054 – La relación entre el volumen y la presión de un gas 1

Un gas no tiene un tamaño fijo. Comprímelo y ocupa menos espacio; suéltalo y se vuelve a expandir. Los ingenieros dependen de ese comportamiento cada vez que diseñan una bomba de bicicleta, la carrera de compresión de un motor, un regulador de buceo, un freno neumático o una jeringa, y así es como funciona la respiración: la cavidad torácica se agranda, la presión dentro de los pulmones cae por debajo de la presión de la habitación y el aire fluye hacia adentro. La afirmación cuantitativa detrás de todo ello es la ley de Boyle: a temperatura constante, una cantidad fija de gas cumple que P × V = constante, por lo que la presión y el volumen son inversamente proporcionales.

La razón microscópica es que la presión no es más que la fuerza acumulada de las moléculas golpeando las paredes de su recipiente. Comprimir un gas no hace que sus moléculas sean más rápidas; eso requeriría calentarlas. Empaca el mismo número de moléculas en un espacio más pequeño, por lo que más de ellas llegan a la pared cada segundo y la fuerza por unidad de área aumenta en proporción exacta al amontonamiento. Reduzca el volumen a la mitad y la presión se duplicará; duplique el volumen y se reducirá a la mitad.

En este laboratorio sellará exactamente 50 mL de aire ambiente dentro de una jeringa graduada, la conectará a un manómetro de cuadrante a través de un accesorio hermético y luego cambiará el volumen en pequeños pasos —primero tirando del émbolo hacia los 100 mL, luego empujándolo hacia los 20 mL— leyendo la presión en cada paso. Representar la presión frente al volumen da una hipérbola; representarla frente al recíproco del volumen endereza esa hipérbola en una línea que pasa por el origen cuya pendiente es la constante P₁V₁. Devolver el émbolo a 50 mL al final de cada tramo y comprobar que la presión inicial se recupera es la prueba de fugas que determina si se puede confiar en la ejecución.

Objetivos Educativos

Familiarización con el entorno del laboratorio

• Identifique la jeringa graduada, el manómetro de carátula y el conector hermético, y explique qué aporta cada uno a una medición de gas sellado.
• Explique por qué el conjunto debe ser hermético antes de que valga la pena registrar una sola lectura.

Manipulación de un sistema de gas sellado

• Coloque el émbolo en un volumen inicial exacto antes de que se cierre el sistema y explique por qué ese volumen de sellado fija la constante para toda la ejecución.
• Mueva el émbolo en pasos controlados, utilizando el controlador, con una mano o con el método de seguimiento manual, sin romper el sello.

Medición y registro de datos

• Lea un dial analógico hasta la graduación más cercana y estime hasta media división.
• Registre el volumen y la presión como pares coincidentes en todo el rango de 20 a 100 mL en lugar de en unos pocos puntos dispersos.

Tratamiento cuantitativo de la ley de Boyle

• Calcula el producto P × V en cada punto y comprueba si se mantiene constante.
• Convertir el volumen a 1/V y representar la presión frente a este, reconociendo una línea recta que pasa por el origen como la firma de una proporcionalidad inversa.
• Predecir la presión a un volumen que no fue medido a partir de P₁V₁ = P₂V₂, luego, verifique la predicción con una lectura.

Control experimental y validez

• Lleve a cabo la comprobación de retorno a 50 mL e interprete cualquier discrepancia como una fuga en lugar de como un fallo de la ley.
• Explique por qué se debe permitir que el gas regrese a la temperatura ambiente antes de cada lectura y qué le hace una ejecución apresurada a los datos.

Protocolo

En este laboratorio, usarás la jeringa. Aquí te explicamos cómo proceder:

• Usando los controladores: Agarra la jeringa con cualquiera de los controladores. Para seleccionar la dirección en la que deseas mover el émbolo, presiona los botones X e Y (controlador izquierdo) o los botones A y B (controlador derecho) para alternar entre las acciones de empujar y tirar. Luego, simplemente haz clic en el gatillo para mover el émbolo en la dirección elegida (consulta el videotutorial si es necesario).
• Modo de una mano: agarra la jeringa. Para seleccionar la dirección en la que deseas mover el émbolo, mantén presionado el botón Atrás para alternar entre las acciones de empujar y tirar. Luego, simplemente haz clic en el botón del panel táctil para mover el émbolo en la dirección elegida.
• Con tus manos: Sujeta la jeringa con una mano y, con la otra, presiona la flecha que señala en la dirección en la que quieres mover el émbolo. Mientras mantienes tu mano cerrada sobre la jeringa, solo necesitarás luego abrir y pinzar con el dedo índice y el pulgar para mover el émbolo en la dirección elegida (si es necesario, consulta el tutorial en video).

