086 – Obsluha zdvižného zařízení

Zdvihadlo je kladkostroj: lano propletené sem a tam mezi pevným blokem kladky a pohyblivým blokem tak, že břemeno visí na několika pramenech současně namísto jednoho lana. Jeřáby na stavbách, divadelní tahové systémy, otěže hlavní plachty plachetnic a garážové zvedáky motorů jsou všechny stejným strojem a všechny existují ze stejného důvodu — člověk může táhnout silně po krátkou dobu, ale nedokáže táhnout silou několika set newtonů vůbec.

Princip spočívá v tom, že hmotnost břemene je rovnoměrně rozdělena mezi prameny, které podpírají pohyblivou kladku. S pěti takovými prameny nese každý pětinu hmotnosti, a protože volný konec lana je jednoduše posledním z těchto pramenů, ruka táhne jen pětinovou silou. Nic není zadarmo: aby se břemeno zvedlo o 20 cm, musí se každý z pěti pramenů zkrátit o 20 cm, takže je nutné natáhnout celý metr lana. Stroj násobí sílu a dělí dráhu a součin obojího – práci – nedokáže změnit. To, co skutečný zvedák může udělat, je ztratit část této práce třením v osách a hmotností pohyblivé kladky, kterou musí zvednout spolu s břemenem, a zlomek, který zbývá, je jeho účinnost.

V této laboratoři zavěsíte 1N závaží na pětipramenný kladkostroj, zatáhnete za dynamometr, dokud břemeno nezačne stoupat konstantní rychlostí, a odečtete potřebnou sílu. Měření zopakujete dalších osmkrát, přičemž pokaždé přidáte jeden newton až do 9 N, a pro každý pokus spočítáte poměr břemene k tažné síle. Newtonův druhý zákon aplikovaný na břemeno při konstantní rychlosti pak udává vztah mezi tíhou a napnutím lana a porovnání práce, kterou do zařízení vložíte, s potenciální energií, kterou břemeno získalo, poskytuje účinnost stroje.

Vzdělávací cíle

Pochopení toho, jak kladkostroj násobí sílu

• Spočtěte nosná vlákna podpírající pohyblivou kladku a před jakýmkoli měřením předpovězte, že tažná síla bude rovna zatížení vydělenému tímto číslem.
• Ideální mechanická výhoda je dána počtem úseků lana, a nikoli vlastnostmi samotných kladek, protože celková síla potřebná k zvednutí břemene se rozděluje rovnoměrně mezi všechna nosná lana vedoucí z pohyblivé kladky. Samotné kladky slouží pouze jako třecí body, které mění směr působení síly nebo vedou lano, ale samy o sobě do systému nepřidávají ani neubírají mechanickou sílu. Práce se zachovává: síla se zmenšuje tolikrát, kolikrát se prodlužuje dráha, po které působí, a tento poměr závisí čistě na geometrickém uspořádání lan.

Použití Newtonových zákonů na soustavu v rovnováze

• Nakreslete diagram volného tělesa pohyblivé kladky a napište ΣF = 0 pro břemeno zvedané konstantní rychlostí, čímž získáte F_g = 5T, přičemž T se rovná působící síle.
• Uvědomte si, že “konstantní rychlost” je podmínkou, která činí z analýzy úlohu statiky, a že ráz na začátku představuje jiný, obtížnější problém.

Měření síly a posunutí

• Použijte siloměr k odečtení ustálené tažné síly při zachování rovnoměrného pohybu a posuďte naměřenou hodnotu spíše podle deklarované přesnosti přístroje než podle jeho vytištěných číslic.
• Změřte délku vtaženého lana v poměru k výšce, o kterou se břemeno zvedlo, a tento poměr použijte jako nezávislou kontrolu počtu pramenů.

Práce, energie a účinnost

• Vypočítejte dodanou práci jako W = FΔx a získanou potenciální energii jako E_p = F_gΔy a identifikujte tento rozdíl jako práci ztracenou v rámci stroje.
• Vyjádřete účinnost dvěma ekvivalentními způsoby — jako E_p/W a jako poměr skutečné a ideální mechanické výhody — a ukažte, že se jedná o stejnou veličinu.

Interpretace trendu napříč sérií zatížení

• Zaneste naměřenou sílu v závislosti na zatížení pro všech devět měření a interpretujte jak sklon, tak úsek na ose y, přičemž ten druhý představuje režii, kterou stroj nese bez ohledu na zatížení.
• Rozhodněte z dat, zda ztráty rostou se zátěží, nebo jsou fixní, a vysvětlete, co každý případ znamená pro účinnost silně zatíženého jeřábu.

