086 – Funcționarea unei macarale

Un palan este un sistem de scripeți: o frânghie trecută înainte și înapoi între un bloc de scripeți fix și unul mobil, astfel încât sarcina atârnă de mai multe fire simultan, în loc să atârne de o singură frânghie. Macaralele de pe șantierele de construcții, sistemele de cortină din teatru, parâmele mari ale bărcilor cu vele și cricurile pentru motoare din garaje sunt toate aceeași mașină și toate există din același motiv — o persoană poate trage cu putere pentru un timp scurt, dar nu poate trage deloc cu o forță de câteva sute de newtoni.

Principiul este că greutatea sarcinii este împărțită în mod egal între firele care susțin scripetele mobil. Cu cinci astfel de fire, fiecare susține o cincime din greutate, iar din moment ce capătul liber al frânghiei este pur și simplu ultimul dintre aceste fire, mâna trage cu o forță de numai cinci ori mai mică. Nimic nu se obține pe gratis: pentru a ridica sarcina cu 20 cm, fiecare dintre cele cinci fire trebuie să se scurteze cu 20 cm, astfel încât trebuie tras un metru întreg de frânghie. Mașina înmulțește forța și împarte distanța, iar produsul celor două – lucrul mecanic – este ceea ce nu poate schimba. Ceea ce poate face un palan real este să piardă o parte din acel lucru mecanic din cauza frecării din axe și a greutății scripetelui mobil pe care trebuie să o ridice împreună cu sarcina, iar fracțiunea care supraviețuiește reprezintă randamentul său.

În acest laborator veți suspenda o greutate de 1 N de un palan cu cinci fire, veți trage de un dinamometru până când sarcina urcă cu viteză constantă și veți citi forța necesară. Veți repeta măsurătoarea de încă opt ori, adăugând câte un newton de fiecare dată până la 9 N, și pentru fiecare încercare veți calcula raportul dintre sarcină și forța de tracțiune. A doua lege a lui Newton aplicată sarcinii la viteză constantă oferă apoi relația dintre greutate și tensiunea din frânghie, iar compararea a ceea ce introduceți ca lucru mecanic cu energia potențială câștigată de sarcină oferă randamentul mașinii.

Obiective educaționale

Înțelegerea modului în care un sistem de scripeți multiplică forța

• Numără firele care susțin blocul mobil și anticipează, înainte de a măsura ceva, că forța de tracțiune va fi egală cu sarcina împărțită la acel număr.
• Avantajul mecanic ideal este un număr de fire și nu o proprietate a scripeților înșiși, deoarece se bazează pe conservarea energiei și pe modul în care tensiunea din cabluri este distribuită pentru a susține sarcina, și nu pe fricțiune, dimensiune sau materialul din care sunt confecționați scripeții. Scripeții acționează doar ca niște dispozitive de schimbare a direcției pentru a ghida cablul; ceea ce reduce efectiv efortul necesar este numărul de segmente de cablu (fire) care împart în mod egal greutatea sarcinii.

Aplicarea legilor lui Newton unui sistem în echilibru

• Desenați diagrama corpului liber pentru blocul mobil și scrieți ΣF = 0 pentru o sarcină care urcă cu viteză constantă, obținând F_g = 5T, unde T este egal cu forța aplicată.
• Recunoașteți că “viteza constantă” este condiția care transformă analiza într-o problemă de statică, și că o smucitură la început este o problemă diferită, mai dificilă.

Măsurarea forței și a deplasării

• Folosiți un dinamometru pentru a citi o forță constantă de tracțiune, menținând în același timp mișcarea uniformă, și apreciați valoarea citită în funcție de precizia declarată a instrumentului, mai curând decât după cifrele imprimate pe acesta.
• Măsurați lungimea fragei trase în raport cu înălțimea câștigată de sarcină și folosiți raportul lor ca verificare independentă a numărului de fire.

Lucru mecanic, energie și randament

• Calculați lucrul mecanic efectuat ca W = FΔx și energia potențială câștigată ca E_p = F_gΔy și identificați diferența ca fiind lucrul pierdut în interiorul mașinii.
• Exprimă eficiența în două moduri echivalente — ca E_pși ca raportul dintre avantajul mecanic real și cel ideal — și arătați că sunt aceeași mărime.

Interpretarea unei tendințe pe parcursul unei serii de încărcări

• Reprezentați grafic forța măsurată în funcție de sarcină pentru toate cele nouă teste și interpretați atât panta, cât și ordonata la origine, aceasta din urmă reprezentând suprasarcina pe care mașina o suportă indiferent de sarcină.
• Stabiliți din date dacă pierderile variază în funcție de sarcină sau sunt fixe și explicați ce implică fiecare caz pentru eficiența unei macarale puternic solicitate.

