054 – Zależność między objętością a ciśnieniem gazu 1

Gaz nie ma stałej objętości. Ściśnij go, a zajmie mniej miejsca; zwolnij go, a znów się rozszerzy. Inżynierowie polegają na tym zachowaniu za każdym razem, gdy projektują pompkę rowerową, suw sprężania w silniku, regulator do nurkowania, hamulec pneumatyczny lub strzykawkę, i w ten sposób działa oddychanie: jama klatki piersiowej powiększa się, ciśnienie wewnątrz płuc spada poniżej ciśnienia w pomieszczeniu, a powietrze napływa do środka. Ilościowym sformułowaniem tego wszystkiego jest prawo Boyle’a – w stałej temperaturze stała ilość gazu spełnia warunek P × V = stała, więc ciśnienie i objętość są odwrotnie proporcjonalne.

Mikroskopową przyczyną jest to, że ciśnienie nie jest niczym innym jak skumulowaną siłą cząsteczek uderzających w ścianki swojego zbiornika. Sprężenie gazu nie sprawia, że jego cząsteczki poruszają się szybciej; to wymagałoby ich podgrzania. Zagęszcza ono tę samą liczbę cząsteczek w mniejszej przestrzeni, więc więcej z nich dociera do ścianki w każdej sekundzie, a siła przypadająca na jednostkę powierzchni rośnie w dokładnie takiej samej proporcji, jak stopień zagęszczenia. Zmniejszenie objętości o połowę powoduje podwojenie ciśnienia; podwojenie objętości zmniejsza je o połowę.

W tym laboratorium zamkniesz dokładnie 50 ml powietrza z pomieszczenia w wyskalowanej strzykawce, połączysz ją z manometrem tarczowym za pomocą szczelnej złączki, a następnie będziesz zmieniać objętość w małych krokach — najpierw odciągając tłok w stronę 100 ml, a następnie wpychając go w stronę 20 ml — odczytując ciśnienie na każdym kroku. Wykreślenie ciśnienia w funkcji objętości daje hiperbolę; wykreślenie go w funkcji odwrotności objętości prostuje tę hiperbolę w linię przechodzącą przez początek układu współrzędnych, której nachyleniem jest stała P₁V₁. Powrót tłoka do 50 mL na końcu każdego etapu i sprawdzenie, czy ciśnienie początkowe wraca, to test szczelności, który decyduje o tym, czy przebieg w ogóle można uznać za wiarygodny.

Cele edukacyjne

Zapoznanie się ze środowiskiem laboratoryjnym

• Zidentyfikuj strzykawkę wyskalowaną, manometr tarczy oraz szczelną złączkę i określ, jaki wkład wnosi każda z nich do pomiaru w zamkniętym gazie.
• Wyjaśnij, dlaczego układ musi być szczelny, zanim warto zarejestrować jakikolwiek odczyt.

Obsługa zamkniętego układu gazowego

• Ustaw tłok na dokładnie określoną objętość początkową przed zamknięciem systemu i wyjaśnij, dlaczego ta objętość uszczelnienia ustala stałą dla całego pomiaru.
• Przesuń tłok w kontrolowanych krokach, używając kontrolera, metody jednoręcznej lub śledzenia dłoni, bez naruszania uszczelnienia.

Pomiary i rejestracja danych

• Odczytaj wskazanie tarczy analogowej z dokładnością do najbliższej podziałki i oszacuj z dokładnością do połowy działki.
• Rejestruj objętość i ciśnienie jako dopasowane pary w całym zakresie 20–100 mL, zamiast w kilku rozproszonych punktach.

Ilościowe ujęcie prawa Boyle’a

• Oblicz iloczyn P × V w każdym punkcie i sprawdź, czy pozostaje on stały.
• Przekształć objętość do postaci 1/V i wykresz ciśnienie w funkcji tej wielkości, rozpoznając prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych jako cechę odwrotnej proporcjonalności.
• Przewidź ciśnienie dla objętości, która nie została zmierzona na podstawie P₁V₁ = P₂V₂, a następnie porównaj prognozę z odczytem.