Medir la presión de un gas

1. Tira del émbolo de la jeringa hasta que contenga exactamente 50 ml de aire.
2. Conecte la jeringa al manómetro de dial utilizando los accesorios adecuados. El conjunto debe ser perfectamente hermético y debe poder soportar una presión considerable.
3. Tire del émbolo para aumentar el volumen en 10 mL. Lea la medición de presión.
4. Repita el paso 3 varias veces (en intervalos de 5 mL) hasta alcanzar un volumen de 100 mL.

• Mantén presionado el botón de interacción de la jeringa para contrarrestar la diferencia de presión durante unos segundos y luego permite que el volumen disminuya en la jeringa.

5. Espera a que la jeringa retorne a un volumen de 50 mL y asegúrate de que la presión coincida con la medida en el paso 3. Si no es así, el experimento deberá reiniciarse.
6. Empuje el pistón para reducir el volumen en 5 mL. Lea la medición de presión y registre las mediciones en la tabla de resultados.
7. Repita el paso 7 varias veces (en intervalos de 5 ml) hasta alcanzar un volumen de 20 ml.

• Mantén presionado el botón de interacción de la jeringa para contrarrestar la diferencia de presión durante unos segundos y luego deja que el volumen vuelva a subir hacia la jeringa.

8. Espera a que la jeringa retorne a un volumen de 50 mL y asegúrate de que la presión coincida con la medida en el paso 3. Si no es así, el experimento deberá reiniciarse.

Resultados esperados

Resultados esperados. La jeringa contiene una cantidad fija de aire a temperatura ambiente. Mover el émbolo cambia el volumen; el manómetro indica la presión del gas atrapado. Los diecisiete volúmenes siguientes son los que exige el protocolo, enumerados del mayor al menor.

El único resultado a destacar. Los diecisiete productos en la última columna promedian 5.08 × 10³ kPa·mL, y cada uno de ellos se sitúa entre 5035 y 5110 —un rango de ±0,7 % respecto a la media—. Mientras tanto, el volumen varía en un factor de cinco y la presión en el mismo factor, pero en sentido contrario. Una magnitud que se mantiene estable con una variación inferior al uno por ciento, mientras que sus dos componentes varían cada uno en 500 %, no se mantiene estable por casualidad. Esta es la ley de Boyle:

P × V = constante (a temperatura fija y cantidad fija de gas)

o, comparando dos estados cualesquiera de la misma muestra, P₁V₁ = P₂V₂. Tomando la primera y la última fila como referencia: 51 × 100 = 5100, y 254 × 20 = 5080. Las dos cifras coinciden con una precisión de 0,4 %, en la separación máxima que permite el aparato.

Los dos gráficos, y por qué importa el segundo. Representar gráficamente la presión frente al volumen da una curva que cae fuertemente en volúmenes pequeños y se aplana hacia los grandes: una hipérbola. Tiene la forma correcta, pero una curva es una evidencia débil: a simple vista, muchas funciones decrecientes se parecen a esa, y ninguna de ellas se puede distinguir de las demás sin un gran cuidado.

Representando la presión frente a recíproco de volumen convierte el reclamo en una línea recta. Si P = constante / V, entonces P representado frente a 1/V es una línea recta de pendiente igual a esa constante, que pasa por el origen. Ambas condiciones importan, y cada una tiene su propio significado:

• El pendiente es la constante misma. A partir de estos datos, se trata de aproximadamente 5,08 × 10³ kPa·mL — el mismo número que el promedio de la cuarta columna, obtenido de forma independiente.
• El interceptar debería ser cero. Un volumen infinito significaría presión cero. Una línea que no pasa por el origen apunta al aparato —véase la nota sobre el volumen muerto a continuación—, no a un fallo de la ley.

