086 – Le fonctionnement d'un palan

Un palan est un système de moufle : une corde enfilée va et vient entre un bloc de poulies fixe et un bloc mobile, de sorte que la charge est suspendue à plusieurs brins à la fois plutôt qu'à une seule corde. Les grues sur les chantiers de construction, les systèmes de cintres de théâtre, les écoutes de grand-voile et les lévateurs de moteurs de garage sont tous la même machine, et ils existent tous pour la même raison : une personne peut tirer fort pendant un court instant mais ne peut pas du tout tirer avec une force de plusieurs centaines de newtons.

Le principe est que le poids de la charge est réparti également entre les brins qui soutiennent la poulie mobile. Avec cinq brins de ce type, chacun supporte un cinquième du poids, et comme l'extrémité libre de la corde est simplement le dernier de ces brins, la main tire cinq fois moins fort. Rien n'est obtenu sans rien : pour soulever la charge de 20 cm, chacun des cinq brins doit raccourcir de 20 cm, il faut donc tirer un mètre entier de corde. La machine multiplie la force et divise la distance, et le produit des deux — le travail — est ce qu'elle ne peut pas changer. Ce qu'un palan réel peut faire, c'est perdre une partie de ce travail en frottements dans les axes et par le poids de la poulie mobile qu'il doit soulever en même temps que la charge, et la fraction qui subsiste est son rendement.

Dans ce laboratoire, vous suspendrez un poids de 1 N à un palan à cinq brins, tirerez sur un dynamomètre jusqu'à ce que la charge monte à vitesse constante, et lirez la force requise. Vous répéterez la mesure huit autres fois, en ajoutant un newton à chaque fois jusqu'à 9 N, et pour chaque essai, vous calculerez le rapport entre la charge et la force de traction. La deuxième loi de Newton appliquée à la charge à vitesse constante donne ensuite la relation entre le poids et la tension de la corde, et la comparaison du travail que vous fournissez avec l'énergie potentielle gagnée par la charge donne le rendement de la machine.

Objectifs Éducatifs

Comprendre comment un palan démultiplie la force

• Comptez les brins soutenant la moufle mobile et prévoyez, avant toute mesure, que la force de traction sera la charge divisée par ce nombre.
• Expliquez pourquoi l'avantage mécanique idéal est un compte de brins et non une propriété des poulies elles-mêmes.

Application des lois de Newton à un système en équilibre

• Dessinez le diagramme du corps libre de la poulie mobile et écrivez ΣF = 0 pour une charge montant à vitesse constante, obtenant F_g = 5T avec T égal à la force appliquée.
• Reconnaissez que la “ vitesse constante ” est la condition qui fait de l'analyse un problème de statique, et qu'une secousse au départ est un problème différent et plus difficile.

Mesure de la force et du déplacement

• Utilisez un dynamomètre pour lire une force de traction constante tout en maintenant un mouvement uniforme, et jugez la lecture par rapport à la précision indiquée de l'instrument plutôt qu'à ses chiffres imprimés.
• Mesurez la longueur de la corde tirée par rapport à la hauteur gagnée par la charge, et utilisez leur rapport comme vérification indépendante du nombre de brins.

Travail, énergie et efficacité

• Calculez le travail fourni sous la forme W = FΔx et l'énergie potentielle acquise sous la forme E_p = F_gΔy, et identifiez cette différence comme le travail perdu au sein de la machine.
• Exprimez l'efficacité de deux manières équivalentes — en tant que E_p/W et comme le rapport de l'avantage mécanique réel à l'avantage mécanique idéal — et montrez qu'il s'agit de la même grandeur.

Interprétation d'une tendance sur une série de charges

• Tracez la force mesurée en fonction de la charge pour les neuf essais et interprétez à la fois la pente et l'ordonnée à l'origine, cette dernière représentant la charge parasite que la machine supporte quelle que soit la charge.
• Déterminez à partir des données si les pertes évoluent avec la charge ou sont fixes, et expliquez ce que chaque cas implique pour l'efficacité d'une grue fortement chargée.

Connexion de la machine à ses utilisations

• Reliez le nombre de brins à des équipements réels — une ligne de contrepoids de théâtre, un mouflage de grue, un palan de récupération de véhicule — et expliquez le compromis entre la force économisée et la longueur de corde à haler.

