086 – El funcionamiento de una grúa polipasto

Un polipasto es un aparejo: una cuerda pasada de un lado a otro entre un bloque de poleas fijo y uno móvil, de modo que la carga cuelga de varios ramales a la vez en lugar de una sola cuerda. Las grúas en las obras de construcción, los sistemas de tramoya teatral, las escotas de los veleros y los elevadores de motores de garaje son la misma máquina, y todas existen por la misma razón: una persona puede tirar con fuerza durante poco tiempo pero no puede tirar con una fuerza de varios cientos de newtons en absoluto.

El principio es que el peso de la carga se comparte por igual entre los ramales que sostienen el bloque móvil. Con cinco ramales de este tipo, cada uno soporta una quinta parte del peso, y dado que el extremo libre de la cuerda es simplemente el último de esos ramales, la mano tira con solo una quinta parte de la fuerza. Nada se consigue a cambio de nada: para elevar la carga 20 cm, cada uno de los cinco ramales debe acortarse 20 cm, por lo que se debe tirar de un metro entero de cuerda. La máquina multiplica la fuerza y divide la distancia, y el producto de ambas —el trabajo— es lo que no puede cambiar. Lo que un mecanismo real puede hacer es perder algo de ese trabajo debido a la fricción en los ejes y al peso del bloque móvil que debe levantar junto con la carga, y la fracción que sobrevive es su eficiencia.

En este laboratorio colgará un peso de 1 N de un aparejo de cinco ramales, tirará de un dinamómetro hasta que la carga ascienda a velocidad constante y leerá la fuerza requerida. Repetirá la medición ocho veces más, añadiendo un newton cada vez hasta llegar a 9 N, y para cada ensayo calculará la relación entre la carga y la fuerza de tracción. La segunda ley de Newton aplicada a la carga a velocidad constante da entonces la relación entre el peso y la tensión de la cuerda, y al comparar el trabajo que usted realiza con la energía potencial que gana la carga se obtiene la eficiencia de la máquina.

Objetivos Educativos

Comprender cómo un aparejo de poleas multiplica la fuerza

• Cuenta los ramales que sostienen el bloque móvil y predice, antes de medir nada, que la fuerza de tracción será la carga dividida por ese número.
• La ventaja mecánica ideal es un recuento de ramales y no una propiedad de las poleas en sí, porque se deriva exclusivamente de la conservación de la energía y de la geometría de cómo el cable o cuerda sostiene la carga, asumiendo un sistema sin fricción. Cada ramal de cuerda que soporta directamente el bloque móvil comparte la carga total por igual. Por lo tanto, el factor por el cual se multiplica la fuerza de entrada depende únicamente del número de segmentos de cuerda que tiran de la carga, mientras que el tamaño, el material o el funcionamiento interno de las poleas individuales solo sirven para guiar la cuerda y reducir la fricción, sin alterar esa relación matemática fundamental.

Aplicar las leyes de Newton a un sistema en equilibrio

• Dibuje el diagrama de cuerpo libre del bloque móvil y escriba ΣF = 0 para una carga que sube a velocidad constante, obteniendo F_g = 5T con T igual a la fuerza aplicada.
• Reconoce que la “velocidad constante” es la condición que hace que el análisis sea un problema de estática, y que un tirón al principio es un problema diferente y más difícil.

Medición de fuerza y desplazamiento

• Use un dinamómetro para leer una fuerza de tracción constante mientras mantiene el movimiento uniforme, y juzgue la lectura en función de la precisión declarada del instrumento en lugar de sus dígitos impresos.
• Mida la longitud de la cuerda recogida en relación con la altura ganada por la carga, y use su proporción como una comprobación independiente del recuento de ramales.

Trabajo, energía y eficiencia

• Calcula el trabajo realizado como W = FΔx y la energía potencial ganada como E_p = F_gΔy, e identificar esa diferencia como el trabajo perdido dentro de la máquina.
• Expresa la eficiencia de dos maneras equivalentes: como E_p/W y como la relación entre la ventaja mecánica real y la ideal, y demostrar que se trata de la misma magnitud.

Interpretación de una tendencia a lo largo de una serie de cargas

• Grafique la fuerza medida frente a la carga para las nueve pruebas e interprete tanto la pendiente como la ordenada en el origen, la segunda de las cuales es la carga que la máquina soporta independientemente de la carga.
• Decida a partir de los datos si las pérdidas varían con la carga o son fijas, y explique qué implica cada caso para la eficiencia de una grúa con mucha carga.

