086 – El funcionament d'un polispast

Un polipast és un aparell de politges: una corda passada d'un costat a l'altre entre un bloc de politges fix i un de mòbil, de manera que la càrrega penja de diversos ramals alhora en lloc d'una sola corda. Les grues a les obres de construcció, els sistemes de telers de teatre, els escots de la vela major dels velers i els elevadors de motors de garatge són la mateixa màquina, i tots existeixen pel mateix motiu: una persona pot tirar amb força durant poc temps, però no pot tirar amb una força de diversos centenars de newtons de cap manera.

El principi és que el pes de la càrrega es reparteix a parts iguals entre els ramals que sostenen la politja mòbil. Amb cinc ramals d'aquests, cadascun suporta una cinquena part del pes, i com que l'extrem lliure de la corda és simplement l'últim d'aquests ramals, la mà només ha de tibar amb una cinquena part de la força. Res no s'aconsegueix a canvi de res: per aixecar la càrrega 20 cm, cadascun dels cinc ramals s'ha d'escurçar 20 cm, de manera que s'ha d'estirar un metre sencer de corda. La màquina multiplica la força i divideix la distància, i el producte de totes dues —el treball— és allò que no pot alterar. El que pot fer un polipast real és perdre una part d'aquest treball a causa de la fricció als eixos i al pes de la politja mòbil que ha d'aixecar juntament amb la càrrega, i la fracció que se salva és el seu rendiment.

En aquest laboratori penjareu un pes d'1 N d'un polipast de cinc ramals, estireu un dinamòmetre fins que la càrrega pugi a velocitat constant i llegireu la força requerida. Repetireu el mesurament vuit vegades més, afegint un newton cada vegada fins a arribar a 9 N, i per a cada prova calcularàreu la relació entre la càrrega i la força de tracció. La segona llei de Newton aplicada a la càrrega a velocitat constant dóna aleshores la relació entre el pes i la tensió de la corda, i comparant el treball que hi introduïu amb l'energia potencial que ha guanyat la càrrega s'obté l'eficiència de la màquina.

Objectius educatius

Comprendre com un aparell de politges multiplica la força

• Comteu els ramals que suporten la politja mòbil i prediu, abans de mesurar res, que la força de tracció serà la càrrega dividida per aquest nombre.
• L'avantatge mecànic ideal és un recompte de ramals i no pas una propietat de les politges mateixes perquè depèn exclusivament de com es distribueix la força de tracció entre els diferents segments de corda que suporten la càrrega, i no de la grandària, el material o el disseny de les politges, que només serveixen per canviar la direcció de la força i reduir la fricció.

Aplicar les lleis de Newton a un sistema en equilibri

• Dibuixeu el diagrama de cos lliure del bloc mòbil i escriviu ΣF = 0 per a una càrrega que puja a velocitat constant, obtenint F_g = 5T amb T igual a la força aplicada.
• Reconeixeu que la “velocitat constant” és la condició que fa que l'anàlisi sigui un problema d'estàtica, i que una sotragada a l'inici és un problema diferent i més difícil.

Mesura de la força i el desplaçament

• Utilitzeu un dinamòmetre per llegir una força de tracció constant mentre manteniu el moviment uniforme, i valoreu la lectura en funció de la precisió declarada de l'instrument en lloc dels seus dígits impresos.
• Mesureu la longitud de corda recollida en relació amb l'alçada guanyada per la càrrega, i feu servir la seva proporció com a comprovació independent del nombre de cordons.

Treball, energia i eficiència

• Calculeu el treball realitzat com a W = FΔx i l'energia potencial guanyada com a E_p = F_gΔy, i identifiqueu la diferència com a treball perdut dins de la màquina.
• Expresseu l'eficiència de dues maneres equivalents — com a E_p/W i com la relació entre el avantatge mecànic real i l'ideal — i demostrar que són la mateixa quantitat.

Interpretació d'una tendència al llarg d'una sèrie de càrregues

• Representeu gràficament la força mesurada en funció de la càrrega per a les nou proves i interpreteu tant el pendent com l'ordenada a l'origen, la segona de les quals és el marge que la màquina suporta independentment de la càrrega.
• Decidiu a partir de les dades si les pèrdues escalen amb la càrrega o són fixes, i expliqueu què implica cada cas per a l'eficiència d'una grua fortament carregada.

