086 – Der Betrieb eines Hebezeugs

Ein Hebezeug ist ein Flaschenzug: ein Seil, das mehrfach zwischen einem festen und einem beweglichen Rollenblock hin- und hergezogen wird, sodass die Last an mehreren Strängen gleichzeitig statt an einem einzigen Seil hängt. Kräne auf Baustellen, Theaterzugsysteme, Großschoten von Segelbooten und Garagen-Motorenheber sind im Grunde dieselbe Maschine und existieren alle aus demselben Grund – ein Mensch kann zwar für kurze Zeit kräftig ziehen, aber überhaupt nicht mit einer Kraft von mehreren hundert Newton.

Das Prinzip ist, dass sich das Gewicht der Last gleichmäßig auf die Stränge verteilt, die den beweglichen Block tragen. Bei fünf solchen Strängen trägt jeder ein Fünftel des Gewichts, und da das freie Ende des Seils einfach der letzte dieser Stränge ist, zieht die Hand nur mit einem Fünftel der Kraft. Nichts ist umsonst: Um die Last um 20 cm anzuheben, muss sich jeder der fünf Stränge um 20 cm verkürzen, sodass ein ganzer Meter Seil durchgezogen werden muss. Die Maschine multipliziert die Kraft und teilt den Weg, und das Produkt aus beiden – die Arbeit – ist das, was sie nicht ändern kann. Was ein echter Flaschenzug leisten kann, ist, einen Teil dieser Arbeit durch Reibung in den Achsen und durch das Gewicht des beweglichen Blocks zu verlieren, den er zusammen mit der Last anheben muss, und der Bruchteil, der übrig bleibt, ist sein Wirkungsgrad.

In diesem Labor hängen Sie ein 1-N-Gewicht an einen fünffachen Flaschenzug, ziehen an einem Kraftmesser, bis sich die Last mit konstanter Geschwindigkeit hebt, und lesen die erforderliche Kraft ab. Sie wiederholen die Messung acht weitere Male, wobei Sie jedes Mal ein Newton bis zu 9 N hinzufügen, und berechnen für jeden Versuch das Verhältnis der Last zur Zugkraft. Das auf die Last bei konstanter Geschwindigkeit angewendete zweite Newtonsche Gesetz liefert dann die Beziehung zwischen dem Gewicht und der Seilspannung, und der Vergleich der von Ihnen aufgewendeten Arbeit mit der potenziellen Energie, die die Last gewonnen hat, ergibt den Wirkungsgrad der Maschine.

Bildungsziele

Zu verstehen, wie ein Flaschenzug die Kraft verstärkt

• Zählen Sie die Stränge, die die bewegliche Rolle tragen, und sagen Sie vor jeder Messung voraus, dass die Zugkraft gleich der Last geteilt durch diese Zahl sein wird.
• Erklären Sie, warum der ideale mechanische Vorteil eine Anzahl von Strängen und keine Eigenschaft der Umlenkrollen selbst ist.

Anwendung der Newtonschen Gesetze auf ein System im Gleichgewicht

• Zeichnen Sie das Freikörperbild des beweglichen Blocks und schreiben Sie $\sum F = 0$ für eine mit konstanter Geschwindigkeit steigende Last auf, um $F$ zu erhalten._g = 5T, wobei T der angewandten Kraft entspricht.
• Erkenne, dass “konstante Geschwindigkeit” die Bedingung ist, die die Analyse zu einem Statikproblem macht, und dass ein Ruck am Anfang ein anderes, schwierigeres Problem ist.

Messen von Kraft und Weg

• Benutzen Sie einen Dynamometer, um eine gleichmäßige Zugkraft bei gleichförmiger Bewegung abzulesen, und bewerten Sie den Messwert anhand der angegebenen Genauigkeit des Instruments anstelle seiner aufgedruckten Ziffern.
• Messen Sie die Länge des eingezogenen Seils im Verhältnis zur Hubhöhe der Last und nutzen Sie dieses Verhältnis als unabhängige Überprüfung der Strangzahl.