Protocole

1. Accrochez un poids de 1 N à l'ensemble de poulies mobiles (anneau noir).
2. Approchez une main de l'extrémité du dynamomètre afin de tirer sur le crochet ; ce qui aura pour effet de soulever la charge à vitesse constante.
3. La force indiquée par le dynamomètre est enregistrée dans le tableau des résultats.
4. Répétez huit fois les étapes 1 et 2 en augmentant chaque fois le poids suspendu de 1 N.
5. Pour chaque essai, calculez le rapport entre le poids de la charge Fg et la force motrice requise F.
6. Appliquez la deuxième loi de Newton à la charge afin d'obtenir une relation entre le poids et la tension dans la corde.
7. Calculez le travail mécanique effectué pour soulever la charge à une hauteur de 20 cm à vitesse constante.
8. Déterminez la quantité d'énergie potentielle acquise par la charge.
9. Déterminer le rendement du palan.

Résultats attendus

Neuf charges, de 1 N à 9 N par pas d'un newton, sont soulevées à tour de rôle et la force nécessaire pour élever chacune à vitesse constante est lue sur le dynamomètre. Le modèle attendu est une ligne droite : la force requise augmente proportionnellement à la charge, à environ un cinquième de sa valeur, car cinq brins partagent le poids. Le laboratoire publie deux des neuf essais, et ils sont reproduits ici en tant que valeurs de référence ainsi que tout ce qui peut en être déduit.

Pourquoi la corde parcourt cinq fois plus de distance. Chacun des cinq brins soutenant la poulie mobile doit raccourcir de la hauteur dont la charge s'élève. Élever la charge de Δy = 0,200 m demande par conséquent Δx = 5 × 0,200 = 1,00 m de corde, et ce rapport de déplacement est l'avantage mécanique idéal exprimé d'une seconde manière : AMI = Δx/Δy = 5. C'est la plus fiable des deux méthodes pour établir le nombre de brins, car elle ne fait intervenir aucune mesure de force — une classe qui hésite sur le nombre de brins du palan doit mesurer la corde tirée pour une levée connue et diviser.

La condition d'équilibre. Lorsque la charge monte à vitesse constante, il n'y a pas d'accélération, donc pour la poulie mobile et sa charge ΣF = 0 : les cinq tensions des brins vers le haut équilibrent le poids ainsi que le poids de la poulie elle-même, 5T = F_g + w_bloc. La corde est continue sur des poulies sans frottement, de sorte que la tension est la même partout le long de celle-ci et est égale à la force exercée par la main, T = F. Dans le cas idéal, avec un bloc sans poids et sans frottement, cela se réduit à F = F_g/5 — en substituant la charge la plus lourde, F = 9,00/5 = 1,80 N, à la place des 2,02 N réellement nécessaires.

Il vaut la peine de signaler aux étudiants la coïncidence numérique dans ce tableau plutôt que de les laisser s'en inquiéter : la force idéale en newtons et l'énergie potentielle en joules ont les mêmes valeurs numériques, car la corde est tirée exactement de 1,00 m et multiplier par un ne change rien. Modifiez la hauteur de levage et la coïncidence disparaît tandis que la physique demeure.

Ce que les deux essais mesurés disent sur les pertes. En soustrayant la force idéale de la force mesurée, on obtient la charge administrative de la machine. À la charge la plus lourde, 5F − F_g = 5 × 2,02 − 9,00 = 1,10 N ; dans l'exemple de la charge légère, 5 × 0,40 − 2,00 = 0,00 N. Ces deux résultats ne peuvent pas correspondre à la même machine. Le poids du bloc mobile est une grandeur fixe qui ne dépend pas du poids de la charge ; par conséquent, si ce poids et le frottement de l’essieu représentent ensemble 1,10 N pour une charge de 9 N, la même force de 1,10 N doit être présent à 2 N, ce qui donnerait une force de traction de (2,00 + 1,10)/5 = 0,62 N et un rapport de 3,2 au lieu de 5,0. La valeur pour la charge légère, soit exactement 0,40 N, donne un rapport exactement égal à 5,00 et un rendement exactement égal à 100 %, ce qu’aucune machine soumise à la masse ou au frottement ne peut atteindre.

