086 – 호이스트의 작동

호이스트는 도르래 묶음, 즉 고정된 도르래 뭉치와 움직이는 도르래 뭉치 사이를 로프가 왕복하며 통과하여 하중이 하나의 로프가 아닌 여러 가닥의 로프에 동시에 매달리도록 하는 장치이다. 건설 현장의 크레인, 공연장의 무대 장치 매달기 시스템, 세일링 보트의 메인시트, 차고의 엔진 리프트는 모두 같은 기계이며, 모두 같은 이유로 존재한다. 즉, 사람은 짧은 시간 동안 힘껏 당길 수는 있지만 몇 백 뉴턴의 힘으로는 아예 당길 수 없기 때문이다.

그 원리는 하중의 무게가 가동 도르래를 지지하는 가닥들 사이에 균등하게 분배된다는 것이다. 그러한 가닥이 다섯 개인 경우, 각 가닥은 무게의 5분의 1을 지탱하며, 로프의 자유 끝단은 단순히 그 가닥들 중 마지막 가닥이므로 손이 당기는 힘은 5분의 1에 불과하다. 공짜로 얻어지는 것은 없다. 하중을 20cm 들어 올리려면 다섯 가닥 각각이 20cm씩 짧아져야 하므로, 결과적으로 1미터 전부에 달하는 로프를 당겨야 한다. 기계는 힘을 증폭시키고 거리를 나누며, 그 둘의 곱인 일(work)은 기계가 바꿀 수 없는 것이다. 실제 호이스트가 할 수 있는 일은 축의 마찰과 하중과 함께 들어 올려야 하는 가동 도르래의 무게로 인해 그 일의 일부를 손실하는 것이며, 살아남는 비율이 바로 효율이다.

이 실험실에서는 5가닥의 도르래 묵음(호이스트)에 1 N의 추를 매달고, 하중이 일정한 속도로 상승할 때까지 용수철저울(다이너모미터)을 당겨 필요한 힘을 측정합니다. 9 N이 될 때까지 매번 1 뉴턴씩 추가하여 이 측정을 8번 더 반복하고, 모든 시행에 대해 당기는 힘에 대한 하중의 비를 계산합니다. 등속도 운동하는 하중에 뉴턴의 제2법칙을 적용하면 무게와 줄의 장력 사이의 관계가 도출되며, 투입한 일과 하중이 얻은 위치에너지(퍼텐셜 에너지)를 비교하면 기계의 효율을 알 수 있습니다.

교육 목표

도 블록 앤 태클이 힘을 증폭시키는 원리 이해하기

• 움직도드레를 지지하는 줄의 가닥 수를 세고, 무엇을 측정하기 전에 당기는 힘이 그 숫자로 나눈 하중이 될 것이라고 예측하십시오.
• 이상적 기계적 이점은 도르래 자체의 속성이 아니라 줄 가닥의 개수인 이유는, 도르래는 단순히 줄의 방향을 바꾸어 주는 역할만 할 뿐 힘을 실제로 증폭시키는 것은 하중을 지탱하는 줄 가닥들이 나누어 받기 때문입니다. 즉, 입력된 힘이 여러 가닥의 줄로 분산되면서 각 가닥이 하중의 일부분씩을 나누어 지탱하므로, 전체 하중을 들어 올리는 데 필요한 힘이 줄어드는 원리는 도르래의 크기나 재질이 아니라 오직 줄의 개수에 의해 결정됩니다.

평형 상태의 계에 뉴턴의 법칙 적용하기

• 움직도들의 자유물체도를 그리고, 등속도로 상승하는 하중에 대해 ΣF = 0을 작성하여 F를 구하시오._g = 적용된 힘과 같은 T에 대하여 5T.
• “등속도’가 해석을 정역학 문제로 만드는 조건이며, 시작할 때의 저크(jerk)는 다르고 더 어려운 문제임을 인식하라.

힘과 변위 측정

• 동력계를 사용하여 움직임을 균일하게 유지하면서 일정한 당기는 힘을 측정하고, 인쇄된 자릿수가 아니라 기기에 명시된 정밀도와 비교하여 측정값을 판단하십시오.
• 당겨진 로프의 길이를 하중이 들어 올 높이와 비교하여 측정하고, 그 비율을 가닥 수에 대한 독립적인 검증 수단으로 활용하라.

