086 – Obsługa podnośnika

Wciągarka to wielokrążek: lina przewleczona wielokrotnie między nieruchomym blokiem krążków a ruchomym, tak że ładunek wisi na kilku cięgnach naraz, a nie na pojedynczej linie. Dźwigi na placach budowy, systemy sztankietowe w teatrach, liny główne żagli na jachtach i podnośniki silnikowe w warsztatach to ta sama maszyna i wszystkie istnieją z tego samego powodu — człowiek może ciągnąć mocno przez krótki czas, ale nie potrafi w ogóle ciągnąć z siłą stu czy kilkuset niutonów.

Zasada jest taka, że ciężar ładunku jest rozdzielany równomiernie między cięgna, które podtrzymują blok ruchomy. Przy pięciu takich cięgnach każde dźwiga jedną piątą ciężaru, a ponieważ wolny koniec liny jest po prostu ostatnim z tych cięgien, ręka ciągnie z pięciokrotnie mniejszą siłą. Nic nie ma za darmo: aby podnieść ładunek o 20 cm, każde z pięciu cięgien musi ulec skróceniu o 20 cm, więc trzeba przeciągnąć pełny metr liny. Maszyna zwielokrotnia siłę i dzieli drogę, a iloczyn obu tych wielkości – praca – to coś, czego nie może zmienić. To, co może zrobić prawdziwy wciągnik, to stracić część tej pracy na tarcie w osiach oraz na ciężar samego bloku ruchomego, który musi unieść wraz z ładunkiem, a ułamek, który z tego ocala, stanowi jego sprawność.

W tym laboratorium zawiesisz odważnik 1 N na pięcioniciowym wciągniku, pociągniesz za dynamometr, aż ładunek zacznie się wznosić ze stałą prędkością, i odczytasz wymaganą siłę. Powtórzysz pomiar osiem razy, dodając za każdym razem po niutonie aż do 9 N, i dla każdej próby obliczysz stosunek obciążenia do siły ciągnącej. Druga zasada dynamiki Newtona zastosowana do ładunku poruszającego się ze stałą prędkością daje wówczas związek między ciężarem a napięciem liny, a porównanie włożonej pracy z energią potencjalną uzyskaną przez ładunek określa sprawność maszyny.

Cele edukacyjne

Zrozumienie, jak wielokrążek zwielokrotnia siłę

• Policz pasma podtrzymujące zblocze ruchome i przewidź przed zmierzeniem czegokolwiek, że siła pociągowa będzie równa obciążeniu podzielonemu przez tę liczbę.
• Wyjaśnij, dlaczego idealna przełożenie mechaniczne to liczba odgałęzień liny, a nie właściwość samych krążków linowych.

Zastosowanie zasad Newtona do układu w równowadze

• Narysuj wykres ciało-swoboda bloku ruchomego i napisz ΣF = 0 dla ładunku wznoszącego się ze stałą prędkością, otrzymując F_g = 5T, gdzie T jest równe przyłożonej sile.
• Zrozum, że “stała prędkość” to warunek, który sprawia, że analiza staje się zagadnieniem statyki, a szarpnięcie na początku to inny, trudniejszy problem.

Pomiary siły i przemieszczenia

• Użyj dynamometru, aby odczytać stałą siłę ciągnącą, zachowując jednostajny ruch, i oceń wskazanie pod kątem deklarowanej przez producenta dokładności instrumentu, a nie jego wydrukowanych cyfr.
• Zmierz długość wyciągniętej liny w stosunku do wysokości podniesienia ładunku i użyj ich stosunku jako niezależnej weryfikacji liczby splotów.

Praca, energia i sprawność

• Oblicz wykonaną pracę jako W = FΔx oraz uzyskaną energię potencjalną jako E_p = F_gΔy, i zidentyfikuj tę różnicę jako pracę utraconą wewnątrz maszyny.
• Wyraź wydajność na dwa równoważne sposoby — jako E_pi jako stosunek rzeczywistej do idealnej przewagi mechanicznej — i pokaż, że są one tą samą wielkością.

Interpretowanie trendu w serii obciążeń

• Narysuj wykres zmierzonej siły w funkcji obciążenia dla wszystkich dziewięciu prób i zinterpretuj zarówno nachylenie, jak i punkt przecięcia z osią, z których drugi stanowi obciążenie stałe maszyny niezależnie od obciążenia.
• Na podstawie danych zdecyduj, czy straty skalują się wraz z obciążeniem, czy są stałe, i wyjaśnij, co każdy z tych przypadków oznacza dla wydajności mocno obciążonego dźwigu.

Podłączanie maszyny do jej zastosowań

• Powiąż liczbę pasm z rzeczywistym sprzętem – sztankietem teatralnym, zbloczem dźwigu, osprzętem do wyciągania pojazdów – i wyjaśnij kompromis między zaoszczędzoną siłą a długością liny, którą trzeba wybrać.

