (v případě potřeby se podívejte na video návod).

Změřit tlak plynu

1. Přitáhněte píst injekční stříkačky tak, aby obsahovala přesně 50 mL vzduchu.
2. Připojte stříkačku k manometru pomocí vhodných spojek. Sestava musí být dokonale vzduchotěsná a musí vydržet značný tlak.
3. Zatáhněte za píst pro zvětšení objemu o 10 ml. Přečtěte měření tlaku.
4. Opakujte krok 3 několikrát (v intervalech po 5 ml), dokud nedosáhnete objemu 100 ml.

• Podržte interaktivní tlačítko stříkačky, abyste po několik sekund vyrovnali tlakový rozdíl, a poté nechte objem ve stříkačce klesnout.

5. Počkejte, až se stříkačka vrátí na objem 50 ml a ujistěte se, že tlak odpovídá tlaku naměřenému v kroku 3. Pokud tomu tak není, je třeba experiment restartovat.
6. Zatlačte na píst, abyste zmenšili objem o 5 ml. Odečtěte naměřený tlak a zapište naměřené hodnoty do tabulky výsledků.
7. Opakujte krok 7 několikrát (v 5ml intervalech), dokud nedosáhnete objemu 20 ml.

• Podržte interakční tlačítko injekční stříkačky, abyste na několik sekund vyrovnali tlakový rozdíl, a poté nechte objem stoupnout zpět do stříkačky.

8. Počkejte, až se stříkačka vrátí na objem 50 ml a ujistěte se, že tlak odpovídá tlaku naměřenému v kroku 3. Pokud tomu tak není, je třeba experiment restartovat.

Předvídané výsledky

Očekávané výsledky. Stříkačka obsahuje stálé množství vzduchu při pokojové teplotě. Pohyb pístu mění objem; manometr ukazuje tlak zachyceného plynu. Sedmnáct níže uvedených objemů je takových, které protokol vyžaduje, seřazených od největšího po nejmenší.

Objem V (ml)	1 / V mililitr−1)	Tlak P (kPa)	P × V (kPa·ml)
100	0.01000	51	5100
95	0.01053	53	5035
90	0.01111	56	5040
85	0.01176	60	5100
80	0.01250	63	5040
75	0.01333	68	5100
70	0.01429	73	5110
65	0.01538	78	5070
60	0.01667	85	5100
55	0.01818	92	5060
50	0.02000	102	5100
45	0.02222	113	5085
40	0.02500	127	5080
35	0.02857	145	5075
30	0.03333	169	5070
25	0.04000	203	5075
20	0.05000	254	5080

Jediný závěr, který si z toho lze vzít. Průměr sedmnácti produktů v posledním sloupci 5.08 × 10³ kPa·mL, a každá z nich se pohybuje v rozmezí 5035 až 5110 — což představuje odchylku ±0,7 % od průměru. Zároveň se objem mění pětinásobně a tlak se mění o stejný faktor v opačném směru. Veličina, která se drží v rozmezí jednoho procenta, zatímco její dvě složky se každá posouvají o 500 %, se nedrží na místě náhodou. To je Boyleův zákon:

P × V = konstanta (při konstantní teplotě a konstantním množství plynu)

nebo při porovnání libovolných dvou stavů téhož vzorku, P₁V₁ = P₂V₂. Pro kontrolu vezmeme první a poslední řádek: 51 × 100 = 5100 a 254 × 20 = 5080. Tyto dvě hodnoty se shodují s přesností 0,4 %, a to při nejširším rozestupu, jaký přístroj umožňuje.

Ty dva grafy, a proč na tom druhém záleží. Vynesení tlaku proti objemu dává křivku, která při malých objemech prudce klesá a u velkých se splošťuje – hyperbolu. Má správný tvar, ale křivka je slabým důkazem: mnoho klesajících funkcí takto od oka vypadá a žádnou z nich nelze od ostatních bez velké péče odlišit.

Vynášení tlaku proti vzájemný objemu převede nárok na přímku. Pokud P = konstanta / V, pak P vynesené proti 1/V je přímka se směrnicí rovnou této konstantě, která prochází počátkem. Obě podmínky jsou důležité a každá nese svůj vlastní význam:

• The svah je samotná konstanta. Z těchto dat vyplývá, že se jedná o asi 5,08 × 10³ kPa·mL — stejné číslo jako průměr čtvrtého sloupce, získané nezávisle.
• The zachytit by měl být nulový. Nekonečný objem by znamenal nulový tlak. Přímka, která míjí počátek, poukazuje na aparaturu — viz poznámku o mrtvém objemu níže — nikoli na selhání zákona.