Connectant la màquina als seus usos

• Relacioneu el nombre de ramals amb equipament real —una línia de contrapès de teatre, un aparell de grua, un sistema de rescat de vehicles— i expliqueu el compromís entre la força estalviada i la corda que s'ha de traginar.

Protocol

1. Penja un pes de 1 N del conjunt de politges mòbils (anell negre).
2. Porta una mà al final del dinamòmetre per estirar el ganxo, cosa que tindrà l'efecte d'aixecar la càrrega a velocitat constant.
3. La força indicada pel dinamòmetre es registra a la taula de resultats.
4. Repetiu vuit vegades més els passos 1 i 2, augmentant cada vegada el pes suspès en 1 N.
5. Per a cada prova; calcula la relació entre el pes de la càrrega Fg i la força motriu requerida F.
6. Aplica la segona llei de Newton a la càrrega per obtenir una relació entre el pes i la tensió de la corda.
7. Calculeu el treball mecànic que es va fer per elevar la càrrega a una alçada de 20 cm a velocitat constant.
8. Determineu la quantitat d'energia potencial adquirida per la càrrega.
9. Determinar l'eficiència energètica de l'aparell d'elevació.

Resultats previstos

Nou càrregues, de 1 N a 9 N en passos d'un newton, s'alcen successivament i la força necessària per pujar cadascuna a velocitat constant es llegeix al dinamòmetre. El patró esperat és una línia recta: la força requerida augmenta en proporció a la càrrega, a aproximadament una cinquena part del seu valor, perquè cinc ramals comparteixen el pes. El laboratori publica dos dels nou assaigs, i es reprodueixen aquí com a valors registrats juntament amb tot allò que se'n pot derivar.

Per què la corda viatja cinc vegades més lluny. Cada un dels cinc ramals que sostenen el bloc mòbil s'ha d'escurçar segons l'alçada que puja la càrrega. Per tant, enlairar la càrrega un desplaçament $\Delta y = 0,200\text{ m}$ requereix $\Delta x = 5 \times 0,200 = 1,00\text{ m}$ de corda, i aquesta relació de desplaçaments és l'avantatge mecànic ideal expressat d'una altra manera: $\text{IMA} = \Delta x / \Delta y = 5$. Aquesta és la més fiable de les dues maneres d'establir el nombre de ramals, perquè no implica cap mesura de força —una classe que no estigui segura de quants ramals té el polipast hauria de mesurar la corda recollida per a una elevació coneguda i dividir-la.

La condició d'equilibri. Amb la càrrega pujant a velocitat constant no hi ha acceleració, de manera que per al bloc mòbil i la seva càrrega ΣF = 0: les cinc tensions dels ramals cap amunt equilibren el pes juntament amb el pes propi del bloc, 5T = F_g + w_bloc. La corda és contínua sobre politges sense fricció, de manera que la tensió és la mateixa a tot arreu al llarg d'ella i és igual a la força a la mà, T = F. En el cas ideal, amb un bloc sense pes i sense fricció, això es redueix a F = F_g/5 — substituint la càrrega més pesada, F = 9,00/5 = 1,80 N, en lloc dels 2,02 N necessaris realment.

Val la pena assenyalar als estudiants la coincidència numèrica d'aquesta taula en lloc de deixar que els confongui: la força ideal en newtons i l'energia potencial en joules prenen els mateixos nombres, perquè la corda s'estira exactament 1,00 m i multiplicar per un no canvia res. Canvieu l'alçada d'elevació i la coincidència desapareix mentre que la física no.

Què diuen els dos assaigs mesurats sobre les pèrdues. Restant la força ideal de la mesurada s'obté el marge de la màquina. A la càrrega més pesada, 5F − F_g = 5 × 2.02 − 9.00 = 1.10 N; en l'exemple de càrrega lleugera, 5 × 0.40 − 2.00 = 0.00 N. Aquests dos resultats no poden descriure la mateixa màquina. El pes del bloc mòbil és una quantitat fixa que no depèn de la pesadesa de la càrrega, així que si aquest i la fricció de l'eix junts compensen 1,10 N a 9 N, el mateix 1.10 N han d'estar presents a 2 N, la qual cosa faria que la força de tracció fos (2,00 + 1,10)/5 = 0,62 N i la relació 3,2 en lloc de 5,0. El valor de la càrrega lleugera d'exactament 0,40 N dona una relació d'exactament 5,00 i una eficiència d'exactament 100 %, que cap màquina amb massa o fricció pot assolir.