Připojení stroje k jeho použití

• Počet pramenů (nosných částí lana) lze přirovnat k reálnému vybavení, jako je tah protizávaží v divadle, kladkostroj jeřábu nebo vyprošťovací kladkostroj vozidla. Kompromis spočívá v tom, že sice získáte větší sílu, ale musíte utáhnout delší lano.

Protokol

1. Zavěste tíhu 1 N na sestavu volných kladek (černý kroužek).
2. Přiložte jednu ruku na konec dynamometru, abyste zatáhli za hák; tím se zvedne zátěž konstantní rychlostí.
3. Síla indikovaná siloměrem je zaznamenána v tabulce výsledků.
4. Zopakujte osmkrát kroky 1 a 2, zatímco pokaždé zvyšujete zavěšenou hmotnost o 1 N.
5. Pro každý test vypočítejte poměr tíhy nákladu Fg k potřebné hnací síle F.
6. Aplikujte Newtonův druhý zákon na zátěž, abyste získali vztah mezi hmotností a tahem v laně.
7. Vypočítejte mechanickou práci, která byla vykonána k nadzvednutí břemene do výšky 20 cm konstantní rychlostí.
8. Určete množství potenciální energie získané břemenem.
9. Určete energetickou účinnost zdvižného zařízení.

Předvídané výsledky

Devět břemen, od 1 N do 9 N v krocích po jednom newtonu, je postupně zvedáno a síla potřebná ke zvednutí každého z nich konstantní rychlostí se odečítá z dynamometru. Očekávaným vzorcem je přímka: potřebná síla roste úměrně k břemenu, a to přibližně na pětině jeho hodnoty, protože pět pramenů dělí váhu mezi sebe. Laboratoř publikuje dva z devíti pokusů a ty jsou zde reprodukovány jako záznamové hodnoty spolu se vším, co z nich lze odvodit.

Proč lano ujde pětinásobnou vzdálenost. Každé z pěti vláken nesoucích pohyblivou kladku se musí zkrátit o výšku, o kterou břemeno stoupá. Zdvihnutí břemene o $\Delta y = 0{,}200\text{ m}$ proto spotřebuje $\Delta x = 5 \times 0{,}200 = 1{,}00\text{ m}$ lana a tento poměr posunutí představuje ideální mechanickou výhodu vyjádřenou jiným způsobem: $\text{IMA} = \Delta x/\Delta y = 5$. Jde o spolehlivější ze dvou způsobů určení počtu vláken, protože nezahrnuje žádné měření síly – třída, která si není jistá, kolik vláken zvedák má, by měla změřit lano přitažené při známém zdvihu a vydělit ho.

Podmínka rovnováhy. Při zvedání břemene konstantní rychlostí nedochází k žádnému zrychlení, takže pro pohyblivou kladku a její břemeno platí ΣF = 0: pět tahů pramenů směrem nahoru vyvažuje tíhu spolu s vlastní tíhou kladky, 5T = F_g + w_blok. Lano je nepřetržité přes hladké kladky, takže napětí je v něm všude stejné a rovná se síle v ruce, T = F. V ideálním případě s beztížným blokem a nulovým třením se to zjednodušuje na F = F._g/5 – dosazením největšího zatížení $F = 9{,}00/5 = 1{,}80\text{ N}$ oproti $2{,}02\text{ N}$, které jsou ve skutečnosti potřeba.

Na číselnou shodu v této tabulce je dobré studenty upozornit, než aby je mátla: ideální síla v newtonech a potenciální energie v joulech nabývají stejných hodnot, protože lano je přitaženo o přesně 1,00 m a násobení jedničkou nic nemění. Změňte výšku zdvihu a shoda zmizí, zatímco fyzika zůstane.

Co dvě měřená měření říkají o ztrátách. Odečtením ideální síly od naměřené získáme ztráty stroje. Při nejtěžším zatížení, 5F − F_g = 5 × 2,02 − 9,00 = 1,10 N; v případě příkladu s lehkým zatížením pak 5 × 0,40 − 2,00 = 0,00 N. Tyto dva výsledky nemohou popisovat stejný stroj. Hmotnost pohyblivého bloku je pevně daná veličina, která nebere v úvahu hmotnost břemene, takže pokud ona a tření na ose dohromady činí 1,10 N při 9 N, musí být stejných 1,10 N musí být přítomno i při 2 N, což by znamenalo, že tažná síla by činila (2,00 + 1,10)/5 = 0,62 N a poměr by byl 3,2 namísto 5,0. Hodnota pro lehké zatížení přesně 0,40 N dává poměr přesně 5,00 a účinnost přesně 100 %, čehož nemůže dosáhnout žádný stroj s hmotností ani třením.