Kontrola eksperymentalna i trafność

• Przeprowadź kontrolę powrotu do 50 ml i zinterpretuj niezgodność jako wyciek, a nie jako awarię prawa.
• Wyjaśnij, dlaczego gaz musi powrócić do temperatury pokojowej przed każdym odczytem, ​​i co pośpieszny przebieg robi z danymi.

Protokół

W tym laboratorium użyjesz strzykawki. Oto jak postępować:

• Korzystając z kontrolerów: Chwyć strzykawkę jednym z kontrolerów. Aby wybrać kierunek, w którym chcesz poruszyć tłokiem, naciśnij przyciski X – Y (lewy kontroler) lub A – B (prawy kontroler), aby przełączyć się między akcjami wciskania i wyciągania. Następnie po prostu kliknij spust, aby przesunąć tłok w wybranym kierunku (w razie potrzeby zapoznaj się z samouczkiem wideo).
• Tryb obsługi jedną ręką: Chwyć strzykawkę. Aby wybrać kierunek ruchu tłoka, naciśnij przycisk Wstecz, aby przełączać między akcjami wciskania i wyciągania. Następnie po prostu kliknij przycisk na płytce dotykowej, aby przesunąć tłok w wybranym kierunku.
• Twoimi rękami: Chwyć strzykawkę jedną ręką, a drugą naciśnij strzałkę wskazującą kierunek, w którym chcesz przesunąć tłok. Trzymając rękę zamkniętą na strzykawce, wystarczy następnie otworzyć i zacisnąć palec wskazujący oraz kciuk, aby przesunąć tłok w wybranym kierunku (w razie potrzeby skorzystaj z samouczka wideo).

Zmierz ciśnienie gazu

1. Pociągnij tłok strzykawki, tak aby zawierała dokładnie 50 ml powietrza.
2. Podłącz strzykawkę do manometru za pomocą odpowiednich złączek. Zespół musi być idealnie szczelny i wytrzymywać znaczne ciśnienie.
3. Pociągnij za tłok, aby zwiększyć objętość o 10 ml. Odczytaj pomiar ciśnienia.
4. Powtarzaj krok 3 kilkakrotnie (w odstępach 5 ml), aż do uzyskania objętości 100 ml.

• Przytrzymaj przycisk interakcji strzykawki, aby przez kilka sekund przeciwdziałać różnicy ciśnień, a następnie pozwól, aby objętość w strzykawce się zmniejszyła.

5. Poczekaj, aż tłok strzykawki powróci do objętości 50 ml i upewnij się, że ciśnienie odpowiada wartości zmierzonej w kroku 3. Jeśli tak nie jest, eksperyment należy rozpocząć od nowa.
6. Naciśnij tłok, aby zmniejszyć objętość o 5 ml. Odczytaj wartość ciśnienia i zapisz wyniki w tabeli wyników.
7. Powtarzaj krok 7 kilkukrotnie (w odstępach 5 ml) do momentu uzyskania objętości 20 ml.

• Przytrzymaj przycisk interakcji strzykawki, aby przez kilka sekund przeciwdziałać różnicy ciśnień, a następnie pozwól objętości powrócić do strzykawki.

8. Poczekaj, aż tłok strzykawki powróci do objętości 50 ml i upewnij się, że ciśnienie odpowiada wartości zmierzonej w kroku 3. Jeśli tak nie jest, eksperyment należy rozpocząć od nowa.

Przewidywane wyniki

Oczekiwane rezultaty. Strzykawka zawiera stałą ilość powietrza w temperaturze pokojowej. Poruszanie tłokiem zmienia objętość; manometr wskazuje ciśnienie uwięzionego gazu. Siedemnaście poniższych objętości to te, których wymaga protokół, wymienione od największej do najmniejszej.

