086 – Il funzionamento di un paranco

Un paranco è un sistema di carrucole: una corda fatta passare avanti e indietro tra un bozzello fisso e uno mobile, in modo che il carico sia sospeso a diversi trefoli contemporaneamente anziché a una singola corda. Le gru nei cantieri edili, i sistemi di graticcia teatrali, le scotte della randa delle barche a vela e i sollevatori per motori da garage sono tutti la stessa macchina e tutti esistono per lo stesso motivo: una persona può tirare con forza per un breve periodo, ma non può assolutamente tirare con una forza di diverse centinaia di newton.

Il principio è che il peso del carico è diviso equamente tra i trefoli che sostengono il bozzello mobile. Con cinque trefoli di questo tipo, ciascuno sostiene un quinto del peso e, poiché l'estremità libera della corda è semplicemente l'ultimo di quei trefoli, la mano tira con una forza pari a un quinto. Non si ottiene nulla per nulla: per sollevare il carico di 20 cm, ciascuno dei cinque trefoli deve accorciarsi di 20 cm, quindi bisogna tirare un intero metro di corda. La macchina moltiplica la forza e divide la distanza, e il prodotto delle due — il lavoro — è ciò che essa non può cambiare. Quello che un paranco reale può fare è perdere parte di quel lavoro a causa dell'attrito nei perni e del peso del bozzello mobile che deve sollevare insieme al carico, e la frazione che sopravvive è la sua efficienza.

In questo laboratorio appenderai un peso di 1 N a un paranco a cinque tiri, tirerai un dinamometro finché il carico non sale a velocità costante e leggerai la forza richiesta. Ripeterai la misurazione altre otto volte, aggiungendo un newton ogni volta fino a 9 N, e per ogni prova calcolterai il rapporto tra il carico e la forza di trazione. La seconda legge di Newton applicata al carico a velocità costante fornisce quindi la relazione tra il peso e la tensione della corda, e confrontando il lavoro immesso con l'energia potenziale guadagnata dal carico si ottiene l'efficienza della macchina.

Obiettivi Educativi

Comprendere come un paranco moltiplica la forza

• Conta i tiri che sostengono la carica mobile e prevedi, prima di misurare qualsiasi cosa, che la forza di trazione sarà il carico diviso per quel numero.
• Il vantaggio meccanico ideale è il conteggio dei tiri di corda e non una proprietà delle carrucole stesse perché dipende esclusivamente da quante sezioni di corda sostengono direttamente il carico, dividendo la forza applicata, mentre l'attrito e il materiale delle carrucole influenzano solo il vantaggio meccanico effettivo.

Applicazione delle leggi di Newton a un sistema in equilibrio

• Disegna il diagramma delle forze del blocco mobile e scrivi ΣF = 0 per un carico che sale a velocità costante, ottenendo F_g = 5T con T pari alla forza applicata.
• Riconoscere che la “velocità costante” è la condizione che rende l'analisi un problema di statica, e che uno scatto (jerk) all'inizio è un problema diverso e più difficile.

Misurazione della forza e dello spostamento

• Usa un dinamometro per leggere una forza di trazione costante mantenendo il movimento uniforme e valuta la lettura in base alla precisione dichiarata dello strumento anziché alle sue cifre stampate.
• Misura la lunghezza della fune tirata rispetto all'altezza guadagnata dal carico e usa il loro rapporto come controllo indipendente sul numero di trefoli.

Lavoro, energia e rendimento

• Calcola il lavoro immesso come W = FΔx e l'energia potenziale acquisita come E_p = F_gΔy, e identificare tale differenza come lavoro perso all’interno della macchina.
• Esprimere l'efficienza in due modi equivalenti — come E_p/W e come rapporto tra il vantaggio meccanico effettivo e quello ideale — e dimostrare che si tratta della stessa grandezza.

Interpretare una tendenza attraverso una serie di carichi

• Tracciare il grafico della forza misurata in funzione del carico per tutte e nove le prove e interpretare sia la pendenza che l'intercetta; quest'ultima rappresenta il costo fisso che la macchina sostiene indipendentemente dal carico.
• Decidi dai dati se le perdite sono proporzionali al carico o fisse, e spiega cosa ciascun caso implica per l'efficienza di una gru fortemente caricata.

