085 – Vztah mezi deformací pružiny a její vratnou silou

Pružiny patří k nejužitečnějším mechanickým součástem, jaké kdy byly vynalezeny: odpružují vozidla, zavírají dveře, pohánějí hodinky a vracejí zasouvací pera. Přístroj, který laboratoř používá k měření síly – Newtonmetr neboli dynamometr – sám o sobě není ničím jiným než kalibrovanou pružinou, takže porozumět tomu, jak pružina reaguje na zátěž, znamená porozumět tomu, jak se měří samotná síla. Tuto odezvu popisuje Hookův zákon: v rámci své mezní pružnosti působí pružina vratnou silou úměrnou svému prodloužení, F = kΔl, kde tuhostní konstanta pružiny k určuje tuhost dané pružiny. Právě tato úměrnost je podstatná – zdvojnásobení zátěže zdvojnásobí protažení – a právě ta činí z pružiny použitelné měřicí zařízení. V této laboratoři zavěsíte pružinu na stojan, zatížíte ji závažím od 1 N do 9 N v(= ve) stejných krocích a na pevném pravítku odečtete prodloužení způsobené každým zatížením. Vynesení vratné síly v závislosti na prodloužení pak odhalí lineární vztah a sklon této přímky představuje samotnou konstantu pružiny.

Vzdělávací cíle

Seznámení s laboratorním prostředím

• Sestavte zavěšený pružinový systém z univerzálního držáku, svorky, pružiny a pevného pravítka.
• Připojujte a odstraňujte závaží v kontrolovaných přírůstcích, aniž byste pružinu náhle uvolnili.

Použití měřicích přístrojů

• Odčítejte pozice na pevném pravítku v úrovni očí a uvědomujte si paralaxu jako hlavní chybu měření.
• Před měřením nechte napjatou pružinu zcela v klidu, protože kmitající pružina nemá jediné prodloužení.

Pochopení Hookova zákona

• Experimentálně dokažte, že vratná síla pružiny je úměrná jejímu prodloužení, F = kΔl.
• Určete tuhost pružiny $k$ reálné pružiny z naměřených dat.

Grafická a matematická analýza

• Vyneste sílu v závislosti na prodloužení, proložte přímku počátkem a z její směrnice určete $k$.
• Převeďte tuhost pružiny mezi soustavami jednotek (N/cm a N/m) a použijte ji k předpovědi prodloužení netestovaného zatížení.

Kritická analýza výsledků

• Zhodnoťte, co devět naměřených bodů prokazuje, co jedno měření nedokáže: linearitu vztahu, nejen jeho velikost.
• Princip kalibrované pružiny v reálných systémech – v závěsech vozidel, siloměrech a pružinových vahách.

Protokol

1. Připevněte svorku na univerzální držák.
2. Připojte pružinu ke svorce.
3. Připevněte pravítko ke svorce vedle pružiny.
4. Změřte vzdálenost mezi stolem a spodní částí háčku pružiny.
5. Zavěste na pružinu závaží o hmotnosti 1 N.
6. Hodnota vratné síly je zaznamenána v tabulce výsledků.
7. Počkejte, až se závaží přestane kývat, a změřte vzdálenost mezi stolem a spodní částí pružiny.
8. Opakujte kroky 5 až 7 s tím, že budete pokaždé zvyšovat zavěšenou hmotnost o 1 N.

Předvídané výsledky

Naměřené výsledky. Zaznamenaná vzdálenost je od stolu ke spodní části pružiny, takže snižuje jak se pružina natahuje. Protažení je rozdíl oproti nenataženému stavu: Δl = d₀ − d.

Hookův zákon. V rámci své pružnosti se pružina natahuje v přímé úměře k síle na ni působící a táhne zpět silou o stejné velikosti směřující do její klidové polohy:

F = k Δl   nebo, vyjádřeno jako vracivá síla včetně jejího směru,   F = −k Δl

Konstanta k je tuhost dané pružiny. Vezmeme-li libovolný řádek tabulky, k = F / Δl = 1,0 N / 2,0 cm = 0,500 N/cm, což je 50 N/m v jednotkách SI. Poslední sloupec ukazuje, že každé z devíti měření dává stejnou hodnotu, takže by v principu stačilo jediné čtení – devět z nich však potvrzuje, že úměrnost skutečně platí, a nejde jen o náhodnou shodu v jednom bodě.

Čtení grafu. Vynesením síly proti prodloužení vzniká přímka procházející počátkem. Obě vlastnosti mají svůj význam. přímost říká, že tuhost se při prodlužování pružiny nemění. Skutečnost, že prochází původ uvádí, že k vyvolání nulového prodloužení není potřeba žádná síla – v pružině není žádná vůle k vyrovnání a žádné předpětí. Sklon je k, takže graf představuje standardní způsob měření tuhosti pružiny: vezme se směrnice, nikoli jediná dvojice naměřených hodnot.

Energie uložená v pružině. Protože síla roste s tím, jak se pružina natahuje, práce konaná při jejím natahování není jednoduše síla krát vzdálenost, nýbrž plocha pod křivkou, což je trojúhelník:

E = ½ k Δl²

Při plném zatížení 9 N je prodloužení 0,18 m, takže E = ½ × 50 × 0,18² = 0,81 J. Všimněte si, že zdvojnásobení prodloužení čtyřnásobně zvětšuje uloženou energii, což je důvod, proč se prodloužení jeví jako umocněné na druhou, zatímco síla nikoliv.

Shrnutí úkolů podle věkové kategorie

9. až 10. ročník

Země: pružnost jako pozorovatelný, měřitelný jev. Studenti sestaví pružinový systém, zavěsí každé závaží od 1 N do 9 N, zaznamenají polohu pravítka v klidu a vypočítají prodloužení způsobené každým zatížením. Do čtverečkového papíru vynesou sílu v závislosti na prodloužení a slovně vyjádří pravidelnost: stejné kroky síly vyvolávají stejné kroky natažení. Důraz je kladen na pečlivé, opakovatelné čtení z pravítka a na uspořádání měření do přehledné tabulky.

11. ročník

Zaměření: kvantitativní formva Hookova zákona. Studenti určí tuhost pružiny ze směrnice svého grafu, vyjádří ji v N/cm i N/m a zkontrolují jednotlivé řádky tabulky pomocí vztahu F = kΔl. Pomocí proložené konstanty předpovědí prodloužení pro zátěž, kterou netestovali, a diskutují o tom, proč by graf měl procházet počátkem. S prací s jednotkami – centimetry na metry, N/cm na N/m – se zachází jako s nedílnou součástí fyziky, nikoli až dodatečně.

12. ročník / Úroveň college

Zaměření: energie uložená v pružném systému. Studenti počítají elastickou potenciální energii uloženou při maximálním zatížení jako plochu pod křivkou závislosti síly na prodloužení, E = ½k(Δl)², a ověřují ji geometricky pomocí grafu. Sklon prokládají metodou nejmenších čtverců namísto odhadu od oka.

Laboratorní potřeby

Nástroje

• Pružina (k = 0,5 N/cm)
• 50 cm pravítko
• Stojan a svorka
• Váhy (1 až 9 N)

Produkty

Žádné — tato laboratoř nepoužívá žádná chemická činidla.