Jedyny wynik, jaki można z tego wyciągnąć. Średnia siedemnastu produktów w ostatniej kolumnie wynosi 5.08 × 10³ kPa·ml, a każda z nich mieści się w przedziale od 5035 do 5110 — co stanowi rozrzut wynoszący ±0,7 % wokół średniej. Tymczasem objętość zmienia się pięciokrotnie, a ciśnienie o ten sam współczynnik w przeciwnym kierunku. Wielkość, która pozostaje niezmienna z dokładnością do jednego procenta, podczas gdy jej dwa składniki zmieniają się o 500 % każdy, nie pozostaje niezmienna przez przypadek. Jest to prawo Boyle’a:

P × V = stała (w stałej temperaturze i dla stałej ilości gazu)

lub porównując dowolne dwa stany tej samej próbki, P₁V₁ = P₂V₂. Dla sprawdzenia weźmy pierwszy i ostatni rząd: 51 × 100 = 5100 oraz 254 × 20 = 5080. Oba wyniki zgadzają się z dokładnością do 0,4 %, przy największym rozstawie, na jaki pozwala urządzenie.

Dwa wykresy i dlaczego drugi z nich ma znaczenie. Wykreślenie ciśnienia w funkcji objętości daje krzywą, która stromo opada przy małych objętościach i spłaszcza się ku dużym – hiperbolę. To właściwy kształt, ale krzywa jest słabym dowodem: wiele funkcji malejących wygląda tak na oko i żadnej z nich nie da się odróżnić od innych bez dużej staranności.

Wykres ciśnienia względem wzajemny objętości przekształca roszczenie w prostą. Jeśli P = stała / V, a następnie P wykreślone względem 1/V jest prostą o nachyleniu równym tej stałej, przechodzącą przez początek układu współrzędnych. Oba warunki mają znaczenie i każdy niesie ze sobą własne znaczenie:

• Ten nachylenie jest samą stałą. Odczytaj te dane, chodzi o około 5,08 × 10³ kPa·mL — taka sama liczba jak średnia z czwartej kolumny, uzyskana niezależnie.
• Ten przechwycić powinno wynosić zero. Nieskończona objętość oznaczałaby ciśnienie zerowe. Linia, która nie przechodzi przez początek układu współrzędnych, wskazuje na aparaturę — patrz uwaga dotycząca objętości martwej poniżej — a nie na nieskuteczność prawa.

Prostą linię ocenić znacznie łatiej niż krzywą, i taka jest ogólna nauka: gdy podejrzewa się istnienie zależności, należy znaleźć zmienną, która czyni ją liniową, i wykres sporządzić dla niej. Fizyka pełna jest takich przykładów — okres w funkcji pierwiastka kwadratowego długości dla wahadła, prąd w funkcji napięcia dla opornika.

Dlaczego produkt pozostaje niezmieniony. Ciśnienie to skumulowany efekt uderzeń cząsteczek gazu w ściany: każde uderzenie przekazuje mały impuls, a ciśnienie to całkowity impuls na sekundę na jednostkę powierzchni. Zmniejsz objętość o połowę, a ta sama liczba cząsteczek znajdzie się w połowie przestrzeni, więc każda z nich uderza w ścianę dwa razy częściej. Nic w poszczególnych zderzeniach się nie zmienia — cząsteczkom nie przybywa prędkości, ponieważ temperatura się nie zmieniła, a ich średnia prędkość zależy wyłącznie od temperatury. Zmienia się jedynie częstotliwość zderzeń i zmienia się ona w dokładnej proporcji do zagęszczenia. Dwukrotnie większa gęstość cząsteczek oznacza dwukrotnie większe ciśnienie.

To pokazuje również, dlaczego prawo wymaga dwóch warunków. Stała temperatura, ponieważ podgrzewanie gazu sprawiłoby, że cząsteczki poruszałyby się szybciej, a każde uderzenie byłoby silniejsze, co zwiększyłoby ciśnienie bez żadnej zmiany objętości. Stała ilość gazu, ponieważ nieszczelność usuwa cząsteczki i zmniejsza częstość zderzeń. Strzykawka, która powoli przecieka, wytwarza produkt, który przesuwa się w dół w trakcie przebiegu, zamiast rozpraszać się losowo wokół średniej – po czym odróżnia się nieszczelność od zwykłego błędu odczytu.