Il collegamento della macchina ai suoi utilizzi

• Collega il numero di trefoli ad attrezzature reali — una linea a contrappeso teatrale, un bozzello per gru, un paranco per il recupero di veicoli — e spiega il compromesso tra la forza risparmiata e la fune che deve essere tirata.

Protocollo

1. Sospendere un peso di 1 N dall'insieme di carrucole mobili (anello nero).
2. Portare una mano all'estremità del dinamometro per tirare il gancio; questo avrà l'effetto di sollevare il carico a velocità costante.
3. La forza indicata dal dinamometro è registrata nella tabella dei risultati.
4. Ripeti altre otto volte i passaggi 1 e 2 aumentando ogni volta il peso sospeso di 1 N.
5. Per ogni prova; calcolare il rapporto tra il peso del carico Fg e la forza motrice richiesta F.
6. Applica la seconda legge di Newton al carico per ottenere una relazione tra il peso e la tensione nella fune.
7. Calcola il lavoro meccanico svolto per sollevare il carico ad un'altezza di 20 cm a velocità costante.
8. Determina la quantità di energia potenziale acquisita dal carico.
9. Determinare l'efficienza energetica del paranco.

Risultati Previsti

Nove carichi, da 1 N a 9 N con incrementi di un newton, vengono sollevati uno dopo l’altro e la forza necessaria per sollevare ciascuno di essi a velocità costante viene rilevata dal dinamometro. L'andamento previsto è una linea retta: la forza richiesta aumenta in proporzione al carico, pari a circa un quinto del suo valore, poiché il peso è ripartito su cinque fili. Il laboratorio pubblica due delle nove prove, che vengono qui riportate come valori di riferimento insieme a tutto ciò che è possibile ricavarne.

Perché la corda viaggia cinque volte più lontano. Ciascuno dei cinque tiri che sostengono la tagliatela deve accorciarsi dell'altezza di sollevamento del carico. Sollevare il carico di Δy = 0,200 m richiede quindi Δx = 5 × 0,200 = 1,00 m di corda, e questo rapporto di spostamento è il vantaggio meccanico ideale espresso in un secondo modo: IMA = Δx/Δy = 5. Questo è il metodo più affidabile dei due per determinare il numero di tiri, poiché non comporta alcuna misurazione della forza: una classe che non sia sicura di quanti tiri abbia l'argano dovrebbe misurare la corda tirata per un sollevamento noto e dividere.

La condizione di equilibrio. Con il carico che sale a velocità costante non c'è accelerazione, quindi per il bozzello mobile e il suo carico ΣF = 0: le cinque tensioni dei rami rivolte verso l'alto bilanciano il peso insieme al peso del bozzello stesso, 5T = F_g + w_blocco. La corda è continua su carruagge senza attrito, quindi la tensione è la stessa ovunque lungo di essa ed è uguale alla forza esercitata dalla mano, T = F. Nel caso ideale, con un blocco senza peso e senza attrito, questo si riduce a F = F_g/5 — sostituendo il carico più pesante, F = 9,00/5 = 1,80 N, rispetto ai 2,02 N effettivamente necessari.

Vale la pena far notare agli studenti la coincidenza numerica in quella tabella anziché lasciarli confondere: la forza ideale in newton e l'energia potenziale in joule assumono gli stessi valori numerici, poiché la corda viene tirata esattamente di 1,00 m e moltiplicare per uno non cambia nulla. Cambiate l'altezza di sollevamento e la coincidenza scompare mentre la fisica no.

Cosa dicono le due prove misurate riguardo alle perdite. Sottraendo la forza ideale da quella misurata si ottiene il carico di lavoro della macchina. Al carico massimo, 5F − F_g = 5 × 2,02 − 9,00 = 1,10 N; nell’esempio con carico leggero, 5 × 0,40 − 2,00 = 0,00 N. Questi due risultati non possono descrivere entrambi la stessa macchina. Il peso del blocco mobile è una grandezza fissa che non tiene conto del peso del carico; pertanto, se esso e l’attrito dell’asse contribuiscono insieme per 1,10 N a 9 N, lo stesso valore di 1,10 N deve essere presente a 2 N, il che renderebbe la forza di trazione (2,00 + 1,10)/5 = 0,62 N e il rapporto 3,2 anziché 5,0. Il valore per il carico leggero, pari esattamente a 0,40 N, dà un rapporto esattamente pari a 5,00 e un’efficienza esattamente pari al 100 %, che nessuna macchina soggetta a massa o attrito può raggiungere.

