085 – La relazione tra la deformazione di una molla e la forza di richiamo che essa esercita

Le molle sono tra i componenti meccanici più utili mai ideati: sospendono i veicoli, chiudono le porte, fanno funzionare gli orologi e fanno rientrare le penne a scatto. Lo strumento che un laboratorio utilizza per misurare la forza — il dinamometro — è esso stesso nient'altro che una molla tarata, quindi comprendere come una molla risponde a un carico significa comprendere come viene misurata la forza stessa. La risposta è descritta dalla legge di Hooke: entro il suo campo elastico, una molla esercita una forza di richiamo proporzionale al suo allungamento, F = kΔl, dove la costante elastica k misura la rigidità di quella particolare molla. La proporzionalità è il punto chiave — raddoppiare il carico raddoppia l'allungamento — ed è ciò che rende una molla utilizzabile come strumento di misura. In questo laboratorio, sospenderete una molla da un sostegno, la caricherete con pesi da 1 N a 9 N a passi uguali e leggerete l'allungamento prodotto da ciascun carico rispetto a un righello fisso. Riportando in un grafico la forza di richiamo in funzione dell'allungamento emergerà quindi la relazione lineare, e la pendenza di tale retta rappresenta la costante elastica stessa.

Obiettivi Educativi

Familiarizzazione con l'ambiente di laboratorio

• Montare un sistema a molla sospesa utilizzando un supporto universale, un morsetto, una molla e un righello fisso.
• Attacca e rimuovi i pesi a incrementi controllati senza rilasciare improvvisamente la molla.

Uso di strumenti di misura

• Leggere le posizioni su un righello fisso all'altezza degli occhi, riconoscendo la parallasse come il principale errore di lettura.
• Lasciare che la molla carica si stabilisca completamente prima di effettuare la misurazione, poiché una molla oscillante non ha un unico allungamento.

Comprensione della legge di Hooke

• Stabilire sperimentalmente che la forza di richiamo di una molla è proporzionale al suo allungamento, F = kΔl.
• Determinare la costante elastica k di una molla reale dai dati misurati.

Analisi grafica e matematica

• Riporta in grafico la forza in funzione dell'allungamento, adatta una linea retta passante per l'origine ed estrai k dalla sua pendenza.
• Convertire la costante elastica tra i sistemi di unità (N/cm e N/m) e utilizzarla per prevedere l'allungamento di un carico non testato.

Analisi critica dei risultati

• Valutare quali nove punti misurati consentono di stabilire ciò che una singola misurazione non è in grado di determinare: la linearità della relazione, non solo la sua entità.
• Collega il principio della molla tarata a sistemi reali: sospensioni di veicoli, dinamometri e bilance a molla.

Protocollo

1. Appendi una morsa al supporto universale.
2. Aggancia la molla al morsetto.
3. Fissa il righello al morsetto accanto alla molla.
4. Misura la distanza tra il tavolo e la parte inferiore del gancio a molla.
5. Appendere un peso di 1 N alla molla.
6. Il valore della forza di ripristino è registrato nella tabella dei risultati.
7. Attendere che il peso abbia smesso di oscillare e misurare la distanza tra il tavolo e la parte inferiore della molla.
8. Ripetere i passaggi da 5 a 7 aumentando ogni volta il peso sospeso di 1 N.

Risultati Previsti

Risultati misurati. La distanza registrata è dal tavolo alla parte inferiore della molla, quindi diminuisce mentre la molla si allunga. L'allungamento è la differenza rispetto alla lettura senza carico: Δl = d₀ − d.

Legge di Hooke. All’interno del proprio intervallo elastico, una molla si allunga in modo direttamente proporzionale alla forza che le viene applicata e reagisce con una forza di pari entità diretta verso la propria posizione di riposo:

F = k Δl   oppure, espressa come forza di richiamo con la relativa direzione,   F = −k Δl

La costante k è la rigidità di quella particolare molla. Prendendo una qualsiasi riga della tabella, k = F / Δl = 1,0 N / 2,0 cm = 0,500 N/cm, ovvero 50 N/m in unità SI. L'ultima colonna mostra che ciascuna delle nove misurazioni restituisce lo stesso valore, quindi in linea di principio sarebbe bastata una sola lettura — ma il fatto che ce ne siano nove dimostra che la proporzionalità è effettivamente valida, anziché essere solo una coincidenza in un singolo punto.

Come interpretare il grafico. Se si traccia un grafico della forza in funzione dell'allungamento, si ottiene una retta che passa per l'origine. Entrambe le caratteristiche hanno un significato. Il rettilineità afferma che la rigidità non varia man mano che la molla si estende. Il fatto che attraversi il origine afferma che non è necessaria alcuna forza per ottenere un'estensione pari a zero: non c'è gioco da compensare né pretensione nella molla. La pendenza è k, quindi il grafico rappresenta il metodo standard per misurare la costante elastica: si calcola il gradiente, non una singola coppia di valori.

Energia immagazzinata nella molla. Poiché la forza aumenta man mano che la molla si allunga, il lavoro svolto nel tenderla non è semplicemente pari al prodotto della forza per la distanza, bensì all’area sotto la linea, che è un triangolo:

E = ½ k Δl²

Con un carico massimo di 9 N, l'allungamento è pari a 0,18 m, quindi E = ½ × 50 × 0,18² = 0,81 J. Nota che il raddoppio dell'allungamento quadruplica l'energia immagazzinata, motivo per cui l'allungamento appare al quadrato mentre la forza no.

Riepilogo del compito per intervallo di voti

Classe 9-10

Focus: l'elasticità come fenomeno osservabile e misurabile. Gli studenti assemblano il sistema a molla, appendono ciascun peso da 1 N a 9 N, registrano la posizione del righello a riposo e calcolano l'allungamento prodotto da ciascun carico. Tracciano il grafico della forza in funzione dell'allungamento su carta millimetrata e descrivono lo schema a parole: uguali incrementi di forza producono uguali incrementi di allungamento. L'enfasi è posta sulla lettura attenta e ripetibile del righello e sull'organizzazione delle misurazioni in una tabella chiara.

Undicesimo anno

Obiettivo: la forma quantitativa della legge di Hooke. Gli studenti determinano la costante elastica dalla pendenza del loro grafico, la esprimono sia in N/cm che in N/m e verificano le singole righe della tabella rispetto a F = kΔl. Usano la costante ricavata dal fit per prevedere l'allungamento di un carico che non hanno testato e discutono del motivo per cui il grafico dovrebbe passare per l'origine. La gestione delle unità di misura — da centimetri a metri, da N/cm a N/m — è trattata come parte della fisica, e non come un aspetto secondario.

12ª classe / Livello universitario

Focus: energia immagazzinata in un sistema elastico. Gli studenti calcolano l'energia potenziale elastica immagazzinata al carico massimo come l'area sotto la retta forza-allungamento, E = ½k(Δl)², e la verificano rispetto al grafico geometricamente. Interpolano la pendenza con il metodo dei minimi quadrati anziché a occhio.

Materiale essenziale di laboratorio

Strumenti

• Molla (k = 0,5 N/cm)
• righello da 50 cm
• Supporto e morsetto
• Pesi (da 1 a 9 N)

Prodotti

Nessuno — questo laboratorio non utilizza alcun reagente chimico.