054 – La relació entre el volum i la pressió d'un gas 1

Un gas no té una mida fixa. Premeu-lo i ocupa menys espai; deixeu-lo anar i es torna a expandir. Els enginyers depenen d'aquest comportament cada vegada que dissenyen una bomba de bicicleta, la cursa de compressió d'un motor, un regulador de busseig, un fre pneumàtic o una xeringa, i així és com funciona la respiració: la cavitat toràcica s'engrandeix, la pressió a l'interior dels pulmons cau per sota de la pressió de l'habitació i l'aire hi entra. La declaració quantitativa que hi ha darrere de tot plegat és la llei de Boyle: a temperatura constant, una quantitat fixa de gas satisfà P × V = constant, de manera que la pressió i el volum són inversament proporcionals.

La raó microscòpica és que la pressió no és res més que la força acumulada de les molècules xocant contra les parets del seu recipient. Comprimir un gas no fa que les seves molècules siguin més ràpides; això requeriria escalfar-les. Apila el mateix nombre de molècules en un espai més petit, de manera que més d'elles arriben a la paret cada segon i la força per unitat d'àrea augmenta en proporció exacta a l'amuntegament. Reduïu el volum a la meitat i la pressió es duplica; dupliqueu el volum i es redueix a la meitat.

En aquest laboratori tancareu exactament 50 mL d'aire ambient dins d'una xeringa graduada, el connectareu a un manòmetre de dial mitjançant un estri estanc, i després canviareu el volum en petits passos —primer estirant el èmbol cap als 100 mL, després empenyent-lo cap als 20 mL—, llegint la pressió a cada pas. Representar gràficament la pressió en funció del volum dóna una hipèrbola; representar-la en funció de la recíproca del volum redreça aquesta hipèrbola en una línia que passa per l'origen la pendent de la qual és la constant P₁V₁. Tornar l'èmbol a 50 mL al final de cada tram i comprovar que la pressió inicial torna és la prova de fuites que determina si es pot confiar gens ni mica en la prova.

Objectius educatius

Familiarització amb l'entorn del laboratori

• Identifiqueu la xeringa graduada, el manòmetre de dial i l'accessori hermètic, i indiqueu què aporta cadascun a un mesurament de gas tancat.
• Expliqueu per què el conjunt ha de ser hermètic abans que valgui la pena registrar una sola lectura.

Manipulació d'un sistema de gas segellat

• Establiu el èmbol a un volum inicial exacte abans de tancar el sistema, i expliqueu per què aquest volum de segellat fixa la constant per a tota l'execució.
• Moveu el pistó en passos controlats, utilitzant el controlador, el mètode d'una sola mà o el de seguiment de mans, sense trencar el segell.

Mesura i enregistrament de dades

• Llegiu un dial analògic fins a la graduació més propera i estimeu fins a mitja divisió.
• Registreu el volum i la pressió com a parelles coincidents en tot el rang de 20–100 mL en lloc de fer-ho en uns quants punts dispersos.

Tractament quantitatiu de la llei de Boyle

• Calculeu el producte P × V a cada punt i comproveu si es manté constant.
• Converteix el volum en 1/V i representa la pressió en funció d'aquest, reconeixent una recta que passa per l'origen com a signe d'una proporcionalitat inversa.
• Predir la pressió a un volum no mesurat a partir de P₁V₁ = P₂V₂, després comprova la predicció amb una lectura.

Control experimental i validesa

• Realitzar la comprovació de retorn als 50 mL i interpretar una discrepància com una fuita en lloc de com un incompliment de la llei.
• Expliqueu per què s'ha de deixar que el gas torni a la temperatura ambient abans de cada lectura, i què li fa a les dades una prova feta amb pressa.