In che direzione dovrebbe andare l'efficienza? Questa è la domanda a cui la serie di nove prove esiste per rispondere, e ha solo due risposte difendibili. Se la perdita dominante è il peso del blocco mobile, il sovraccarico è un numero costante di newton, l'efficienza è F_g/(F_g + w) e lo aumenta verso 100 % all’aumentare del carico — più il carico è pesante, meno incide il peso proprio della macchina. Se la perdita dominante è l’attrito sull’asse, che aumenta con la tensione della fune, il sovraccarico è una frazione costante e l’efficienza rimane costante per tutta la serie. Un paranco che diventa meno efficiente man mano che viene caricato più pesantemente non è ciò che prevede nessuno dei due meccanismi, quindi una tendenza al ribasso nei dati dovrebbe essere considerata come un risultato da approfondire piuttosto che come il risultato atteso. Il grafico da tracciare è quello della forza misurata in funzione del carico: la sua pendenza è pari a 1/(5η) nel caso proporzionale e la sua intercetta è pari a w/5 nel caso a perdita di carico fissa, e i nove punti determinano quale dei due casi si verifichi.

L'energia persa per sollevamento. Al carico massimo il lavoro immesso è di 2,02 J e il carico guadagna 1,80 J, quindi 0,22 J rimangono nella macchina, sotto forma di calore nei perni e come lavoro compiuto per sollevare il blocco mobile stesso. Nell'arco di cento sollevamenti si tratta di 22 J — pochi qui, ma la stessa aritmetica applicata a una gru che solleva una tonnellata per dieci metri immette quasi undici megajoule nel carico e più di un megajoule nel bozzello e nei suoi cuscinetti, motivo per cui i paranchi reali usano cuscinetti a sfere e la loro efficienza è una grandezza economica anziché accademica.

Riepilogo del compito per intervallo di voti

Classe 9-10

Concentrazione: vedere la riduzione della forza e descriverla correttamente. Gli studenti contano i trefoli che sostengono il bozzello mobile, prevedono la forza di trazione per ciascun carico prima di misurarla e completano la tabella di nove prove del carico in funzione della forza. Misurano la corda tirata per un sollevamento di 20 cm e scoprono che è un metro, il che dice loro che la macchina restituisce in distanza ciò che risparmia in forza. Le conclusioni attese: il paranco riduce la forza necessaria di circa cinque volte, non riduce lo sforzo nel senso del lavoro, e la forza misurata è sempre leggermente superiore a un quinto del carico anziché esattamente a un quinto. Vocabolario da usare correttamente: carico, tensione, vantaggio meccanico, lavoro, efficienza.

Undicesimo anno

Concentrazione: il trattamento quantitativo. Gli studenti scrivono ΣF = 0 per il blocco mobile, ricavano F_g = 5T, e calcola per ogni prova il rapporto F_g/F, il lavoro in W = FΔx, l'energia guadagnata E_p = F_gΔy e l'efficienza E_pTracciano la forza misurata in funzione del carico ed estraggono sia la pendenza sia l'intercetta, quindi verificano che l'efficienza ottenuta dalle energie corrisponda a quella ottenuta dal rapporto di forza diviso per cinque — sono algebricamente lo stesso numero, e ottenere due risposte diverse significa che c'è un errore di calcolo. La discussione di arrivo riguarda ciò che l'intercetta rappresenta fisicamente.

12ª classe / Livello universitario

Concentrazione: distinguendo i meccanismi di perdita e delimitando il risultato. Gli studenti modellano la macchina in due modi: overhead fisso, F = (F_g + w)/5, e perdita proporzionale, F = F_g/(5η) — adattarsi a entrambi i nove punti e decidere quale dei due i dati supportano. L'esercizio conclusivo consiste nel misurare direttamente il peso del blocco mobile e verificare se giustifica l'intercetta; in caso contrario, la parte rimanente è costituita dall'attrito e dalla rigidità della corda, e se ne può indicare l'intensità.

Materiale essenziale di laboratorio

Strumenti

• Paranco (paranco a cinque taglie, con bozzello mobile)
• Dinamometro
• Pesi, da 1 N a 9 N a passi di 1 N
• righello da 50 cm

Prodotti

Nessuno — questo laboratorio non utilizza alcun reagente chimico.