Arbeit, Energie und Wirkungsgrad

• Berechne die aufgebrachte Arbeit als W = FΔx und die gewonnene potenzielle Energie als E_p = F_gΔy, und identifiziere die Differenz als in der Maschine verloren gegangene Arbeit.
• Drücken Sie den Wirkungsgrad auf zwei äquivalente Weisen aus – als E_pund als das Verhältnis des tatsächlichen zum idealen mechanischen Vorteil — und zeigen Sie, dass es sich dabei um dieselbe Größe handelt.

Die Interpretation eines Trends über eine Reihe von Lasten

• Tragen Sie die gemessene Kraft gegen die Last für alle neun Versuche auf und interpretieren Sie sowohl die Steigung als auch den Achsenabschnitt, von denen der letztere die Grundlast ist, die die Maschine unabhängig von der Last trägt.
• Entscheiden Sie anhand der Daten, ob die Verluste mit der Last skalieren oder fix sind, und erklären Sie, was die jeweiligen Fälle für den Wirkungsgrad eines stark ausgelasteten Krans bedeuten.

Anschließen der Maschine an ihre Verwendungszwecke

• Verbinden Sie die Stranganzahl mit echten Geräten – einem Theaters Gegengewichtszug, einem Kranflaschenzug, einer Fahrzeugbergung – und erklären Sie den Kompromiss zwischen der eingesparten Kraft und dem Seil, das eingeholt werden muss.

Protokoll

1. Hängen Sie ein Gewicht von 1 N an die Anordnung von beweglichen Seilrollen (schwarzer Ring).
2. Führen Sie eine Hand zum Ende des Dynamometers und ziehen Sie am Haken; dies hebt die Last mit konstanter Geschwindigkeit an.
3. Die Kraft, die das Dynamometer anzeigt, wird in der Ergebnistabelle eingetragen.
4. Wiederholen Sie die Schritte 1 und 2 achtmal und erhöhen Sie dabei jedes Mal das aufgehängte Gewicht um 1 N.
5. Berechnen Sie für jeden Test das Verhältnis des Gewichts der Last Fg zur benötigten Antriebskraft F.
6. Wenden Sie das zweite Newtonsche Gesetz auf die Last an, um eine Beziehung zwischen dem Gewicht und der Spannung im Seil zu erhalten.
7. Berechnen Sie die mechanische Arbeit, die zum Anheben der Last auf eine Höhe von 20 cm bei konstanter Geschwindigkeit aufgewendet wurde.
8. Bestimmen Sie den Betrag der potenziellen Energie, die die Last aufgenommen hat.
9. Bestimmen Sie den Energieeffizienzgrad des Hebezeugs.

Erwartete Ergebnisse

Neun Lasten von 1 N bis 9 N in Ein-Newton-Schritten werden nacheinander angehoben, und die Kraft, die erforderlich ist, um jede mit konstanter Geschwindigkeit anzuheben, wird am Dynamometer abgelesen. Das erwartete Muster ist eine gerade Linie: Die erforderliche Kraft steigt proportional zur Last an, und zwar auf etwa ein Fünftel ihres Wertes, da fünf Stränge das Gewicht tragen. Das Labor veröffentlicht zwei der neun Versuche, die hier als Aufzeichnungswerte zusammen mit allem, was daraus abgeleitet werden kann, wiedergegeben werden.

Warum das Seil fünfmal so weit läuft. Jeder der fünf Stränge, die den beweglichen Block tragen, muss sich um die Höhe verkürzen, um die die Last steigt. Das Anheben der Last um Δy = 0,200 m nimmt daher Δx = 5 × 0,200 = 1,00 m Seil auf, und dieses Verschiebungsverhältnis ist der ideelle mechanische Vorteil auf eine zweite Art ausgedrückt: IMA = Δx/Δy = 5. Dies ist die zuverlässigere der beiden Methoden zur Bestimmung der Strangzahl, da sie keinerlei Kraftmessung erfordert – eine Gruppe, die sich nicht sicher ist, wie viele Stränge das Hebezeug hat, sollte das für einen bekannten Hub eingezogene Seil messen und dividieren.