Cap a quina banda ha d'anar l'eficiència? Aquesta és la pregunta que la sèrie de nou proves existeix per respondre, i té només dues respostes defensables. Si la pèrdua dominant és el pes del bloc mòbil, el marge de benefici és un nombre constant de newtons, l'eficiència és F_g/(F_g + w) i s'eleva cap a 100 % a mesura que augmenta la càrrega — com més pesada és la càrrega, menys importa el pes propi de la màquina. Si la pèrdua dominant és la fricció de l'eix, que creix amb la tensió de la corda, la pèrdua addicional és una fracció constant i l'eficiència és plana al llarg de la sèrie. Un politge que esdevé menys eficient com més pes es carrega no és el que prediu cap dels dos mecanismes, de manera que una tendència a la baixa en les dades s'hauria de considerar com un resultat que cal investigar en lloc de com el resultat esperat. El gràfic que cal traçar és el de la força mesurada en funció de la càrrega: la seva pendent és 1/(5η) per al cas proporcional i la seva ordenada en l'eix de les abscisses és w/5 per al cas de politja superior fixa, i els nou punts decideixen entre ambdós casos.

L'energia perduda per aixecament. A la càrrega més pesada, el treball efectuat és de 2,02 J i la càrrega guanya 1,80 J, de manera que 0,22 J es queden a la màquina, com a calor als eixos i com a treball fet en hissar el bloc mòbil mateix. Al llarg de cent aixecaments, això són 22 J —petit aquí, però la mateixa aritmètica aplicada a una grua que hissa una tonada deu metres amunt injecta gairebé onze megajoule a la càrrega i més d'un megajoule al bloc i als seus coixinets, la qual cosa explica per què els polipastos reals utilitzen rodaments de boles i per què la seva eficiència és una magnitud econòmica més que no pas acadèmica.

Resum de tasques per rang de qualificació

De 9è a 10è grau

Enfocament veient la reducció de força i descrivint-la correctament. Els estudiants compten els ramals que subjecten el bloc mòbil, prediuen la força de tracció per a cada càrrega abans de mesurar-la, i omple la taula de nou assajos de càrrega en funció de la força. Mesuren la corda estirada per a una elevació de 20 cm i troben que és d'un metre, la qual cosa els indica que la màquina compensa en distància el que estalvia en força. Les conclusions esperades: el polipast redueix la força necessària unes cinc vegades, no redueix l'esforç en el sentit del treball, i la força mesurada és sempre una mica superior a una cinquena part de la càrrega en lloc de ser exactament una cinquena part. Vocabulari que s'ha d'utilitzar correctament: càrrega, tensió, avantatge mecànic, treball, eficiència.

11è curs

Enfocament el tractament quantitatiu. Els estudiants escriuen ΣF = 0 per al bloc mòbil, dedueixen F_g = 5T, i calculeu per a cada prova la ràtio F_g/F, el treball a W = FΔx, l'energia guanyada E_p = F_gΔy i l'eficiència E_pRepresenten gràficament la força mesurada en funció de la càrrega i n'extreuen tant el pendent com l'ordenada a l'origen; després comproven que l'eficiència obtinguda a partir de les energies coincideix amb la obtinguda a partir de la relació de forces dividida per cinc —són algebraicament el mateix nombre, i obtenir dues respostes diferents significa una errada aritmètica. La discussió objectiu tracta de què representa físicament l'ordenada a l'origen.

12è curs / Nivell universitari

Enfocament distinguint els mecanismes de pèrdua i fitant el resultat. Els estudiants modelen la màquina de dues maneres: cost general fix, F = (F_g + w)/5, i pèrdua proporcional, F = F_g/(5η) — ajustar-se als nou punts i decidir quins d'ells recolzen les dades. L'exercici final consisteix a mesurar directament el pes del bloc mòbil i comprovar si justifica l'ordenada a l'origen; si no ho fa, la resta és la fricció i la rigidesa de la corda, i se'n pot indicar la magnitud.

Equipament de laboratori

Instruments

• Polipast (aparell de cinc cordes, amb politja mòbil)
• Dinamòmetre
• Pesos, d'1 N a 9 N en passos d'1 N
• Regle de 50 cm

Productes

Cap — aquest laboratori no utilitza cap reactiu químic.