Protocol

En aquest laboratori utilitzaràs la xeringa. El procediment és el següent:

• Utilitzant els controladors: Agafa la xeringa amb qualsevol dels controladors. Per seleccionar la direcció en què vols moure el pistó, prem els botons X – Y (controlador esquerre) o A – B (controlador dret) per canviar entre les accions d'empenyer i estirar. Després, simplement fes clic al botó del disparador per moure el pistó en la direcció escollida (consulta el tutorial en vídeo si cal).
• Mode d'una sola mà: Agafa la xeringa. Per seleccionar la direcció en què vols moure el pistó, prem el botó Enrere per canviar entre les accions d'empenyere i estirar. Aleshores, simplement fes clic al botó del touchpad per moure el pistó en la direcció escollida.
• Amb les teves mans: Subjecta la xeringa amb una mà i, amb l'altra mà, prem la fletxa que apunta en la direcció que vols moure el pistó. Mantenint la mà tancada sobre la xeringa, només necessitaràs obrir i pessigar el dit índex i el polze per moure el pistó en la direcció triada (consulta el tutorial en vídeo si és necessari).

Mesura la pressió d'un gas

1. Estira el pistó de la xeringa perquè contingui exactament 50 ml d'aire.
2. Connecteu la xeringa al manòmetre fent servir els accessoris adequats. El muntatge ha de ser perfectament hermètic i ha de poder suportar pressions significatives.
3. Estira el pistó per augmentar el volum en 10 ml. Llegeix la mesura de pressió.
4. Repetiu el pas 3 diverses vegades (amb intervals de 5 ml) fins a arribar a un volum de 100 ml.

• Mantén premut el botó d'interacció de la xeringa per contrarestar la diferència de pressió durant uns segons i deixa que el volum disminueixi a la xeringa.

5. Espereu que la xeringa torni a un volum de 50 ml i assegureu-vos que la pressió coincideixi amb la mesurada al pas 3. Si no és així, l'experiment s'ha d'iniciar de nou.
6. Premeu el pistó per reduir el volum en 5 mL. Llegiu la mesura de la pressió i registreu les dades a la taula de resultats.
7. Repetiu el pas 7 diverses vegades (amb intervals de 5 ml) fins a arribar a un volum de 20 ml.

• Mantén premut el botó d'interacció de la xeringa per contrarestar la diferència de pressió durant uns segons i, després, permet que el volum torni a la xeringa.

8. Espereu que la xeringa torni a un volum de 50 ml i assegureu-vos que la pressió coincideixi amb la mesurada al pas 3. Si no és així, l'experiment s'ha d'iniciar de nou.

Resultats previstos

Resultats esperats. La xeringa conté una quantitat fixa d'aire a temperatura ambient. Desplaçant el pistó es modifica el volum; el manòmetre indica la pressió del gas atrapada. Els disset volums següents són els que requereix el protocol, ordenats de més gran a més petit.

L'únic resultat a retenir. La mitjana dels disset productes de l'última columna 5.08 × 10³ kPa·mL, i cadascun d'ells cau entre 5035 i 5110 — un interval de ±0,7 % al voltant de la mitjana. Mentrestant, el volum canvia per un factor de cinc i la pressió per aquest mateix factor en la direcció oposada. Una quantitat que es manté inalterable dins d'un per cent mentre els seus dos components es mouen cadascun 500 % no es manté inalterable per casualitat. Aquesta és la llei de Boyle:

P × V = constant (a temperatura i quantitat de gas fixes)

o, comparant dos estats qualssevol de la mateixa mostra, P₁V₁ = P₂V₂. Prenguent la primera i l'última fila com a comprovació: 51 × 100 = 5100, i 254 × 20 = 5080. Els dos coincideixen fins a 0,4 %, en la separació més ampla que permet l'aparell.

Els dos gràfics i per què el segon és important. El gràfic de la pressió en funció del volum mostra una corba que cau amb gran pendent en volums petits i s'aplana en volums grans — una hipèrbola. És la forma adequada, però una corba és una prova feble: moltes funcions decreixents semblen així a simple vista, i cap d'elles es pot distingir de les altres sense molta cura.

Conspirant pressió contra el recíproc del volum converteix la reclamació en una línia recta. Si P = constant / V, aleshores P representat contra 1/V és una recta de pendent igual a aquesta constant, que passa per l'origen. Ambdues condicions són importants, i cadascuna té el seu propi significat:

• El pendent és la pròpia constant. Llegint aquestes dades, és d'uns 5,08 × 10³ kPa·mL — el mateix nombre que la mitjana de la quarta columna, obtinguda de manera independent.
• El interceptar hauria de ser zero. Un volum infinit significaria pressió zero. Una línia que no passa per l'origen apunta a l'aparell — vegeu la nota sobre el volum mort a continuació — i no a un error de la llei.