Conectando la máquina a sus usos

• Relaciona el número de ramales con un equipo real —una línea de contrapeso de teatro, un aparejo de grúa, un sistema de recuperación de vehículos— y explica la compensación entre la fuerza ahorrada y la cuerda que debe recogerse.

Protocolo

1. Suspenda un peso de 1 N del conjunto de poleas móviles (anillo negro).
2. Traiga una mano al extremo del dinamómetro para tirar del gancho; lo que tendrá el efecto de levantar la carga a una velocidad constante.
3. La fuerza indicada por el dinamómetro se registra en la tabla de resultados.
4. Repita ocho veces más los pasos 1 y 2, aumentando cada vez el peso suspendido en 1 N.
5. Para cada prueba; calcule la relación entre el peso de la carga Fg y la fuerza motriz requerida F.
6. Aplica la segunda ley de Newton a la carga con el fin de obtener una relación entre el peso y la tensión en la cuerda.
7. Calcule el trabajo mecánico realizado para levantar la carga a una altura de 20 cm a velocidad constante.
8. Determina la cantidad de energía potencial adquirida por la carga.
9. Determine la eficiencia energética del polipasto.

Resultados esperados

Nueve cargas, de 1 N a 9 N en intervalos de un newton, se levantan sucesivamente y la fuerza necesaria para elevar cada una a velocidad constante se lee en el dinamómetro. El patrón esperado es una línea recta: la fuerza requerida aumenta en proporción a la carga, a aproximadamente una quinta parte de su valor, porque cinco ramales comparten el peso. El laboratorio publica dos de las nueve pruebas, y se reproducen aquí como los valores de registro junto con todo lo que se puede derivar de ellos.

Por qué la cuerda recorre cinco veces más distancia. Cada uno de los cinco ramales que sostienen el bloque móvil debe acortarse en la altura que se eleva la carga. Por lo tanto, elevar la carga en Δy = 0,200 m requiere Δx = 5 × 0,200 = 1,00 m de cuerda, y esa relación de desplazamiento es la ventaja mecánica ideal expresada de una segunda manera: IMA = Δx/Δy = 5. Esta es la más confiable de las dos formas de determinar el recuento de ramales, ya que no implica ninguna medición de fuerza; una clase que no esté segura de cuántos ramales tiene el polipasto debe medir la cuerda recogida para una elevación conocida y dividir.

La condición de equilibrio. Con la carga subiendo a velocidad constante no hay aceleración, por lo que para el bloque móvil y su carga ΣF = 0: las cinco tensiones de los ramales hacia arriba equilibran el peso junto con el peso propio del bloque, 5T = F_g + w_bloque. La cuerda es continua sobre poleas sin fricción, por lo que la tensión es la misma en todas partes a lo largo de ella e igual a la fuerza en la mano, T = F. En el caso ideal, con un bloque sin peso y sin fricción, esto se reduce a F = F_g/5 — sustituyendo la carga más pesada, F = 9.00/5 = 1.80 N, frente a los 2.02 N realmente necesarios.

Vale la pena señalar a los estudiantes la coincidencia numérica de esa tabla en lugar de dejar que los confunda: la fuerza ideal en newtons y la energía potencial en julios toman los mismos números, porque la cuerda se retrae exactamente 1,00 m y multiplicar por uno no cambia nada. Cambie la altura de elevación y la coincidencia desaparecerá mientras que la física no lo hará.

Lo que dicen los dos ensayos medidos sobre las pérdidas. Restar la fuerza ideal de la medida da el consumo general de la máquina. Con la carga más pesada, 5F − F_g = 5 × 2,02 − 9,00 = 1,10 N; en el ejemplo de carga ligera, 5 × 0,40 − 2,00 = 0,00 N. Esos dos resultados no pueden corresponder a la misma máquina. El peso del bloque móvil es una magnitud fija que no depende del peso de la carga, por lo que, si este y la fricción del eje suman 1,10 N con una carga de 9 N, los mismos 1,10 N debe estar presente con 2 N, lo que haría que la fuerza de tracción fuera (2,00 + 1,10)/5 = 0,62 N y la relación 3,2 en lugar de 5,0. La cifra correspondiente a la carga ligera, exactamente 0,40 N, da una relación de exactamente 5,00 y una eficiencia de exactamente 100 %, algo que ninguna máquina con masa o fricción puede alcanzar.