Přímku lze posoudit mnohem snadněji než křivku, a to je obecné poučení: když máte podezření na nějaký vztah, najděte proměnnou, díky níž bude lineární, a vyneste raději tu. Fyzika je plná příkladů – perioda v závislosti na odmocnině délky u kyvadla, proud v závislosti na napětí u rezistoru.

Proč produkt zůstává konstantní. Tlak je kumulativním účinkem nárazů plynných molekul na stěny: každý náraz vyvolá malý impuls a tlak je celkový impuls za sekundu na jednotku plochy. Zmenšete objem na polovinu a stejný počet molekul je uzavřen v polovičním prostoru, takže každá z nich narazí na stěnu dvakrát častěji. Na samotných jednotlivých srážkách se nic nemění – molekuly nejsou rychlejší, protože se nezměnila teplota, a jejich průměrná rychlost je určena výhradně teplotou. Mění se pouze frekvence srážek, a to přesně úměrně hustotě. Dvojnásobná číselná hustota, dvojnásobný tlak.

Toto také ukazuje, proč zákon potřebuje své dvě podmínky. Konstantní teplota, protože ohřívání plyn zrychlí jeho molekuly a každý náraz bude silnější, čímž se zvýší tlak bez jakékoli změny objemu. Konstantní množství plynu, protože únik odebírá molekuly a snižuje četnost kolizí. Stříkačka, která pomalu netěsní, produkuje produkt, který se během analýzy sníží směrem dolů, namísto toho, aby se náhodně rozptyloval kolem průměru — což je způsob, jak se únik odlišuje od běžné chyby měření.

Tam a zpět: běh lze obrátit. Protokol neprojde objemem pouze jednou. Postupuje od 50 ml do 100 ml, vrací se na 50, stlačí se na 20 ml a pak se opět vrátí na 50. Každý objem je tedy navštíven nejméně dvakrát a při každém z nich je tlak při cestě tam i zpět stejný – 85 kPa při 60 ml v obou směrech, 127 kPa při 40 ml v obou směrech, 102 kPa při 50 ml při všech čtyřech návštěvách.

Stojí za to studentům tuto opakovatelnost ukázat, protože má svůj hluboký význam. Ukazuje, že plyn se vrátí do přesně takového stavu, v jakém byl dříve, takže se nic neztratilo a nic nebylo trvale změněno: těsnění vydrželo a veškeré teplo generované stlačením stihlo uniknout. Křivka, která ne sledovat samo sebe — vyšší tlaky během komprese než během expanze při stejném objemu — by naznačovalo buď netěsnost, nebo plyn, který se nevrátil na pokojovou teplotu. Zde nenastává ani jedno, což oprávňuje k tomu, abychom celý průběh považovali za jedinou izotermickou datovou sadu namísto dvou samostatných experimentů.

Kolik plynu je v injekční stříkačce?. Konstanta není pouhé číslo, které se shodou okolností nemění; je to nRT. Z ideální plynové rovnice PV = nRT, a 5,08 × 10³ kPa·mL je 5,08 J, takže při 20 °C:

n = PV / RT = 5,08 / (8,314 × 293) = 2,1 × 10⁻³ mol

asi 2,1 milimolu, neboli přibližně 60 mg vzduchu — zhruba 1,3 × 10²¹ molekuly. Student, který dosáhl tohoto čísla, udělal něco víc než jen potvrdil úměrnost: spočítal molekuly ve stříkačce ze dvou údajů na číselníku, což je názorná ukázka toho, k čemu slouží fyzikální zákon.

Přetlak a absolutní tlak. Přístroj v této laboratoři hlásí absolutní tlak — tlak měřený od absolutního vakuu — a Boyleův zákon nevyžaduje nic menšího. Naměřená hodnota 102 kPa při 50 ml je potvrzením: píst je v klidu, takže zachycený plyn je za atmosférického tlaku a 102 kPa je atmosférický tlak. Měřidlo, které by měřilo od atmosféry, by tam ukázalo 0 kPa a jeho hodnoty by neodpovídaly vůbec žádnému jednoduchému zákonu. Pokud student někdy pracuje s manometrickým přístrojem, je nutné k naměřené hodnotě přičíst atmosférický tlak předtím, než se vytvoří součin.

