085 – Zależność między odkształceniem sprężyny a siłą przywracającą, którą ona wywiera

Sprężyny należą do najbardziej użykowych elementów mechanicznych, jakie kiedykolwiek wynaleziono: amortyzują pojazdy, zamykają drzwi, napędzają zegarki i wysuwają długopis. Przyrząd używany w laboratorium do pomiaru siły – siłomierz lub dynamometr – jest w gruncie rzeczy jedynie wyskalowaną sprężyną, tak więc zrozumienie, jak sprężyna reaguje na obciążenie, jest zrozumieniem, jak mierzy się samą siłę. Reakcja ta opisana jest prawem Hooke'a: w zakresie sprężystości sprężyna wywiera siłę powrotną proporcjonalną do swojego wydłużenia, F = kΔl, gdzie stała sprężyny k określa sztywność tej konkretnej sprężyny. Ta proporcjonalność jest kluczowa – podwojenie obciążenia podwaja rozciągnięcie – i to właśnie czyni sprężynę użyteczną jako przyrząd pomiarowy. W tym laboratorium zawiesisz sprężynę na statywie, obciążysz ją odważnikami od 1 N do 9 N w równych odstępach i odczytasz wydłużenie wywołane przez każde obciążenie za pomocą przymocowanej linijki. Wykreślenie siły powrotnej w funkcji wydłużenia ujawnia wówczas liniową zależność, a nachylenie tej prostej stanowi samą stałą sprężyny.

Cele edukacyjne

Zapoznanie się ze środowiskiem laboratoryjnym

• Zmontuj zawieszony układ sprężynowy z uniwersalnego stojaka, łapy, sprężyny i przymocowanej linijki.
• Dołączaj i zdejmuj obciążniki w kontrolowanych przyrostach, bez nagłego zwalniania sprężyny.

Stosowanie przyrządów pomiarowych

• Odczytuj pozycje na stałej linijce na wysokości oczu, uwzględniając paralaksę jako główny błąd odczytu.
• Pozwól napiętej sprężynie całkowicie się zatrzymać przed dokonaniem pomiaru, ponieważ drgająca sprężyna nie ma jednej określonej długości wydłużenia.

Zrozumienie prawa Hooke’a

• Udowodnij doświadczalnie, że siła sprężystości sprężyny jest proporcjonalna do jej wydłużenia, F = kΔl.
• Wyznacz współczynnik sprężystości $k$ rzeczywistej sprężyny na podstawie zmierzonych danych.

Analiza graficzna i matematyczna

• Należy wykreślić wykres zależności siły od wydłużenia, dopasować do niego prostą przechodzącą przez punkt początkowy, a następnie wyznaczyć wartość k na podstawie nachylenia tej prostej.
• Przelicz stałą sprężystości między układami jednostek (N/cm i N/m) i wykorzystaj ją do oszacowania wydłużenia przy nieznanym obciążeniu.

Krytyczna analiza wyników

• Zastanów się, co pozwala ustalić dziewięć punktów pomiarowych, czego nie da się ustalić na podstawie pojedynczego pomiaru: liniowość zależności, a nie tylko jej wielkość.
• Odnieś zasadę działania sprężyny kalibrowanej do rzeczywistych układów — zawieszeń pojazdów, mierników siły i wag sprężynowych.

Protokół

1. Zawiesić zacisk na uniwersalnym wsporniku.
2. Zaczep sprężynę do zacisku.
3. Przymocuj linijkę do zacisku obok sprężyny.
4. Zmierz odległość między stołem a dolną częścią haczyka sprężynowego.
5. Zawiesić ciężar o masie 1 N na sprężynie.
6. Wartość siły przywracającej została zapisana w tabeli wyników.
7. Poczekaj aż ciężar przestanie drgać i zmierz odległość między stołem a dołem sprężyny.
8. Powtórz kroki od 5 do 7, za każdym razem zwiększając zawieszone obciążenie o 1 N.

Przewidywane wyniki

Wyniki pomiarów. Zarejestrowana odległość dotyczy odległości od stołu do dolnej krawędzi sprężyny, więc spadki podczas gdy sprężyna się rozciąga. Wydłużenie to różnica względem odczytu dla sprężyny nieobciążonej: Δl = d₀ − d.