Protokół

1. Zawiesić ciężar o masie 1 N na zespole bloczków ruchomych (czarny pierścień).
2. Przybliż jedną rękę do końca dynamometru, aby pociągnąć za hak; spowoduje to podniesienie obciążenia ze stałą prędkością.
3. Siła wskazana przez siłomierz jest zapisana w tabeli wyników.
4. Powtórz osiem razy kroki 1 i 2, zwiększając za każdym razem zawieszone obciążenie o 1 N.
5. Dla każdego testu; oblicz stosunek ciężaru obciążenia Fg do wymaganego siły napędowej F.
6. Zastosuj drugie prawo dynamiki Newtona do obciążenia, aby uzyskać zależność między ciężarem a napięciem liny.
7. Oblicz pracę mechaniczną wykonaną przy podnoszeniu ładunku na wysokość 20 cm ze stałą prędkością.
8. Określ wielkość energii potencjalnej uzyskanej przez ładunek.
9. Określ efektywność energetyczną wciągnika.

Przewidywane wyniki

Dziewięć obciążeń, od 1 N do 9 N w krokach co jeden niuton, jest podnoszonych kolejno, a siła potrzebna do podniesienia każdego z nich ze stałą prędkością jest odczytywana z dynamometru. Oczekiwany wzorzec to linia prosta: wymagana siła rośnie proporcjonalnie do obciążenia, do około jednej piątej jego wartości, ponieważ pięć nici dźwiga ciężar. Laboratorium publikuje dwie z dziewięciu prób i są one reprodukowane tutaj jako wartości archiwalne wraz ze wszystkimi informacjami, które można z nich wyprowadzić.

Dlaczego lina przebywa pięć razy dłuższą drogę. Każde z pięciu pasm podtrzymujących blok ruchomy musi ulec skróceniu o wysokość, na jaką wznosi się ładunek. Podniesienie ładunku o Δy = 0,200 m wymaga zatem pobrania Δx = 5 × 0,200 = 1,00 m liny, a ten stosunek przemieszczeń stanowi idealną przełożenie mechaniczne wyrażone w drugi sposób: IMA = Δx/Δy = 5. Jest to bardziej niezawodny z tych dwóch sposobów ustalenia liczby pasm, ponieważ nie wymaga żadnego pomiaru siły – klasa, która nie jest pewna, ile pasm ma wciągnik, powinna zmierzyć długość wciągniętej liny dla znanego podniesienia i podzielić wynik.

Warunek równowagi. Przy wzrastającym obciążeniu ze stałą prędkością nie ma przyspieszenia, więc dla bloku ruchomego i jego obciążenia ΣF = 0: pięć napięć cięgien skierowanych w górę równoważy ciężar wraz z ciężarem samego bloku, 5T = F_g + w_blok. Lina jest ciągła nad krążkami bez tarcia, więc naciąg jest wszędzie wzdłuż niej taki sam i jest równy sile w dłoni, T = F. W idealnym przypadku, przy nieważkim bloku i braku tarcia, redukuje się to do F = F_g/5 — podstawiając największe obciążenie, F = 9,00 / 5 = 1,80 N, zamiast 2,02 N faktycznie potrzebnych.

Warto zwrócić uwagę uczniów na ten numeryczny zbieg okoliczności w tabeli, zamiast pozwalać, by ich dezorientował: idealna siła w niutonach i energia potencjalna w dżulach przyjmują te same wartości, ponieważ lina jest wciągana dokładnie o 1,00 m, a mnożenie przez jeden niczego nie zmienia. Zmień wysokość podnoszenia, a zbieg okoliczności znika, podczas gdy fizyka – nie.

Co mówią dwie zmierzone próby na temat strat. Odejmując siłę idealną od zmierzonej, otrzymuje się narzut siły maszyny. Przy największym obciążeniu, 5F − F_g = 5 × 2,02 − 9,00 = 1,10 N; w przypadku obciążenia niewielkiego: 5 × 0,40 − 2,00 = 0,00 N. Te dwa wyniki nie mogą jednocześnie odnosić się do tej samej maszyny. Ciężar bloku ruchomego jest wielkością stałą, która nie zależy od ciężaru obciążenia, więc jeśli on i tarcie osi łącznie dają 1,10 N przy 9 N, to ta sama wartość 1,10 N musi występować przy obciążeniu 2 N, co dałoby siłę pociągową (2,00 + 1,10)/5 = 0,62 N, a stosunek 3,2 zamiast 5,0. Wartość dla niewielkiego obciążenia wynosząca dokładnie 0,40 N daje stosunek dokładnie równy 5,00 oraz sprawność dokładnie równą 100 %, czego nie jest w stanie osiągnąć żadna maszyna podlegająca masie lub tarciu.