Una línea recta es mucho más fácil de juzgar que una curva, y esta es la lección general: cuando se sospecha una relación, encuentre la variable que la hace lineal y grafique esa en su lugar. La física está llena de ejemplos: el período frente a la raíz cuadrada de la longitud para un péndulo, la corriente frente al voltaje para un resistor.

Por qué el producto se mantiene constante. La presión es el efecto acumulado de las moléculas de gas al golpear las paredes: cada impacto transmite un pequeño impulso, y la presión es el impulso total por segundo por unidad de área. Reduzca el volumen a la mitad y el mismo número de moléculas se confina en la mitad del espacio, por lo que cada una choca contra una pared el doble de veces. Nada en las colisiones individuales cambia; las moléculas no son más rápidas, porque la temperatura no ha cambiado, y su velocidad media está determinada únicamente por la temperatura. Solo cambia la frecuencia de las colisiones, y lo hace en proporción exacta al grado de concentración. El doble de densidad numérica, el doble de presión.

Esto también muestra por qué la ley necesita sus dos condiciones. Temperatura constante, porque calentar el gas haría que las moléculas fueran más rápidas y cada impacto más fuerte, aumentando la presión sin ningún cambio en el volumen. Cantidad constante de gas, porque una fuga elimina moléculas y reduce la tasa de colisiones. Una jeringa que gotea lentamente produce un producto que deriva hacia abajo a lo que dura la corrida en lugar de dispersarse aleatoriamente alrededor de una media, que es como se distingue una fuga de un error de lectura ordinario.

Ida y vuelta: el recorrido es reversible. El protocolo no barre el volumen una sola vez. Se desplaza desde 50 mL hasta 100 mL, regresa a 50, se comprime hasta 20 mL y luego vuelve a 50 de nuevo. Por lo tanto, cada volumen se visita al menos dos veces, y en cada uno de ellos la presión se lee igual a la ida que a la vuelta: 85 kPa a 60 mL en ambas direcciones, 127 kPa a 40 mL en ambas direcciones, 102 kPa a 50 mL en las cuatro visitas.

Vale la pena señalar esa repetibilidad a los estudiantes, porque está haciendo un trabajo real. Muestra que el gas regresa con precisión a su estado anterior, por lo que no se perdió nada y nada cambió permanentemente: el sello aguantó y cualquier calor generado por la compresión tuvo tiempo de disiparse. Un rastro que hizo no retroceder por sí misma —presiones más altas durante la compresión que durante la expansión al mismo volumen— indicaría una fuga o un gas que no había regresado a la temperatura ambiente. Ninguna de las dos cosas ocurre aquí, lo que autoriza a tratar toda la serie de mediciones como un único conjunto de datos isotérmicos en lugar de como dos experimentos separados.

¿Cuánto gas hay en la jeringa?. La constante no es meramente un número que da la casualidad de mantenerse fijo; es nRT. A partir de la ley de los gases ideales PV = nRT, y 5.08 × 10³ kPa·mL son 5,08 J, por lo que a 20 °C:

n = PV / RT = 5.08 / (8.314 × 293) = 2.1 × 10⁻³ mol

alrededor de 2,1 milimoles, o aproximadamente 60 mg de aire — unos 1,3 × 10²¹ moléculas. Un estudiante que alcanza este número ha hecho algo más que confirmar una proporcionalidad: ha contado las moléculas en una jeringa a partir de dos lecturas de un dial, lo cual es una justa demostración de para qué sirve una ley física.

Presión manométrica y presión absoluta. El instrumento en este laboratorio informa absoluto presión —presión medida desde un vacío absoluto— y la ley de Boyle no requiere nada menos. La lectura de 102 kPa a 50 mL es la confirmación: el émbolo está en reposo, por lo que el gas atrapado está a presión atmosférica, y 102 kPa es la presión atmosférica. Un manómetro que midiera desde la atmósfera en su lugar habría mostrado 0 kPa allí, y sus lecturas no cumplirían ninguna ley simple en absoluto. Si un estudiante alguna vez trabaja con un instrumento manométrico, la presión atmosférica debe sumarse a cada lectura antes de formar el producto.