일, 에너지 및 효율

• W = FΔx로 투입된 일을 계산하고 E로 얻어진 위치에너지를 계산하라_p = F_gΔy이며, 그 차이를 기계 내부에서 손실된 일로 식별합니다.
• 효율을 두 가지 동등한 방법으로 표현합니다 — E로_p그리고 실제 기계적 이득 대 이상적인 기계적 이득의 비율로서 — 그리고 그것들이 같은 양임을 보여라.

일련의 하중 데이터에 걸친 추세 해석

• 아홉 번의 모든 실험에 대해 측정한 힘을 하중의 함수로 그래프로 그리고, 그 기울기와 절편을 모두 해석하십시오. 절편은 하중과 무관하게 기계가 지탱하는 오버헤드입니다.
• 데이터를 바탕으로 손실이 부하에 따라 증가하는지(비례하는지) 아니면 고정되어 있는지를 판단하고, 각 경우가 과부하 상태의 크레인 효율에 무엇을 의미하는지 설명하시오.

기계를 용도에 연결하기

• 가닥 수를 실제 장비—극장 카운터웨이트 라인, 크레인 블록, 차량 구난용 도르래—와 연관시키고, 절약되는 힘과 당겨야 하는 줄의 길이 사이의 상충 관계를 설명하십시오.

프로토콜

1. 움직 도르래 조립(검은색 고리)에 1N의 무게를 매다시오.
2. 다이나모미터 끝에 손을 가져가 갈고리를 당기면 하중이 일정한 속도로 올라갑니다.
3. 동력계로 표시된 힘은 결과 표에 기록된다.
4. 1단계와 2단계를 각각 8회 더 반복하되, 반복할 때마다 매달린 무게를 1N씩 늘립니다.
5. 각 테스트마다 부하의 무게 Fg와 필요한 구동력 F의 비율을 계산합니다.
6. 하중에 뉴턴의 제2법칙을 적용하여 무게와 로프의 장력 사이의 관계를 얻습니다.
7. 20cm 높이로 일정한 속도로 물체를 들어 올리는 데 필요한 역학적 일을 계산하십시오.
8. 부하가 얻은 위치에너지의 양을 결정하시오.
9. 호이스트의 에너지 효율을 결정하십시오.

예상 결과

1뉴턴 간격으로 1뉴턴부터 9뉴턴까지의 9가지 하중을 차례대로 들어 올리며 각각을 일정한 속도로 끌어올리는 데 필요한 힘을 용수철저울로 측정합니다. 다섯 가닥의 줄이 무게를 나누어 지탱하기 때문에, 예상되는 패턴은 직선입니다. 즉, 필요한 힘은 하중에 비례하여 하중 값의 약 5분의 1만큼 증가합니다. 실험실 측은 9회의 실험 중 2회를 공개했으며, 이 값들은 도출해 낼 수 있는 모든 내용과 함께 기록 값으로 여기에 재현되어 있습니다.

재판	F 로드g	측정된 힘 F	비율 Fg/F	끌어당긴 밧줄	일 W = FΔx	에너지 획득 Ep = FgΔy	효율성
경부하 예제	2.00 N	0.40 N	5.00	1.00 m	0.40 J	0.40 J	100 %
가장 무거운 하중	9.00 N	2.02 N	4.46	1.00 m	2.02 J	1.80 J	89 %

로프가 다섯 배 더 멀리 이동하는 이유. 움직도블록을 지탱하는 다섯 가닥의 줄은 각각 하중이 올라가는 높이만큼 짧아져야 합니다. 따라서 하중을 $\Delta y = 0.200\text{ m}$만큼 올리는 데는 $\Delta x = 5 \times 0.200 = 1.00\text{ m}$의 줄이 소요되며, 그 변위 비는 다른 방식으로 표현한 이상적 기계적 이득이 됩니다: $\text{IMA} = \Delta x / \Delta y = 5$. 이것은 힘을 전혀 측정하지 않기 때문에 줄의 가닥 수를 확인하는 두 가지 방법 중 더 신뢰할 수 있는 방법입니다. 따라서 호이스트에 줄이 몇 가닥 감겨 있는지 확실히 모르는 경우라면 알려진 높이만큼 들어 올릴 때 당겨진 줄의 길이를 측정하여 나누면 됩니다.