Conectarea mașinii la utilizările sale

• Relaționați numărul de fire cu echipamente reale – un sistem de contragreutăți de teatru, un palan de macara, uneltele de recuperare a unui vehicul – și explicați compromisul dintre forța economisită și lungimea de frânghie care trebuie trasă.

Protocol

1. Suspendați o greutate de 1 N de ansamblul de scripeți mobili (inelul negru).
2. Adu o mână la capătul dinamometrului pentru a trage de cârlig; acest lucru va avea efectul de a ridica sarcina la o viteză constantă.
3. Forța indicată de dinamometru este înregistrată în tabelul de rezultate.
4. Repetați de alte opt ori pașii 1 și 2, mărind de fiecare dată greutatea suspendată cu 1 N.
5. Pentru fiecare test, calculați raportul dintre greutatea sarcinii Fg și forța motrice necesară F.
6. Aplicați legea a doua a lui Newton asupra sarcinii pentru a obține o relație între greutate și tensiunea din frânghie.
7. Calculați lucrul mecanic efectuat pentru ridicarea sarcinii la o înălțime de 20 cm, cu viteză constantă.
8. Determinați cantitatea de energie potențială achiziționată de sarcină.
9. Determinați eficiența energetică a palanului.

Rezultate anticipate

Nouă sarcini, de la 1 N la 9 N în trepte de un newton, sunt ridicate pe rând, iar forța necesară pentru a ridica fiecare cu viteză constantă este citită de pe dinamometru. Modelul așteptat este o linie dreaptă: forța necesară crește proporțional cu sarcina, la aproximativ o cincime din valoarea acesteia, deoarece cinci fire împart greutatea. Laboratorul publică două dintre cele nouă încercări, iar acestea sunt reproduse aici ca valori de referință, împreună cu tot ceea ce poate fi derivat din ele.

De ce frânghia se deplasează de cinci ori mai departe. Fiecare dintre cele cinci fire care susțin scripetele mobil trebuie să se scurteze cu înălțimea la care urcă sarcina. Prin urmare, ridicarea sarcinii cu Δy = 0,200 m consumă Δx = 5 × 0,200 = 1,00 m de frânghie, iar acest raport de deplasare reprezintă avantajul mecanic ideal exprimat într-un al doilea mod: IMA = Δx/Δy = 5. Aceasta este modalitatea mai sigură dintre cele două pentru a stabili numărul de fire, deoarece nu implică nicio măsurare a aforței — o clasă care nu este sigură câte fire are palazul ar trebui să măsoare frânghia trasă pentru o ridicare cunoscută și să facă împărțirea.

Condiția de echilibru. Cu sarcina ridicată la viteză constantă nu există accelerație, deci pentru scripetele mobil și sarcina sa ΣF = 0: cele cinci tensiuni ale ramurilor orientate în sus echilibrează greutatea împreună cu greutatea proprie a scripetelui, 5T = F_g + w_blochează. Coarda este continuă peste scripeți fără frecare, astfel încât tensiunea este aceeași peste tot de-a lungul ei și este egală cu forța de la mână, T = F. În cazul ideal, cu un bloc fără greutate și fără frecare, aceasta se reduce la F = F_g/5 — înlocuind cea mai grea sarcină, F = 9,00 / 5 = 1,80 N, cu cei 2,02 N care sunt efectiv necesari.

Coincidența numerică din acel tabel merită subliniată elevilor în loc să fie lăsată să-i confunde: forța ideală în newtoni și energia potențială în jouli au aceleași numere, deoarece frânghia este trasă cu exact 1,00 m, iar înmulțirea cu unu nu schimbă nimic. Schimbați înălțimea de ridicare și coincidența dispare, în timp ce fizica nu.

Ce spun cele două studii măsurate despre pierderi. Scăzând forța ideală din cea măsurată se obține suprasarcința mașinii. La cea mai grea sarcină, 5F − F_g = 5 × 2,02 − 9,00 = 1,10 N; în exemplul cu sarcină ușoară, 5 × 0,40 − 2,00 = 0,00 N. Aceste două rezultate nu pot descrie amândouă aceeași mașină. Greutatea blocului mobil este o mărime fixă care nu ține cont de greutatea sarcinii; prin urmare, dacă aceasta și frecarea axului reprezintă împreună 1,10 N la 9 N, aceeași valoare de 1,10 N trebuie să fie prezent la 2 N, ceea ce ar face ca forța de tragere să fie (2,00 + 1,10)/5 = 0,62 N, iar raportul să fie 3,2 în loc de 5,0. Valoarea pentru sarcina ușoară, de exact 0,40 N, dă un raport de exact 5,00 și un randament de exact 100 %, ceea ce nicio mașină cu masă sau frecare nu poate atinge.