Por qué no se deben apresurar las lecturas. Comprimir un gas realiza trabajo sobre él y lo calienta; dejarlo expandir lo enfría. Empuje el émbolo rápidamente de 50 mL a 20 mL y el gas estará momentáneamente muy por encima de la temperatura ambiente, por lo que la presión marca un valor alto; luego, el valor disminuye durante varios segundos a medida que el calor atraviesa la pared de la jeringa. La ley asume una temperatura constante, por lo que cada lectura debe tomarse después de que el gas se haya estabilizado. Apurar las carreras de compresión y no las de expansión es lo que produce una diferencia aparente entre ambas direcciones donde no existe ninguna.

Volumen muerto y cómo detectarlo. El gas en el aparato no es solo el gas frente a las graduaciones: un poco se queda en el conector y en el propio manómetro. Si ese volumen muerto es V₀, el volumen real es V + V₀ y la constante se convierte P(V + V₀). El uso exclusivo de la lectura de la escala hace entonces que el producto derive hacia arriba a medida que se reduce el volumen, ya que un volumen adicional fijo importa mucho más a 20 mL que a 100 mL. El gráfico recíproco lo expone claramente: el volumen muerto desplaza la línea recta fuera del origen. Estos datos no muestran tal deriva —los productos a 20 y 100 mL coinciden dentro de la dispersión—, por lo que cualquier volumen muerto es pequeño en comparación con el volumen más pequeño utilizado.

Resumen de la asignación por rango de calificación

Grados 9–10

Concentración. Observación y vocabulario. Los estudiantes aprenden que un gas se puede comprimir, que se requiere un sistema sellado para que la medición tenga algún significado y que la presión y el volumen se mueven en direcciones opuestas.

• Sella 50 mL de aire, toma lecturas a 100, 80, 60, 40 y 20 mL, y describe con palabras qué le sucede a la presión.
• Dibuja la presión en función del volumen a mano y nombra la curva como una descendente que nunca llega a cero.
• Responda a la pregunta cualitativa: ¿cuál sería la lectura a 25 mL — más o menos que a 40 mL, y aproximadamente cuánto más?
• Utilice la comprobación de retorno a 50 mL e indique qué significaría una discrepancia.

Undécimo grado

Concentración. Tratamiento cuantitativo. Los estudiantes toman la serie completa, calculan el producto P × V y prueban la afirmación de constancia numéricamente en lugar de a simple vista.

• Registre los quince volúmenes medidos, tabule V, 1/V, P y P × V, y comente sobre la dispersión de la última columna.
• Represente P frente a 1/V, trace la mejor línea recta y obtenga su pendiente; compare la pendiente con P₁V₁ = 101,3 kPa × 50 mL.
• Usar P₁V₁ = P₂V₂ predecir la presión a un volumen no medido, y luego medirla.
• Explique por qué el manómetro debe leerse en presión absoluta y muestre cómo se ve el gráfico si no es así.

12.º curso / Nivel universitario

Concentración. Derivación, análisis de errores e interpretación independiente. Se espera que los estudiantes conecten la ley macroscópica con la ley de los gases ideales y con la teoría cinética, y que cuantifiquen qué limita el experimento.

• Derivar P ∝ 1/V a partir de PV = nRT y de P = (1/3)(N/V)m〈v²〉², y establezca qué suposiciones hace cada derivación.
• Calcule $n$ para la muestra sellada y conviértala en una masa de aire y un recuento de moléculas.
• Trate el volumen muerto cuantitativamente: ajuste 1/P frente a V, extraiga la ordenada en el origen e indique el valor de V_d implica.
• Compare las predicciones isotérmica y adiabática para una compresión de 50 mL a 25 mL y explique, en términos de energía, por qué la presión adiabática es la mayor de las dos.

Esenciales de laboratorio

Instrumentos

• Jeringa graduada, 100 mL, graduada en 1 mL
• Manómetro de esfera, 0–1000 kPa, lectura en kPa
• Conexión hermética que une la jeringa al manómetro

Productos

• Aire: 50 mL de aire ambiente, sellado en la jeringa a presión atmosférica