평형 상태. 하중이 일정한 속도로 상승할 때 가속도는 없으므로, 움직도르래와 그 하중계에 대해 ΣF = 0이다: 다섯 개의 위쪽 줄 장력이 도르래 자체의 무게와 함께 하중의 무게를 지탱하므로, 5T = F이다._g + w_차단하다. 줄이 마찰이 없는 도르래들을 따라 연속적으로 이어져 있으므로, 장력은 줄을 따라 모든 곳에서 동일하며 손에서의 힘과 같다 ($T = F$). 무게가 없고 마찰이 없는 이상적인 경우, 이는 $F = F$로 간단해진다._g/5 — 가장 무거운 하중을 대입하면, F = 9.00/5 = 1.80 N이 되며, 이는 실제로 필요한 2.02 N과 대조됩니다.

F 로드g	이상적인 힘 Fg/5	0.200 m 들어 올리기 위해 당겨진 로프	에너지 획득 Ep	이상적인 근무 환경
1.00 N	0.20 N	1.00 m	0.20 J	0.20 J
2.00 N	0.40 N	1.00 m	0.40 J	0.40 J
3.00 N	0.60 N	1.00 m	0.60 J	0.60 J
4.00 N	0.80 N	1.00 m	0.80 J	0.80 J
5.00 N	1.00 N	1.00 m	1.00 J	1.00 J
6.00 N	1.20 N	1.00 m	1.20 J	1.20 J
7.00 N	1.40 N	1.00 m	1.40 J	1.40 J
8.00 N	1.60 N	1.00 m	1.60 J	1.60 J
9.00 N	1.80 N	1.00 m	1.80 J	1.80 J

그 표에 있는 수치적 우연은 학생들이 혼란스러워하도록 내버려두기보다 짚어줄 가치가 있습니다. 줄이 정확히 1.00 m만큼 당겨지고 1을 곱하는 것은 아무것도 바꾸지 않기 때문에, 뉴턴 단위의 이상적인 힘과 줄 단위의 위치 에너지는 같은 숫자를 갖습니다. 리프트 높이를 바꾸면 물리학은 그대로인 채 그 우연은 사라집니다.

두 번의 측정된 시험이 손실에 대해 말해주는 것. 측정된 힘에서 이상적인 힘을 빼면 기계의 오버헤드가 산출됩니다. 가장 무거운 부하에서, 5F − F_g = 5 × 2.02 − 9.00 = 1.10 N; 경하중 예시의 경우, 5 × 0.40 − 2.00 = 0.00 N이다. 이 두 결과는 같은 기계를 설명할 수 없다. 이동 블록의 무게는 하중의 무게와 무관한 고정된 양이므로, 9 N에서 이동 블록의 무게와 차축 마찰력이 합쳐서 1.10 N을 차지한다면, 2 N에서도 동일한 1.10 N이 존재해야 하며, 이 경우 인력은 (2.00 + 1.10)/5 = 0.62 N이 되고 비율은 5.0이 아닌 3.2가 됩니다. 정확히 0.40 N인 경하중 수치는 정확히 5.00의 비율과 정확히 100 %의 효율을 나타내는데, 이는 질량이나 마찰이 있는 어떤 기계도 도달할 수 없는 수치입니다.

효율성은 어느 방향으로 가야 합니까? 이것이 바로 9심판 시리즈가 존재하여 답하고자 하는 질문이며, 방어 가능한 답은 단 두 개뿐이다. 만약 지배적인 손실이 가동 블록의 무게라면, 오버헤드는 뉴턴 단위의 일정한 수이고, 효율은 F이다._g/(F_g + w) 및 그것 상승한다 하중이 증가함에 따라 100 %에 가까워집니다. 즉, 하중이 무거울수록 기계 자체의 무게가 미치는 영향은 줄어듭니다. 만약 로프의 장력에 따라 증가하는 차축 마찰이 주된 손실 원인이라면, 간접 손실은 일정한 비율을 차지하며 효율은 일련의 조건 전반에 걸쳐 일정하게 유지됩니다. 하중이 증가할수록 효율이 떨어지는 호이스트는 두 기전 모두에서 예측하는 바가 아니므로, 데이터에서 나타나는 하향 추세는 예상된 결과라기보다는 조사해야 할 발견 사항으로 간주해야 한다. 작성해야 할 그래프는 하중에 대한 측정된 힘의 그래프이다. 비례형(proportional)의 경우 기울기는 1/(5η)이고, 고정 오버헤드(fixed-overhead)형의 경우 절편은 w/5이며, 9개의 데이터 점이 두 경우 중 어느 쪽에 해당하는지 결정해 준다.