Tam i z powrotem: bieg ma charakter dwukierunkowy. Protokół nie przemiata objętości tylko raz. Zmienia się ona od 50 mL do 100 mL, wraca do 50, kompresuje do 20 mL, a następnie ponownie wraca do 50. Każda objętość jest więc odwiedzana co najmniej dwa razy, przy czym ciśnienie w każdej z nich odczytywane jest tak samo w drodze powrotnej, jak i w tamtą – 85 kPa przy 60 mL w obu kierunkach, 127 kPa przy 40 mL w obu kierunkach, 102 kPa przy 50 mL podczas wszystkich czterech wizyt.

Warto zwrócić uwagę uczniów na tę powtarzalność, ponieważ wykonuje ona realną pracę. Pokazuje ona, że gaz powraca dokładnie do swojego dawnego stanu, więc nic nie zostało utracone i nic nie uległo trwałemu zmianom: uszczelnienie wytrzymało, a wszelkie ciepło wygenerowane przez sprężanie zdążyło ulecieć. Ślad, który nie powtarzać sam siebie — wyższe ciśnienia podczas sprężania niż podczas rozprężania przy tej samej objętości — wskazywałoby na nieszczelność lub na gaz, który nie powrócił do temperatury pokojowej. Żadne z tych zjawisk tutaj nie występuje, co upoważnia do potraktowania całego pomiaru jako jednego izotermicznego zbioru danych, a nie jako dwóch oddzielnych eksperymentów.

Ile gazu jest w strzykawce?. Stała to nie tylko liczba, która tak po prostu stoi w miejscu – to jest nRT. Z równania stanu gazu doskonałego PV = nRT, oraz 5,08 × 10³ kPa·mL wynosi 5,08 J, więc w temperaturze 20 °C:

n = PV / RT = 5,08 / (8,314 × 293) = 2,1 × 10⁻³ mol

około 2,1 milimola, czyli w przybliżeniu 60 mg powietrza — jakieś 1,3 × 10²¹ cząsteczki. Uczeń, który osiąga tę liczbę, zrobił coś więcej niż tylko potwierdził proporcjonalność: policzył cząsteczki w strzykawce na podstawie dwóch odczytów z tarczy, co jest rzetelną demonstracją tego, do czego służy prawo fizyki.

Ciśnienie względne a ciśnienie absolutne. Urządzenie w tym laboratorium raportuje absolutny ciśnienie – ciśnienie mierzone względem absolutnej próżni – i prawo Boyle’a nie wymaga niczego mniej. Odczyt 102 kPa przy 50 mL jest tego potwierdzeniem: tłok pozostaje w spoczynku, więc uwięziony gaz znajduje się pod ciśnieniem atmosferycznym, a 102 kPa to ciśnienie atmosferyczne. Manometr wskazujący ciśnienie względem otoczenia pokazałby w tym miejscu 0 kPa, a jego odczyty nie spełniałby żadnego prostego prawa. Jeśli uczeń kiedykolwiek pracuje z przyrządem pomiarowym, do każdego odczytu należy dodać ciśnienie atmosferyczne, zanim zostanie obliczony iloczyn.

Dlaczego nie wolno spieszyć się z odczytami. Sprężanie gazu wykonuje pracę nad nim i powoduje jego ogrzanie; pozwolenie mu na rozprężenie powoduje jego ochłodzenie. Szybkie wciśnięcie tłoka z 50 ml do 20 ml sprawia, że gaz znajduje się na chwilę znacznie powyżej temperatury pokojowej, w związku z czym ciśnienie wskazuje wysoką wartość; wartość ta spada następnie w ciągu kilku sekund wraz z przechodzeniem ciepła przez ściankę strzykawki. Prawo zakłada stałą temperaturę, więc każdy odczyt musi być dokonany po ustaleniu się stanu gazu. Pośpiech przy suwach sprężania i brak pośpiechu przy suwach rozprężania to coś, co wywołuje pozorną różnicę między tymi dwoma kierunkami, podczas gdy taka różnica nie istnieje.