Jakým směrem by se měla efektivita ubírat? Toto je otázka, na kterou má devítidílná série odpovědět, a má pouze dvě obhajitelné odpovědi. Pokud je dominantní ztrátou hmotnost pohyblivého bloku, režie je konstantní číslo v newtonech, účinnost je F_g/(F_g + w) a to stoupá směrem k hodnotě 100 % s rostoucím zatížením – čím větší je zatížení, tím méně záleží na vlastní hmotnosti stroje. Pokud je dominantní ztrátou tření na nápravě, které roste s napětím lana, představují režijní náklady konstantní podíl a účinnost zůstává v rámci celé řady konstantní. Zvedací zařízení, jehož účinnost klesá s rostoucím zatížením, neodpovídá předpovědím ani jednoho z těchto mechanismů, a proto by klesající trend v datech měl být považován spíše za nález, který je třeba prozkoumat, než za očekávaný výsledek. Je třeba vytvořit graf naměřené síly v závislosti na zatížení: jeho sklon je 1/(5η) pro případ proporcionálního mechanismu a jeho průsečík s osou y je w/5 pro případ s pevnými režijními náklady, přičemž devět naměřených bodů rozhoduje mezi těmito dvěma možnostmi.

Ztracená energie na jedno zdvižení. Při největší zátěži činí vložená práce 2,02 J a zátěž získá 1,80 J, takže 0,22 J zůstává ve stroji ve formě tepla v osách a práce konané při zvedání samotné pohyblivé kladky. Během sta zdvihů je to 22 J — zde to je málo, ale stejná aritmetika aplikovaná na jeřáb zvedající tunu do výšky deseti metrů dodá téměř jedenáct megajoulů do zátěže a přes jeden megajoul do kladky a jejích ložisek, což je důvod, proč skutečné zdvihací stroje používají kuličková ložiska a proč je jejich účinnost ekonomickou veličinou spíše než akademickou.

Shrnutí úkolů podle věkové kategorie

9. až 10. ročník

Zaměření pozorování zmenšení síly a jeho správný popis. Studenti počítají prameny podporující pohyblivou kladku, předpovídají tažnou sílu pro každé zatížení před jejím měřením a vyplňují tabulku o devíti pokusech zátěže proti síle. Měří lano vytažené pro zdvih 20 cm a zjistí, že měří jeden metr, což jim říká, že stroj vrací v dráze to, co ušetří na síle. Očekávané závěry: kladkostroj zmenšuje potřebnou sílu asi pětkrát, nezmenšuje námahu ve smyslu práce a naměřená síla je vždy o něco větší než pětina zátěže, namísto přesně pětiny. Slovní zásoba, kterou je třeba správně použít: zátěž, tah, mechanická výhoda, práce, účinnost.

11. ročník

Zaměření Kvantitativní ošetření. Studenti napíší $\Sigma F = 0$ pro pohyblivý blok a odvodí $F$._g = 5T, a pro každý pokus vypočítejte poměr F_g/F, práce W = FΔx, získaná energie E_p = F_gΔy a účinnost E_pVynášejí naměřenou sílu v závislosti na zátěži a určují jak sklon, tak úsek, přičemž ověřují, že účinnost získaná z energií souhlasí s tou, která byla získána z poměru sil děleného pěti – algebraicky jde o stejné číslo a získání dvou různých výsledků znamená aritmetickou chybu. Cílem diskuse je zjistit, co úsek fyzikálně představuje.

12. ročník / Úroveň college

Zaměření rozlišení ztrátových mechanismů a ohraničení výsledku. Studenti modelují stroj dvěma způsoby – fixní režie, F = (F_g + w)/5, a úměrná ztráta, F = F_g/(5η) — proložit křivku všemi devíti body a rozhodnout, které z nich data podporují. Závěrečným úkolem je změřit hmotnost pohyblivého bloku přímo a ověřit, zda odpovídá úseku na svislé ose; pokud tomu tak není, zbytek představuje tření a tuhost lano, přičemž lze uvést jeho velikost.

Laboratorní potřeby

Nástroje

• Kladkostroj (pětidílný, s pohyblivou kladnicí)
• Dynamometr
• Závaží, 1 N až 9 N v krocích po 1 N
• 50 cm pravítko

Produkty

Žádné — tato laboratoř nepoužívá žádná chemická činidla.