W którą stronę powinna pójść wydajność? Oto pytanie, na które ma odpowiedzieć seria dziewięciu prób, i ma ono tylko dwie obronne odpowiedzi. Jeśli dominującą stratą jest ciężar ruchomego bloku, narzut jest stałą liczbą niutonów, sprawność wynosi F_g/(F_g + w) i to wzrasta w kierunku 100 % wraz ze wzrostem obciążenia — im większe obciążenie, tym mniejsze znaczenie ma masa własna maszyny. Jeśli dominującą stratą jest tarcie osiowe, które rośnie wraz z napięciem liny, straty ogólne stanowią stałą część, a sprawność pozostaje na stałym poziomie w całym zakresie. Wciągnik, którego sprawność maleje wraz ze wzrostem obciążenia, nie jest zgodny z przewidywaniami żadnego z tych mechanizmów, dlatego tendencję spadkową w danych należy traktować jako wynik wymagający zbadania, a nie jako oczekiwany rezultat. Należy sporządzić wykres zależności zmierzonej siły od obciążenia: jego nachylenie wynosi 1/(5η) dla przypadku proporcjonalnego, a punkt przecięcia z osią Osią Y wynosi w/5 dla przypadku stałych kosztów ogólnych, a dziewięć punktów pozwala dokonać wyboru między tymi dwoma przypadkami.

Energia tracona na każde podniesienie. Przy największym obciążeniu wykonana praca wynosi 2,02 J, a ładunek zyskuje 1,80 J, tak więc 0,22 J zostaje w maszynie jako ciepło w osiach oraz praca wykonana przy podnoszeniu samego bloku ruchomego. Na przestrzeni stu podniesień daje to 22 J — niewiele w tym przypadku, ale ta sama arytmetyka zastosowana do dźwigu podnoszącego tonę na wysokość dziesięciu metrów dostarcza prawie jedenaście megadżuli do ładunku i ponad megadżul do bloku oraz jego łożysk, dlatego prawdziwe wciągniki używają łożysk kulkowych, a ich sprawność jest wielkością ekonomiczną, a nie akademicką.

Podsumowanie zadania według zakresu ocen

Klasy 9–10

Skupienie: dostrzeżenie redukcji siły i jej prawidłowe opisanie. Uczniowie liczą pasma podtrzymujące blok ruchomy, przewidują siłę ciągnącą dla każdego obciążenia przed jej zmierzeniem i uzupełniają dziewięciopróbną tabelę obciążenia względem siły. Mierzą linę wciągniętą na wysokość 20 cm i stwierdzają, że ma ona metr długości, co mówi im, że maszyna oddaje w odległości to, co oszczędza na sile. Oczekiwane wnioski: wciągnik zmniejsza wymaganą siłę około pięciokrotnie, nie zmniejsza wysiłku w sensie pracy, a zmierzona siła jest zawsze nieco większa niż jedna piąta obciążenia, a nie dokładnie jedna piąta. Słownictwo, które należy poprawnie wykorzystać: obciążenie, naciąg, przełożenie mechaniczne, praca, sprawność.

Klasa 11

Skupienie: traktowanie ilościowe. Studenci piszą ΣF = 0 dla ruchomego bloku, wyprowadzają F_g = 5T, i obliczyć dla każdej próby stosunek F_g/F, praca w W = FΔx, zyskana energia E_p = F_gΔy oraz sprawność E_pNanoszą zmierzoną siłę w funkcji obciążenia i wyznaczają zarówno nachylenie, jak i punkt przecięcia z osią, a następnie sprawdzają, czy sprawność uzyskana z energii jest zgodna ze sprawnością uzyskaną ze stosunku sił podzielonego przez pięć – algebraicznie są to te same wartości, a uzyskanie dwóch różnych wyników oznacza błąd arytmetyczny. Głównym tematem dyskusji jest to, co fizycznie reprezentuje punkt przecięcia z osią.

Klasa 12 / Poziom akademicki

Skupienie: rozróżnienie mechanizmów strat i oszacowanie wyniku. Studenci modelują maszynę na dwa sposoby — stałe koszty ogólne, F = (F_g + w)/5, oraz strata proporcjonalna, F = F_g/(5η) — dopasuj je do obu dziewięciu punktów i zdecyduj, które z nich popierają dane. Ćwiczenie końcowe polega na bezpośrednim zmierzeniu ciężaru ruchomego bloku i sprawdzeniu, czy wyjaśnia on punkt przecięcia; jeśli tak nie jest, reszta to tarcie i sztywność liny, a jej wielkość można podać.

Podstawowe wyposażenie laboratorium

Instrumenty

• Wciągnik (wciągnik pięciokrążkowy, z ruchomym blokiem krążkowym)
• Dynamometr
• Odważniki, od 1 N do 9 N co 1 N
• linijka 50 cm

Produkty

Brak — to laboratorium nie używa żadnych odczynników chemicznych.