Proč se čtení nesmí uspěchat. Stlačením plyn koná práci a ohřívá se; jeho expanzí se ochlazuje. Rychlým zatlačením pístu z 50 ml na 20 ml se plyn na okamžik dostane vysoko nad teplotu místnosti, takže tlak ukazuje vysokou hodnotu; tato hodnota pak během několika sekund klesá, jak teplo prochází stěnou stříkačky. Zákon předpokládá konstantní teplotu, takže každé měření musí být provedeno až poté, co se plyn ustálí. Urychlování stlačovacích zdvihů a nikoli expanzních zdvihů je to, co vytváří zdánlivý rozdíl mezi oběma směry, přestože žádný neexistuje.

Mrtvý objem a jak jej detekovat. Plyn v přístroji není jen plyn před dílky stupnice: trocha ho zůstává v konektoru a samotném manometru. Pokud tento mrtvý objem V₀, skutečný objem je V + V₀ a konstanta se stává P(V + V₀Použití samotného odečtu ze stupnice pak vede k tomu, že hodnota produktu při zmenšování objemu roste, protože fixní extra objem hraje mnohem větší roli při 20 ml než při 100 ml. Reciproční graf to jasně odhaluje: mrtvý objem posouvá přímku mimo počátek. Tato data žádný takový posun nevykazují – produkty při 20 a 100 ml se shodují v rámci rozptylu – takže jakýkoliv mrtvý objem je zanedbatelný ve srovnání s nejmenším použitým objemem.

Shrnutí úkolů podle věkové kategorie

9. až 10. ročník

Soustřeď se. Pozorování a slovní zásoba. Studenti se učí, že plyn lze stlačit, že pro smysluplné měření je nutný uzavřený systém a že tlak a objem se pohybují opačnými směry.

• Uzavřete 50 mL vzduchu, odečtěte hodnoty při 100, 80, 60, 40 a 20 mL a slovně popište, co se stane s tlakem.
• Načrtněte závislost tlaku na objemu od ruky a křivku označte jako klesající, která nikdy nedosáhne nuly.
• Odpovězte na kvalitativní otázku: jaká by byla hodnota při 25 mL — větší nebo menší než při 40 mL a zhruba o kolik větší?
• Proveďte kontrolu návratu na 50 ml a uveďte, co by neshoda znamenala.

11. ročník

Soustřeď se. Kvantitativní zpracování. Studenti absolvují celou sérii, spočítají součin P × V a ověří tvrzení o konstantě numericky, nikoli od oka.

• Zaznamenejte všech patnáct naměřených objemů, uspořádejte V, 1/V, P a P × V do tabulky a komentujte rozptyl posledního sloupce.
• Vynesťte $P$ proti $1/V$, proložte nejlepší přímku a určete její směrnici; porovnejte směrnici s $P$.₁V₁ = 101,3 kPa × 50 ml.
• Použijte P₁V₁ = P₂V₂ predikovat tlak při objemu, který nebyl měřen, a poté jej změřit.
• Vysvětlete, proč je nutné odečítat hodnotu na měřidle v absolutním tlaku, a ukažte, jak vypadá graf, pokud tomu tak není.

12. ročník / Úroveň college

Soustřeď se. Odvození, analýza chyb a nezávislá interpretace. Od studentů se očekává, že propojí makroskopický zákon se zákonem ideálního plynu a s kinetickou teorií a že kvantifikují, co experiment omezuje.

• Odvoďte P ∝ 1/V z rovnice PV = nRT a z rovnice P = (1/3)(N/V)m〈v²〉², a uveďte, jaké předpoklady jednotlivé odvození činí.
• Spočítajte n pre zapečatený vzorek a preveďte ho na hmotnosť vzduchu a počet molekúl.
• Kvantitativně ošetřete mrtvý objem: proložte 1/P závislostí na V, extrahujte úsek na ose y a uveďte hodnotu V_d Znamená to.
• Porovnejte izotermické a adiabativní předpovědi pro stlačení z 50 ml na 25 ml a vysvětlete z hlediska energie, proč je adiabatický tlak vyšší z těchto dvou.

Laboratorní potřeby

Nástroje

• Ocejchovaná stříkačka, 100 ml, stupnice po 1 ml
• Tlakoměr s číselníkem, 0–1000 kPa, odečítání v kPa
• Vzduchotěsný spoj spojující stříkačku s manometrem

Produkty

• Vzduch — 50 ml pokojového vzduchu, uzavřeného v stříkačce za atmosférického tlaku