Una línia recta és molt més fàcil de jutjar que una corba, i aquesta és la lliçó general: quan es sospita d'una relació, cal trobar la variable que la faci lineal i representar-la en lloc de l'altra. La física n'és plena d'exemples: el període en funció de l'arrel quadrada de la longitud per a un pèndol, la intensitat elèctrica en funció del voltatge per a una resistència.

Per què el producte es manté constant. La pressió és l'efecte acumulat de les molècules de gas que xoquen contra les parets: cada impacte transmet un petit impuls, i la pressió és el total d'impuls per segon per unitat d'àrea. Si es redueix el volum a la meitat, el mateix nombre de molècules queda confinat a la meitat de l'espai, de manera que cadascuna xoca contra una paret el doble de vegades. No canvia res de les col·lisions individuals: les molècules no van més ràpides, perquè la temperatura no ha canviat, i la seva velocitat mitjana està fixada només per la temperatura. Només canvia la taxa de col·lisions, i canvia en exactes proporcions a la concentració. El doble de densitat de molècules, el doble de pressió.

Això també mostra per què la llei necessita les seves dues condicions. Temperatura constant, perquè escalfar el gas faria que les molècules anessin més ràpides i cada impacte fos més fort, augmentant la pressió sense cap canvi de volum. Quantitat constant de gas, perquè una fuita elimina molècules i redueix la taxa de col·lisions. Una xeringa que degota lentament produeix un producte que deriva cap avall al llarg de l'anàlisi en lloc de dispersar-se aleatòriament al voltant d'una mitjana — i és així com es distingeix una fuita d'un error de lectura ordinari.

Anada i tornada: la cursa és reversible. El protocol no escaneja el volum d'una sola vegada. Es mou des de 50 mL fins a 100 mL, retorna a 50, comprimeix fins a 20 mL i després torna a 50. Per tant, cada volum es visita almenys dues vegades, i en cadascun la pressió és la mateixa a l'anada que a la tornada — 85 kPa a 60 mL en ambdues direccions, 127 kPa a 40 mL en ambdues direccions, 102 kPa a 50 mL en les quatre visites.

Cal destacar aquesta repetibilitat als estudiants, perquè està fent una feina real. Mostra que el gas retorna exactament al seu estat anterior, de manera que no es va perdre res ni es va canviar res de manera permanent: el segell va aguantar i qualsevol calor generat per la compressió va tenir temps de dissipar-se. Una pista que sí que va no El retracament —pressions més altes durant la compressió que durant l'expansió al mateix volum— indicaria o bé una fuita o bé un gas que no hauria tornat a la temperatura ambient. Cap d'aquestes dues coses succeeix aquí, cosa que permet tractar tot el procés com un únic conjunt de dades isotèrmiques en lloc de com dos experiments separats.

Quant de gas hi ha a la xeringa. La constant no és merament un nombre que resulta quedar-se quiet; és RTN. A partir de la llei dels gasos ideals PV = RTN, i 5,08 × 10³ kPa·mL equival a 5,08 J, de manera que a 20 °C:

n = PV / RT = 5,08 / (8,314 × 293) = 2,1 × 10⁻³ mol

uns 2,1 mil·limols, o aproximadament 60 mg d'aire — uns 1,3 × 10²¹ molècules. Un estudiant que arriba a aquest nombre ha fet alguna cosa més que confirmar una proporcionalitat: ha comptat les molècules d'una xeringa a partir de dues lectures del dial, la qual cosa és una bona demostració de per a què serveix una llei física.

Pressió manomètrica i pressió absoluta. L'instrument d'aquest laboratori informa absolut pressió — pressió mesurada des d'un buit veritable — i la llei de Boyle no exigeix res menys. La lectura de 102 kPa a 50 mL és la confirmació: el pistó està en repòs, de manera que el gas atrapat es troba a pressió atmosfèrica, i 102 kPa és la pressió atmosfèrica. Un manòmetre que mesurés des de l'atmosfera hauria mostrat 0 kPa allà, i les seves lectures no satisfarien cap llei senzilla. Si un estudiant treballa amb un instrument de mesura, cal afegir la pressió atmosfèrica a cada lectura abans de formar el producte.