Die Gleichgewichtsbedingung. Da die Last mit konstanter Geschwindigkeit steigt, gibt es keine Beschleunigung, folglich gilt für die bewegliche Rolle und ihre Last ΣF = 0: Die fünf nach oben gerichteten Trangerspannungen halten das Gewicht zusammen mit dem Eigengewicht der Rolle im Gleichgewicht, 5T = F_g + w_Block. Das Seil läuft endlos über reibungsfreie Rollen, sodass die Spannung überall entlang des Seils gleich ist und der Kraft in der Hand entspricht, T = F. Im Idealfall, mit einem masselosen Block und ohne Reibung, reduziert sich dies auf F = F_g/5 – Einsetzen der schwersten Last, F = 9,00/5 = 1,80 N, anstelle der tatsächlich benötigten 2,02 N.

Die numerische Koinzidenz in dieser Tabelle sollte den Schülern eher aufgezeigt werden, als dass man sie davon verwirren lässt: Die ideale Kraft in Newton und die potenzielle Energie in Joule haben dieselben Zahlenwerte, da das Seil um exakt 1,00 m eingezogen wird und die Multiplikation mit eins nichts verändert. Ändert man die Hubhöhe, verschwindet die Koinzidenz, während die Physik bleibt.

Was die beiden gemessenen Versuche über die Verluste aussagen. Wenn man die ideale Kraft von der gemessenen abzieht, erhält man den Aufwand der Maschine. Bei der schwersten Last, 5F − F_g = 5 × 2,02 − 9,00 = 1,10 N; im Beispiel mit der leichten Last: 5 × 0,40 − 2,00 = 0,00 N. Diese beiden Ergebnisse können nicht beide dieselbe Maschine beschreiben. Das Gewicht des beweglichen Blocks ist eine feste Größe, die unabhängig vom Gewicht der Last ist. Wenn also das Gewicht des Blocks zusammen mit der Achsreibung bei 9 N insgesamt 1,10 N ausmacht, muss bei 2 N ebenfalls 1,10 N bei 2 N vorhanden sein, was eine Zugkraft von (2,00 + 1,10)/5 = 0,62 N und ein Verhältnis von 3,2 statt 5,0 ergeben würde. Der Wert bei leichter Last von genau 0,40 N ergibt ein Verhältnis von genau 5,00 und einen Wirkungsgrad von genau 100 %, was keine Maschine mit Masse oder Reibung erreichen kann.

In welche Richtung soll die Effizienz gehen? Dies ist die Frage, deren Beantwortung der Zweck der neun Versuche umfassenden Serie ist, und sie hat nur zwei vertretbare Antworten. Wenn der dominierende Verlust das Gewicht des beweglichen Blocks ist, ist der Mehraufwand eine konstante Anzahl von Newton, der Wirkungsgrad ist F_g(F_g + w) und es steigt in Richtung 100 %, je stärker die Last zunimmt – je schwerer die Last, desto weniger spielt das Eigengewicht der Maschine eine Rolle. Wenn der dominierende Verlust die Achsreibung ist, die mit der Spannung im Seil zunimmt, ist der Mehraufwand ein konstanter Anteil und der Wirkungsgrad bleibt über die gesamte Serie hinweg konstant. Ein Hebezeug, dessen Wirkungsgrad mit zunehmender Belastung abnimmt, entspricht den Vorhersagen keines der beiden Mechanismen; daher sollte ein abfallender Trend in den Daten eher als ein zu untersuchender Befund denn als erwartetes Ergebnis betrachtet werden. Zu erstellen ist ein Diagramm der gemessenen Kraft in Abhängigkeit von der Last: Seine Steigung beträgt 1/(5η) für den proportionalen Fall und sein Achsenabschnitt w/5 für den Fall mit festem Überkopfverlust, und die neun Messpunkte entscheiden zwischen diesen beiden Fällen.