¿En qué dirección debe ir la eficiencia? Esta es la pregunta que la serie de nueve ensayos existe para responder, y tiene solo dos respuestas defendibles. Si la pérdida dominante es el peso del bloque móvil, el costo operativo es un número constante de newtons, la eficiencia es F_g/(F_g + w) y él aumenta hacia 100 % a medida que aumenta la carga: cuanto más pesada es la carga, menos influye el peso propio de la máquina. Si la pérdida dominante es la fricción del eje, que aumenta con la tensión del cable, la pérdida por fricción es una fracción constante y el rendimiento se mantiene estable en toda la serie. Un polipasto que pierde eficiencia a medida que se le aplica una carga mayor no es lo que predice ninguno de los dos mecanismos, por lo que una tendencia a la baja en los datos debería considerarse un hallazgo que hay que investigar, más que el resultado esperado. El gráfico que hay que trazar es el de la fuerza medida frente a la carga: su pendiente es 1/(5η) para el caso proporcional y su ordenada en el origen es w/5 para el caso de gastos generales fijos, y los nueve puntos permiten decidir entre ambos.

La energía perdida por levantamiento. Con la carga más pesada, el trabajo realizado es de 2,02 J y la carga gana 1,80 J, por lo que 0,22 J permanecen en la máquina, en forma de calor en los ejes y como trabajo realizado para elevar el propio bloque móvil. A lo largo de cien levantamientos, eso son 22 J —poco aquí, pero la misma aritmética aplicada a una grúa que eleva una tonelada a diez metros introduce casi once megajulios en la carga y más de un megajulio en el bloque y sus cojinetes, razón por la cual los polipastos reales utilizan rodamientos de bolas y por la que su eficiencia es una magnitud económica más que académica.

Resumen de la asignación por rango de calificación

Grados 9–10

Enfoque: viendo la reducción de fuerza y describiéndola correctamente. Los estudiantes cuentan los hilos que sostienen el bloque móvil, predicen la fuerza de tracción para cada carga antes de medirla y completan la tabla de nueve ensayos de carga frente a fuerza. Miden la cuerda tirada para una elevación de 20 cm y descubren que es un metro, lo que les indica que la máquina devuelve en distancia lo que ahorra en fuerza. Las conclusiones esperadas: el polipasto reduce la fuerza necesaria unas cinco veces, no reduce el esfuerzo en el sentido del trabajo, y la fuerza medida es siempre un poco más de una quinta parte de la carga en lugar de exactamente una quinta parte. Vocabulario que debe usarse correctamente: carga, tensión, ventaja mecánica, trabajo, eficiencia.

Undécimo grado

Enfoque: el tratamiento cuantitativo. Los estudiantes escriben ΣF = 0 para el bloque móvil, deducen F_g = 5T, y calcular para cada ensayo la razón F_g/F, el trabajo en W = FΔx, la energía ganada E_p = F_gΔy y la eficiencia E_pGrafican la fuerza medida en función de la carga y extraen tanto la pendiente como la ordenada en el origen, luego comprueban que la eficiencia obtenida a partir de las energías coincide con la obtenida a partir de la relación de fuerzas dividida por cinco; son algebraicamente el mismo número, y obtener dos respuestas diferentes significa un desliz aritmético. La discusión principal es qué representa físicamente la ordenada en el origen.

12.º curso / Nivel universitario

Enfoque: distinguiendo los mecanismos de pérdida y acotando el resultado. Los estudiantes modelan la máquina de dos maneras: costo general fijo, F = (F_g + w)/5, y pérdida proporcional, F = F_g/(5η) — ajustarse a los nueve puntos y decidir cuáles apoya el dato. El ejercicio final consiste en medir directamente el peso del bloque móvil y comprobar si da cuenta de la ordenada en el origen; si no lo hace, el resto es fricción y rigidez de la cuerda, y se puede cuantificar su magnitud.

Esenciales de laboratorio

Instrumentos

• Polipasto (aparejo de cinco ramales, con bloque de polea móvil)
• Dinamómetro
• Pesos, de 1 N a 9 N en pasos de 1 N
• regla de 50 cm

Productos

Ninguno — este laboratorio no utiliza reactivos químicos.