Per què no s'han de precipitar les lectures. Comprimir un gas hi fa treball i l'escalfa; deixar-lo expandir el refreda. Si empenyeu el èmbol ràpidament de 50 mL a 20 mL, el gas se situa momentàniament molt per sobre de la temperatura ambient, de manera que la pressió marca un valor alt; llavors el valor decau al cap de diversos segons a mesura que la calor passa a través de la paret de la xeringa. La llei assumeix una temperatura constant, per la qual cosa cada lectura s'ha de prendre un cop el gas s'hagi estabilitzat. Afanyar les etapes de compressió i no les d'expansió és el que produeix una diferència aparent entre les dues direccions on no n'hi ha cap.

Volum mort, i com detectar-lo. El gas de l'aparell no és només el gas que hi ha davant de les graduacions: una mica queda al connector i al manòmetre mateix. Si aquest volum mort és V₀, el volum real és V + V₀ i la constant passa a ser P(V + V₀). L'ús de la sola lectura de la bàscula fa que el producte tendeixi a pujar a mesura que el volum disminueix, ja que un volum addicional fixa importa molt més a 20 mL que a 100 mL. El gràfic invers ho mostra amb claredat: el volum mort desplaça la línia recta fora de l'origen. Aquests dades no mostren cap deriva d'aquest tipus — els productes a 20 i 100 mL coincideixen dins de la dispersió — de manera que qualsevol volum mort és petit en comparació amb el volum més petit utilitzat.

Resum de tasques per rang de qualificació

De 9è a 10è grau

Concentra't. Observació i vocabulari. Els estudiants aprenen que un gas es pot comprimir, que cal un sistema tancat perquè el mesurament tingui sentit, i que la pressió i el volum es mouen en direccions oposades.

• Selleu 50 mL d'aire, preneu lectures a 100, 80, 60, 40 i 20 mL i descriviu amb paraules què passa amb la pressió.
• Esbosseu la pressió en funció del volum a mà i anomeneu la corba com a descendent que mai arriba a zero.
• Respon la pregunta qualitativa: quina seria la lectura a 25 mL — més o menys que a 40 mL, i aproximadament quant més?
• Utilitzeu la comprovació de retorn a 50 mL i indiqueu què significaria una discrepància.

11è curs

Concentra't. Tractament quantitatiu. Els estudiants prenen tota la sèrie, calculen el producte P × V i comproven l'afirmació de constància numèricament en lloc de fer-ho a ull.

• Registreu tots els quinze volums mesurats, tabuleu V, 1/V, P i P × V, i comenteu la dispersió de l'última columna.
• Representeu $P$ en funció de $1/V$, traçeu la línia recta de millor ajust i calculeu-ne el pendent; compareu el pendent amb $P$₁V₁ = 101,3 kPa × 50 mL.
• Utilitza la P₁V₁ = P₂V₂ per predir la pressió a un volum no mesurat, i després mesurar-la.
• Expliqueu per què el manòmetre s'ha de llegir en pressió absoluta i mostra com és el gràfic si no es fa així.

12è curs / Nivell universitari

Concentra't. Derivació, anàlisi d'errors i interpretació independent. S'espera que els estudiants connectin la llei macroscòpica amb la llei dels gasos ideals i amb la teoria cinètica, i que quantifiquin quins factors limiten l'experiment.

• Deriveu P ∝ 1/V a partir de PV = nRT i de P = (1/3)(N/V)m〈v²〉², i indiqueu quines suposicions fa cada derivació.
• Calcula n per a la mostra precintada i converteix-lo en una massa d'aire i en un recompte de molècules.
• Tracteu el volum mort quantitativament: ajusteu 1/P en funció de V, extreu l'ordenada a l'origen i indiqueu el valor de V_d implica.
• Compareu les prediccions isotèrmiques i adiabàtiques per a una compressió de 50 mL a 25 mL i expliqueu, en termes d'energia, per què la pressió adiabàtica és la més alta de les dues.

Equipament de laboratori

Instruments

• Xeringa graduada, 100 mL, graduada a 1 mL
• Manòmetre de diàleg, 0–1000 kPa, lectura en kPa
• Connexió hermètica que uneix la xeringa al manòmetre

Productes

• Aire — 50 mL d'aire ambient, segellat a la xeringa a pressió atmosfèrica