În ce direcție ar trebui să meargă eficiența? Aceasta este întrebarea la care seria de nouă încercări există pentru a răspunde și are doar două răspunsuri apărabile. Dacă pierderea dominantă este greutatea blocului mobil, cheltuiala suplimentară este un număr constant de newtoni, eficiența este F_g/(F_g + w) și ea crește spre 100 % pe măsură ce sarcina crește — cu cât sarcina este mai grea, cu atât greutatea proprie a mașinii contează mai puțin. Dacă pierderea dominantă este frecarea la nivelul axului, care crește odată cu tensiunea cablului, pierderea generală reprezintă o fracție constantă, iar randamentul rămâne constant pe toată seria. Un dispozitiv de ridicare care devine mai puțin eficient pe măsură ce este încărcat mai greu nu este ceea ce prezice niciunul dintre mecanisme, astfel încât o tendință descendentă a datelor ar trebui tratată ca o constatare care trebuie investigată, mai degrabă decât ca rezultatul așteptat. Graficul care trebuie realizat este cel al forței măsurate în funcție de sarcină: panta sa este 1/(5η) pentru cazul proporțional, iar ordonata la origine este w/5 pentru cazul cu pierderi fixe, iar cele nouă puncte determină alegerea între cele două.

Energia pierdută per ridicare. La cea mai mare sarcină, lucrul mecanic introdus este de 2,02 J, iar sarcina câștigă 1,80 J, astfel încât 0,22 J rămân în mașină, sub formă de căldură în axe și ca lucru mecanic efectuat prin ridicarea însăși a blocului mobil. Peste o sută de ridicări, aceasta înseamnă 22 J — puțin aici, dar aceeași aritmetică aplicată unei macarale care ridică o tonă la zece metri introduce aproape unsprezece megajouli în sarcină și peste un megajoul în bloc și în lagărele sale, motiv pentru care palanele reale folosesc lagăre cu bile, iar eficiența lor este o mărime economică, nu una academică.

Rezumatul temei pe intervale de note

Clasele a IX-a și a X-a

Concentrare: observarea reducerii forței și descrierea corectă a acesteia. Elevii numără firele care susțin blocul mobil, ghicesc forța de tracțiune pentru fiecare sarcină înainte de a o măsura și completează tabelul cu nouă încercări privind sarcina în funcție de forță. Ei măsoară frânghia trasă pentru o ridicare de 20 cm și constată că aceasta este de un metru, ceea ce le arată că mașina returnează în distanță ceea ce economisește în forță. Concluziile așteptate: palanul reduce forța necesară de aproximativ cinci ori, nu reduce efortul în sensul de lucru mecanic, iar forța măsurată este întotdeauna puțin mai mare de o cincime din sarcină, mai degrabă decât exact o cincime. Vocabular care trebuie utilizat corect: sarcină, tensiune, avantaj mecanic, lucru mecanic, randament.

Clasa a XI-a

Concentrare: tratamentul cantitativ. Studenții scriu ΣF = 0 pentru blocul mobil, deduc F_g = 5T, și calculați pentru fiecare încercare raportul F_g/F, lucrul mecanic în W = FΔx, energia câștigată E_p = F_gΔy și eficiența E_pEi trasează graficul forței măsurate în funcție de sarcină și extrag atât panta, cât și ordonata la origine, apoi verifică dacă randamentul obținut din energii coincide cu cel obținut din raportul forțelor împărțit la cinci — acestea sunt din punct de vedere algebric același număr, iar obținerea a două rezultate diferite înseamnă o greșeală aritmetică. Discuția vizată este ce reprezintă fizic ordonata la origine.

Clasa a XII-a / Nivel universitar

Concentrare: diferențierea mecanismelor de pierdere și limitarea rezultatului. Studenții modelează mașina în două moduri — cheltuieli generale fixe, F = (F_g + w)/5, și pierderea proporțională, F = F_g/(5η) — potriviți ambele curbe la cele nouă puncte și decideți pe care o susțin datele. Exercițiul final este să măsurați direct greutatea blocului mobil și să verificați dacă aceasta explică ordonata la origine; dacă nu o explică, restul reprezintă frecarea și rigiditatea frânghiei, iar mărimea acestuia poate fi menționată.

Esențiale de laborator

Instrumente

• Palanc (palan cu cinci fire, cu bloc de scripete mobil)
• Dinamometru
• Greutăți, de la 1 N la 9 N în pași de 1 N
• Riglă de 50 cm

Produse

Niciunul — acest laborator nu folosește reactivi chimici.