Prawo Hooke’a. W swoim zakresie sprężystym sprężyna rozciąga się wprost proporcjonalnie do przyłożonej do niej siły i odciąga z siłą o tej samej wielkości skierowaną w stronę jej położenia równowagi:

F = k Δl   lub, zapisane jako siła przywracająca wraz z jej kierunkiem,   F = −k Δl

Stała k określa sztywność tej konkretnej sprężyny. Biorąc dowolny wiersz z tabeli, k = F / Δl = 1,0 N / 2,0 cm = 0,500 N/cm, co oznacza 50 N/m w jednostkach SI. Ostatnia kolumna pokazuje, że każdy z dziewięciu pomiarów daje tę samą wartość, więc w zasadzie wystarczyłby jeden odczyt — jednak dziewięć pomiarów potwierdza, że zależność proporcjonalna rzeczywiście ma miejsce, a nie jest jedynie przypadkowym zbiegiem w jednym punkcie.

Jak odczytywać wykres. Wykreślenie wykresu zależności siły od wydłużenia daje prostą przechodzącą przez punkt początkowy. Obie te cechy mają swoje znaczenie. prostość twierdzi, że sztywność nie zmienia się w miarę rozciągania się sprężyny. Fakt, że przechodzi przez pochodzenie mówi, że nie jest potrzebna żadna siła do wytworzenia zerowego wydłużenia – nie ma luzu do zlikwidowania ani wstępnego napięcia w sprężynie. Nachylenie wynosi k, więc wykres jest standardowym sposobem pomiaru współczynnika sprężystości: bierze się nachylenie, a nie pojedynczą parę odczytów.

Energia zgromadzona w sprężynie. Ponieważ siła rośnie wraz z rozciąganiem się sprężyny, praca wykonana podczas jej rozciągania nie jest po prostu iloczynem siły i odległości, lecz polem pod krzywą, które ma kształt trójkąta:

E = ½ k Δl²

Przy pełnym obciążeniu wynoszącym 9 N wydłużenie wynosi 0,18 m, więc E = ½ × 50 × 0,18² = 0,81 J. Zwróć uwagę, że podwojenie wydłużenia czterokrotnie zwiększa zmagazynowaną energię, dlatego wydłużenie występuje w kwadracie, podczas gdy siła nie.

Podsumowanie zadania według zakresu ocen

Klasy 9–10

Skupienie: elastyczność jako obserwowalne, mierzalne zjawisko. Uczniowie składają układ sprężynowy, zawieszają każdy ciężarek od 1 N do 9 N, rejestrują pozycję linijki w spoczynku i obliczają wydłużenie wywołane przez każde obciążenie. Rysują wykres siły w funkcji wydłużenia na papierze milimetrowym i opisują zaobserwowaną regułę słownie: równe przyrosty siły wywołują równe przyrosty rozciągnięcia. Nacisk kładzie się na dokładny, powtarzalny odczyt z linijki oraz na uporządkowanie pomiarów w przejrzystej tabeli.

Klasa 11

Koncentracja: ilościowa postać prawa Hooke'a. Uczniowie wyznaczają współczynnik sprężystości z nachylenia swojego wykresu, wyrażają go zarówno w N/cm, jak i N/m, oraz sprawdzają poszczególne wiersze tabeli pod kątem wzoru F = kΔl. Wykorzystują dopasowaną stałą do przewidzenia wydłużenia dla obciążenia, którego nie badali, oraz omawiają, dlaczego wykres powinien przechodzić przez początek układu współrzędnych. Operowanie jednostkami – od centymetrów do metrów, od N/cm do N/m – jest traktowane jako integralna część fizyki, a nie drugorzędna kwestia.

Klasa 12 / Poziom akademicki

Skupienie: energia zgromadzona w układzie sprężystym. Uczniowie obliczają energię potencjalną sprężystości zgromadzoną przy maksymalnym obciążeniu jako pole pod linią siła–wydłużenie, $E = ½k(\Delta l)^2$, i weryfikują ją geometrycznie na podstawie wykresu. Dopasowują nachylenie za pomocą metod najmniejszych kwadratów zamiast "na oko".

Podstawowe wyposażenie laboratorium

Instrumenty

• Sprężyna (k = 0,5 N/cm)
• linijka 50 cm
• Stojak i zacisk
• Ciężarki (od 1 do 9 N)

Produkty

Brak — to laboratorium nie używa żadnych odczynników chemicznych.