Der Energieverlust pro Hub. Bei höchster Last beträgt die aufgewendete Arbeit 2,02 J und die Last gewinnt 1,80 J, sodass 0,22 J in der Maschine verbleiben, als Wärme in den Achsen und als Arbeit, die beim Anheben des beweglichen Blocks selbst geleistet wird. Über hundert Hubvorgänge sind das 22 J – hier gering, aber dieselbe Rechnung, angewendet auf einen Kran, der eine Tonne zehn Meter hochhebt, steckt fast elf Megajoule in die Last und über ein Megajoule in den Block und seine Lager, weshalb echte Hubwerke Wälzlager verwenden und ihr Wirkungsgrad eine wirtschaftliche und keine akademische Größe ist.

Zusammenfassung der Aufgaben nach Klassenstufen

9. bis 10. Klasse

Fokus die Kraftminderung erkennen und diese korrekt beschreiben. Die Schüler zählen die Stränge, die den beweglichen Block tragen, prognostizieren die Zugkraft für jede Last vor der Messung und vervollständigen die neun Versuche umfassende Tabelle mit den Werten für Last und Kraft. Sie messen das eingezogene Seil für einen 20 cm langen Hub und stellen fest, dass es ein Meter ist, was ihnen zeigt, dass die Maschine das an Kraft einspart, was sie an Weg einbüßt. Die erwarteten Schlussfolgerungen: Der Flaschenzug reduziert die erforderliche Kraft um etwa das Fünffache, er verringert den Aufwand im Sinne von Arbeit nicht, und die gemessene Kraft ist immer etwas mehr als ein Fünftel der Last anstatt genau ein Fünftel. Korrekt zu verwendendes Vokabular: Last, Zugkraft (Tension), mechanischer Vorteil, Arbeit, Wirkungsgrad.

11. Klasse

Fokus die quantitative Behandlung. Die Studierenden schreiben ΣF = 0 für den beweglichen Block auf und leiten F her_g = 5T, und berechne für jeden Versuch das Verhältnis F_g/F, die Arbeit in W = FΔx, die gewonnene Energie E_p = F_gΔy und die Effizienz E_pSie tragen die gemessene Kraft gegen die Last auf und ermitteln sowohl die Steigung als auch den Achsenabschnitt; anschließend überprüfen sie, ob der aus den Energien ermittelte Wirkungsgrad mit demjenigen übereinstimmt, der sich aus dem Kraftverhältnis geteilt durch fünf ergibt – algebraisch handelt es sich dabei um dieselbe Zahl, und zwei unterschiedliche Ergebnisse bedeuten einen Rechenfehler. Das Ziel der Diskussion ist es, zu klären, was der Achsenabschnitt physikalisch darstellt.

12. Klasse / College-Niveau

Fokus Unterscheidung der Verlustmechanismen und Eingrenzung des Ergebnisses. Die Studierenden modellieren die Maschine auf zwei Arten — fester Gemeinkostenanteil, F = (F_g + w)/5, und proportionalem Verlust, F = F_g(5η) – sowohl an die neun Punkte anpassen als auch entscheiden, welche die Daten stützen. Die abschließende Übung besteht darin, das Gewicht des beweglichen Blocks direkt zu messen und zu überprüfen, ob es den Achsenabschnitt erklärt; tut es das nicht, so ist der Rest Reibung und Seilsteifigkeit, und dessen Größe kann angegeben werden.

Labor-Grundausstattung

Instrumente

• Flaschenzug (fünfscheibig, mit loser Rolle)
• Dynamometer
• Gewichte, 1 N bis 9 N in 1-N-Schritten
• 50 cm Lineal

Produkte

Keine – dieses Labor verwendet keine chemischen Reagenzien.