들어 올릴 때마다 손실되는 에너지. 가장 무거운 하중에서 투입된 일은 2.02 J이고 하중은 1.80 J을 얻으므로, 0.22 J은 축의 열과 가동 블록 자체를 들어 올리는 일로서 기계 내부에 남게 됩니다. 백 번 들어 올리면 이는 22 J이 되는데, 여기서는 사소하지만, 1톤을 10미터 들어 올리는 크레인에 동일한 산술을 적용하면 하중에 거의 11메가줄이 들어가고 블록과 그 베어링에 1메가줄 이상이 들어가게 됩니다. 이것이 실제 호이트가 볼 베어링을 사용하는 이유이며, 그 효율성이 학술적 수치가 아닌 경제적 수치인 이유입니다.

학년별 과제 요약

9~10학년

집중 힘의 감소를 정확히 관찰하고 서술하기. 학생들은 가동 도르래를 지지하는 줄의 가닥 수를 세고, 측정하기 전에 각 하중별 당기는 힘을 예측하며, 하중과 힘을 대조하는 9회의 실험 표를 완성한다. 그들은 20 cm를 들어 올리기 위해 당겨진 줄의 길이가 1 미터임을 측정하고, 이를 통해 이 기계가 힘에서 이득을 보는 만큼 거리에서 손해를 본다는 것을 알게 된다. 예상되는 결론: 호이스트는 필요한 힘을 약 5분의 1로 줄여주지만, 일(work)의 관점에서 노력(일의 양)을 줄여주는 것은 아니며, 측정된 힘은 정확히 5분의 1이라기보다는 항상 5분의 1보다 약간 더 크다. 올바르게 사용해야 할 용어: 하중(load), 장력(tension), 기계적 이득(mechanical advantage), 일(work), 효율(efficiency).

11학년

집중 정량적 처리. 학생들은 움직이는 도르래에 대해 ΣF = 0을 작성하고, F를 유도합니다._g = 5T이며, 모든 시행에 대해 비율 F를 계산합니다._gW = FΔx에서의 일 F, 얻은 에너지 E_p = F_gΔy와 효율 E_p그들은 측정된 힘을 하중의 함수로 그래프에 플롯하여 기울기와 y절편을 모두 구한 다음, 에너지로부터 얻은 효율이 힘의 비를 5로 나눈 값에서 얻은 효율과 일치하는지 확인한다. 이 둘은 대수적으로 동일한 값이므로 두 가지 다른 결과가 나온다는 것은 산술적 실수가 있음을 의미한다. 논의의 목표는 y절편이 물리적으로 무엇을 나타내는지 밝히는 것이다.

12학년 / 대학교 수준

집중 손실 메커니즘을 구별하고 그 결과를 제한하기. 학생들은 기계를 두 가지 방식으로 모델링합니다 — 고정 오버헤드, F = (F_g + w)/5, 그리고 비례 손실, F = F_g/(5η) — 9개의 점 모두에 맞추고 데이터가 어느 쪽을 지지하는지 결정합니다. 결론부의 연습문제는 가동 블록의 무게를 직접 측정하여 그것이 절편을 설명하는지 확인하는 것입니다; 만약 그렇지 않다면, 나머지는 마찰력과 로프의 뻣뻣함이며, 그 크기를 산출할 수 있습니다.

실험실 필수품

악기

• 호이스트 (가동 도르래 뭉치가 있는 5가닥 도르래와 밧줄 세트)
• 동력계
• 추가 무게, 1 N 단위로 1 N에서 9 N까지
• 50cm 자

제품

없음 — 이 실험실에서는 화학 시약을 전혀 사용하지 않습니다.