Dans quelle direction l'efficacité doit-elle aller ? C'est la question à laquelle la série de neuf essais doit répondre, et elle n'a que deux réponses défendables. Si la perte dominante est le poids du bloc mobile, la surcharge est un nombre constant de newtons, l'efficacité est F_g/(F_g + w) et il augmente vers 100 % à mesure que la charge augmente — plus la charge est lourde, moins le poids propre de la machine a d’importance. Si la perte dominante est due au frottement des axes, qui augmente avec la tension du câble, les frais généraux représentent une fraction constante et le rendement reste stable sur toute la série. Un palan dont le rendement diminue à mesure que la charge augmente ne correspond à aucune des prévisions de ces deux mécanismes ; une tendance à la baisse dans les données doit donc être considérée comme un résultat à approfondir plutôt que comme le résultat attendu. Le graphique à tracer est celui de la force mesurée en fonction de la charge : sa pente est de 1/(5η) pour le cas proportionnel et son ordonnée à l’origine est de w/5 pour le cas à perte fixe, et ce sont les neuf points qui permettent de trancher entre les deux.

L'énergie perdue par soulèvement. À la charge maximale, le travail fourni est de 2,02 J et la charge gagne 1,80 J, de sorte que 0,22 J restent dans la machine, sous forme de chaleur dans les axes et de travail effectué pour soulever le bloc mobile lui-même. Sur cent soulèvements, cela fait 22 J — peu de chose ici, mais la même arithmétique appliquée à une grue soulevant une tonne sur dix mètres transmet près de onze mégajoules à la charge et plus d'un mégajoule au bloc et à ses paliers, ce qui explique pourquoi les vrais palans utilisent des roulements à billes et pourquoi leur rendement est une grandeur économique plutôt qu'académique.

Résumé du devoir par tranche d'âge

Classe de 3e à la 2de

Focalisation observer la réduction de la force et la décrire correctement. Les élèves comptent les brins soutenant la poulie mobile, prédisent la force de traction pour chaque charge avant de la mesurer, et complètent le tableau de neuf essais de la charge en fonction de la force. Ils mesurent la corde tirée pour une élévation de 20 cm et constatent qu'elle est d'un mètre, ce qui leur indique que la machine restitue en distance ce qu'elle économise en force. Les conclusions attendues : le palan réduit la force nécessaire d'environ cinq fois, il ne réduit pas l'effort au sens du travail, et la force mesurée est toujours un peu supérieure à un cinquième de la charge plutôt qu'exactement un cinquième. Vocabulaire à utiliser correctement : charge, tension, avantage mécanique, travail, rendement.

11e année

Focalisation le traitement quantitatif. Les étudiants écrivent ΣF = 0 pour le bloc mobile, en déduisent F_g = 5T, et calculer pour chaque essai le rapport F_g/F, le travail dans W = FΔx, l'énergie gagnée E_p = F_gΔy et l'efficacité E_pIls portent la force mesurée en fonction de la charge et en extraient à la fois la pente et l'ordonnée à l'origine, puis vérifient que le rendement obtenu à partir des énergies correspond à celui obtenu à partir du rapport de forces divisé par cinq — ce sont algébriquement le même nombre, et obtenir deux réponses différentes signifie qu'il y a une erreur de calcul. La discussion visée porte sur ce que représente physiquement l'ordonnée à l'origine.

12e année / Niveau universitaire

Focalisation distinction des mécanismes de perte et encadrement du résultat. Les étudiants modélisent la machine de deux manières — frais fixes, F = (F_g + w)/5, et perte proportionnelle, F = F_g(5η) — ajuster les deux aux neuf points et décider lequel les données soutiennent. L'exercice final consiste à mesurer directement le poids du bloc mobile et à vérifier s'il explique l'ordonnée à l'origine ; si ce n'est pas le cas, le reste est le frottement et la rigidité de la corde, et son amplitude peut être mentionnée.

Essentiels de laboratoire

Instruments

• Palan (palonnier à cinq brins, avec moufle mobile)
• Dynamomètre
• Poids, de 1 N à 9 N par incréments de 1 N
• Règle de 50 cm

Produits

Aucun — ce laboratoire n'utilise aucun réactif chimique.