Objętość martwa i jak ją wykryć. Gaz w aparaturze to nie tylko gaz przed podziałkami: niewielka jego ilość znajduje się w łączniku i samym manometrze. Jeśli ta objętość szkodliwa V₀, rzeczywista objętość wynosi V + V₀ a stała staje się P(V + V₀Opieranie się wyłącznie na wskazaniach skali powoduje wówczas, że wynik produktu przesuwa się w górę wraz ze zmniejszaniem objętości, ponieważ stała dodatkowa objętość ma znacznie większe znaczenie przy 20 mL niż przy 100 mL. Wykres odwrotności wyraźnie to ujawnia: objętość martwa odsuwa prostą od początku układu współrzędnych. Dane te nie wykazują takiego przesunięcia – wyniki dla 20 i 100 mL są zgodne w granicach rozrzutu – więc każda objętość martwa jest mała w porównaniu z najmniejszą użytą objętością.

Podsumowanie zadania według zakresu ocen

Klasy 9–10

Skup się. Obserwacja i słownictwo. Uczniowie dowiadują się, że gaz można sprężyć, że do uzyskania sensownego pomiaru wymagany jest układ zamknięty oraz że ciśnienie i objętość poruszają się w przeciwnych kierunkach.

• Zamknij 50 ml powietrza, wykonaj odczyty przy 100, 80, 60, 40 i 20 ml oraz opisz słownie, co dzieje się z ciśnieniem.
• Szkicuj ciśnienie w funkcji objętości odręcznie i nazwij tę krzywą opadającą, która nigdy nie osiąga zera.
• Odpowiedz na pytanie jakościowe: jaki byłby odczyt przy 25 ml — większy czy mniejszy niż przy 40 ml i o ile mniej więcej?
• Użyj testu powrotu do 50 ml i powiedz, co oznaczałaby niezgodność.

Klasa 11

Skup się. Traktowanie ilościowe. Studenci biorą udział w całej serii, obliczają iloczyn P × V i sprawdzają twierdzenie o stałości numerycznie, a nie "na oko".

• Zarejestruj wszystkie pięć zmierzonych objętości, sporządź tabelę zawierającą V, 1/V, P oraz P × V i skomentuj rozrzut w ostatniej kolumnie.
• Wykreśl $P$ w funkcji $1/V$, poprowadź najlepszą prostą i wyznacz jej nachylenie; porównaj nachylenie z $P$₁V₁ = 101,3 kPa × 50 mL.
• Użyj P₁V₁ = P₂V₂ przewidzieć ciśnienie przy niezmierzonej objętości, a następnie je zmierzyć.
• Wyjaśnij, dlaczego manometr musi wskazywać ciśnienie bezwzględne, i pokaż, jak wygląda wykres, jeśli tak nie jest.

Klasa 12 / Poziom akademicki

Skup się. Wyprowadzenie, analiza błędów i niezależna interpretacja. Oczekuje się, że studenci powiążą prawo makroskopowe z równaniem stanu gazu doskonałego oraz z teorią kinetyczną, a także oszacują ograniczenia eksperymentu.

• Wyprowadzenie P ∝ 1/V z równania PV = nRT oraz z P = (1/3)(N/V)m〈v²〉², i określ, jakie założenia poczyniono w każdym wyprowadzeniu.
• Oblicz n dla uszczelnionej próbki i przelicz je na masę powietrza oraz liczbę cząsteczek.
• Przeanalizuj objętość martwą ilościowo: dopasuj 1/P względem V, wyznacz punkt przecięcia i podaj wartość V_d To sugeruje.
• Porównaj przewidywania izotermiczne i adiabatyczne dla sprężania od 50 ml do 25 ml i wyjaśnij, pod kątem energetycznym, dlaczego ciśnienie adiabatyczne jest wyższe z tych dwóch.

Podstawowe wyposażenie laboratorium

Instrumenty

• Strzykawka wyskalowana, 100 ml, podziałka co 1 ml
• Manometr tarczowy, 0–1000 kPa, odczyt w kPa
• Szczelne połączenie strzykawki z manometrem

Produkty

• Powietrze — 50 mL powietrza pokojowego, zamkniętego w strzykawce pod ciśnieniem atmosferycznym